当前课程知识点：线性代数(1) > 第十讲 线性无关、基与维数 > 10.3 无关性、基与维数 > 10.3 无关性、基与维数
刚才我们说了Rn的
它这个n维的来历
实际上呢是因为Rn中呢
我们可以找到n个无关的向量
而且这n个无关向量
可以把Rn中的任何向量
都线性表达出来
那么我们把这个想法
推广到一般的向量空间
就是一般抽象的向量空间
那我们就给出了下面这个定义
设V是一个向量空间
v1到vn呢是V中的n个向量
那么首先跟Rn中的情况一样
我们说v1到vn首先是线性无关的
那么下面
我们解释线性无关的含义
就是说v1到vn
如果能通过乘上一些数
线性组合出等于0
也就是说v1到vn
给出0的这个线性组合是平凡的
你把0写成v1到vn这个线性组合
只有一种可能
系数全取0
是平凡的线性组合
那么下面我们说了
v1到vn是V的一个基
我们起了一个名字基
基这个名字
也就是说它满足两条
一条是v1到vn是线性无关的
第二条呢
是任何一个V中的向量
都是v1到vn的线性组合
这时候呢
我们把V的维数呢
实际上就理解为
你取的这个基中向量的个数
直观上理解呢
这个v1到vn呢
实际上呢就是我们V的坐标系
而且因为它们是线性无关的
所以你取的
是一个最经济的坐标系
这是我们给出了基的概念
所以基直观上理解
就是定义这个坐标
我们来看一个
一般向量空间的一些例子
这是一个2乘2矩阵的全体
我们在向量空间的概念
引入的时候我们知道
我们这个确实是向量空间
它的加法就是矩阵的加法
它的数乘呢
就是一个数乘上一个矩阵的定义
那么我们来看一下
这个向量空间呢
我们来看它有一个非常自然的基
也就是说有非常自然的一组向量
是什么呢 就是这个
这四个矩阵呢
它只在一个位置上取1
其他的位置上全取0
这样四个矩阵
那么这四个矩阵呢
它可以把所有2乘2的矩阵
全都线性表达出来
首先我们来看
这四个矩阵是线性无关的
这个我们可以验证一下
比如说假设a1乘上1 0 0 0
加上a2乘上0 1 0 0
加上a3乘上0 0 1 0
加上a4乘上0 0 0 1
那么我们可以把这个代进去
我们可以看到
它最后等于a1 a2 a3 a4等于0
我们说它无关呢
就是说用这个表示它的0矩阵
那这时候这个0呢
实际上呢就是2乘2的这个0矩阵
那么如果
这样这个表达式成立的话
我们马上能推出
它们的系数其实全都是0
这样我们就看出了这四个矩阵
这四个矩阵
你可以把它理解成M2（R）
中的四个向量
这是抽象向量的概念
那么它们是线性无关的
另一方面我们可以看到
任何一个a b c d
当然也能写成
四个矩阵的线性组合了
比如说a b c d
可以写成a乘上1 0 0 0
加上b乘上0 1 0 0
加上c乘上0 0 1 0
加上d乘上0 0 0 1
但是我们说了
基就像坐标系一样
坐标系是不唯一的
所以这个基呢
我们也可以取成这样一种形式
那我们不验证
大家可以验证一下
这四个向量也是线性无关的
而且能线性表示
任何一个2乘2的矩阵
所以基是不唯一的
但是大家发现一个情况
基可以不唯一
但是它们所含的向量的个数
是一样的
不管是第一组基还是第二组基
它们都是四个向量
所以M2（R）它的维数就是4
好 我们再看另外一个例子
这是S是3乘3实对称矩阵
实对称矩阵的意思呢
就是这个矩阵呢
和它的转置是一样的
要直观上说呢
就是这个矩阵呢
除了对角线以上的
比如这个呢
是第i行第j列的元素
和第j行第i列的这个元素呢
这两个必须是一样
就是关于这个对角线是对称的
比如说1 2 2 3
这个对角线
2和这个2是一样的
好 可以验证这个3乘3
实对称矩阵的全体呢
它是个向量空间
它也有个自然的基
自然的基 我们写出来
就跟刚才一样
只有一个地方取1
那这时候呢
我们为了对称这两个同时取1
因为它们这两个
必须要保证它是个对称矩阵
这样我们一共找到了6个矩阵
6个矩阵可以看到
这个抽象向量空间中的6个向量
那么任何一个3乘3的对称矩阵
大家可以看到
这个跟这个是相等的
这个跟这个是相等的
这个跟这个相等
关于对角线是对称的
它们都能写成
这6个向量的线性组合
同时大家也可以验证一下
这6个向量
或者6个矩阵它们是线性无关的
跟上面这个例子
验证方法是相同的
所以我们可以看到S是6维空间
是一个6维的向量空间
大家可以自己下去找出
它另外的基
这当然不是它唯一的基了
它有另外的基
不管我们怎么找它的基
所有的基
它包含的向量个数应该都一样的
那这个观察呢
是我们下节课的一个定理
-课前引言
--课前引言
-1.1 引言
--1.1 引言
-1.2 n维向量空间中的点
-1.3 向量
--1.3 向量
-1.4 向量空间的定义
-1.5 向量空间的线性组合
-1.6 向量的点积、长度
-1.7 向量的夹角
-1.8 两个不等式
-第一讲 向量及其运算--1.9 课后作业
-2.1 矩阵与向量的乘积
-2.2 可逆矩阵
--2.2 可逆矩阵
-2.3 线性方程组的行图和列图
-第二讲 矩阵与线性方程组--2.4 课后作业
-3.1 Gauss消元法（上）
-3.1 Gauss消元法（下）
-3.2 消元法的矩阵表示 3.2.1 消去矩阵
-3.2 消元法的矩阵表示 3.2.2 置换阵
-3.2 消元法的矩阵表示 3.2.3 初等行(列)变换和初等矩阵
-第三讲 高斯消元法--3.3 课后作业
-4.1 矩阵
--4.1 矩阵
-4.2 矩阵的加法和数乘
-4.3 矩阵的乘法
-4.4 矩阵的乘法的性质
-4.5 矩阵的方幂
-4.6 关于矩阵乘法的引入
-4.7 分块矩阵
--4.7 分块矩阵
-4.8 矩阵的转置
-第四讲 矩阵的运算--4.9 课后作业
-5.1 可逆矩阵的定义
-5.2 矩阵可逆的性质
-5.3 初等矩阵的逆
-5.4 Gauss-Jordan消元法求A的逆
-5.5 矩阵可逆与主元个数
-5.6 下三角矩阵的逆
-5.7 分块矩阵的消元和逆
-第五讲 矩阵的逆--5.8 课后作业
-6.1 LU分解
--LU分解
-6.2 用LU分解解线性方程组
-6.3 消元法的计算量
--消元法的计算量
-6.4 LU分解的存在性和唯一性
-6.5 对称矩阵的LDL^T分解
-6.6 置换矩阵
--置换矩阵
-6.7 PA=LU分解
--PA=LU分解
-第六讲 LU分解--6.8 课后作业
-7.1 引言
--7.1 引言
-7.2 向量空间和子空间
-7.3 列空间和零空间
-7.4 阶梯形
--7.4 阶梯形
-第七讲 向量空间--7.5 课后作业
-8.1 引言
--8.1 引言
-8.2 基础解系
--8.2 基础解系
-8.3 简化行阶梯形的列变换
-第八讲 求解齐次线性方程组--8.4 课后作业
-9.1 复习
-9.2 求特解
-9.3 解的一般性讨论
-第九讲 求解非齐次线性方程组--9.4 课后作业
-10.1 引言
--引言
-10.2 n维空间的坐标系
-10.3 无关性、基与维数
-10.4 无关性、基与维数的性质
-10.5 关于秩的不等式
-第十讲 线性无关、基与维数--10.6 课后作业
-11.1 四个基本子空间的基
--11.1
-11.2 维数公式
--11.2
-11.3 例题
--11.3
-第十一讲 四个基本子空间的基和维数--11.4 课后作业
-12.1 引言
--12.1
-12.2 四个子空间的正交性
--12.2
-12.3 正交补
--12.3
-12.4 Ax=b在行空间中的唯一性
--12.4
-第十二讲 四个基本子空间的正交关系--12.5 课后作业
-13.1 引言
--13.1 引言
-13.2 点在直线和平面上的投影
-13.3 一般情形
-第十三讲 正交投影--13.4 课后作业
-14.1 复习
--14.1 复习
-14.2 最小二乘法
-14.3 最小二乘法的应用：曲线拟合
-第十四讲 最小二乘法--14.4 课后作业
-15.1 引言
--15.1 引言
-15.2 正交向量组和正交矩阵
-15.3 Gram-Schmidt正交化过程
-15.4 QR分解
-第十五讲 Gram-Schmidt正交化--15.5 课后作业
-16.1 引言
--16.1 引言
-16.2 二阶行列式的几何含义
-16.3 一般行列式的定义
-16.4 行列式和初等变换
-第十六讲 行列式的基本性质--16.5 课后作业
-17.1 行列式计算公式与展开定理
-17.2 典型例题
-第十七讲 行列式的计算--17.3 课后作业
-18.1 引言
--18.1 引言
-18.2.1 求逆矩阵公式
-18.2.2 线性方程组的公式解
-18.3 计算有向长度、面积和体积
-18.4 和QR分解的联系
-第十八讲 Cramer法则及行列式的几何意义--18.5 课后作业
-19.1 引言和定义
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-19.2 例
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-19.3 特征值的性质
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-第十九讲 特征值与特征向量--19.4 课后作业
-20.1 矩阵可对角化的条件
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-20.2 特征值的代数重数和几何重数
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-20.3 矩阵可对角化的应用
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-20.4 同时对角化
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-20.5 小结
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-第二十讲 矩阵的对角化--20.6 课后作业
-21.1 引言
--21.1 引言
-21.2 A可对角化的情形
-21.3 矩阵的指数函数
-21.4 二阶常系数线性微分方程
-21.5 微分方程的稳定性
-第二十一讲 特征值在微分方程中的应用--21.6 课后作业
-22.1 实对称矩阵的特征值与特征向量
-22.2 实对称阵正交相似于对角阵
-22.3 实对称阵特征值与主元的关系
-22.4 小结
--22.4 小结
-第二十二讲 实对称矩阵--22.5 课后作业
-总结和预告
