当前课程知识点：线性代数(1) > 第十讲 线性无关、基与维数 > 10.5 关于秩的不等式 > 10.5 +关于秩的不等式
好 现在我们使用我们学过的
向量空间的一些性质
我们来讨论一下
矩阵的秩的一些问题
我们主要讨论几个不等式
我们先来看一下
我们基本上知道的
关于Ax等于b有两个基本子空间
一个是列空间C（A）
一个是零空间N（A）
C（A）它的基是来自于主列
所以C（A）的维数
实际上就是A的秩
N（A）的基是来自于自由列
所以N（A）的维数呢
是所有的列数减去主列的个数
就是n-r
我们使用这个简单的这些性质
我们来看一下第一个应用
就是A的秩等于A转置的秩
那么我们刚才已经说过
A的秩实际上是等于
A的列空间的维数
那么A转置的秩呢
那么当然应该是
A转置的列空间的维数
那么A转置的列空间呢
实际上就是A的行空间
所以这个问题就告诉验证
A的行空间的维数
和A的列空间的维数是一样的
那么回忆一下
我们把A通过行变换
变成一个U0的形式
那么U0它大概是这种样子
在拐角这块我们取1
下面都是0
然后主元所在的列都是0
那么可以看到A的无关列
在这种行变换过程中
和U0的无关列是一一对应的
这个我们在前面已经说过
也就是说A的某几列是线性无关的
那么U0相应的那几列
也是线性无关的
尽管列是不一样的
这样我们就可以看出
A的列空间的维数
跟U0的列空间的维数是一样的
那我们看A到U0
它是做了行变换
行变换实际上是A的行的
线性组合出来的
所以A的行空间
和U0的行空间是一样的
那么换句话说呢
A的行空间的维数
就等于U0的行空间的维数
就这两个等式呢
我们可以把问题进一步转化
也就是要证明U0的列空间
和U0的行空间的维数是一样的
那么由U0的形状呢
U0的列空间就是
几个主元所在的列构成的基
U0的转置
也就是U0的行空间呢
就是主元所在的行作为基
所以它们的维数
当然应该是一样的
这样我们就推出来A转置
和A的秩它们秩是一样的
这个问题的转化呢
是把A和A转置的问题
转化到U0和U0转置的问题
就容易看了
我们来看第二个应用
AB的秩是小于等于
A的秩和B的秩中较小的
那么也是跟刚才一样
AB的秩呢
我们可以看作AB这个矩阵的
列空间的维数
而AB作为列空间
它的列空间跟A的列空间相比较
因为A乘B呢
实际上它的每一列
都是A的列的线性组合
所以AB的列空间
应该是包含在A的列空间里面
那由此我们看到
作为子空间它的维数
是小于等于大空间的维数
这样我们推出第一步
就是AB的秩是小于等于A的秩
那下面我们还要证明
AB的秩小于等于A B的秩
但是这里面一般来说
我们并不知道AB的列空间
和B的列空间的关系
一般来说
我们不知道这两者的关系
但是我们可以使用刚才这个结论
这个用的办法呢
我们看到
这个结论告诉我们
两个矩阵相乘的列空间
它实际上是
前面那个矩阵的列空间的子空间
那么现在
我们希望比较这个和这个的话
我们通过一个转置
我们来看一下C B转置A转置
和C B转置
那么对于这个来说呢
我们可以
跟刚才这个是一模一样的
它是它的子空间
所以B转置
A转置的列空间的维数
就小于等于B转置列空间维数
而这个是等于B转置A转置的秩
这个是等于B转置的秩
这样我们
再利用刚才第一个结论
这个秩是等于A
一个矩阵
和它的转置的秩是一样的
所以这个是等于
A乘上B的秩
这个是等于B的秩
好 这样我们就
实际上推出来了
AB的秩也小于等于B的秩
就是说两个矩阵相乘的秩
小于等于两个矩阵中
秩较小的一个
那么第三个我们来看一下
两个矩阵相加的秩
两个矩阵相加秩
小于等于两个矩阵的秩的和
那么看这个左边
它是A加B的秩
那么按刚才的一样
A+B的秩呢我们知道
它应该是A+B
这个矩阵的列空间的维数
那么右边我们怎么把它变成
某一个空间的维数呢
那么我们可以选择考虑
AB这个一个分块矩阵
这个分块矩阵呢
它的列空间实际上是
等于CA加上CB的
那么这个维数呢
就是这两个列空间的维数
肯定是大于等于CA加CB
就是两个空间维数的和
大于等于和的维数
这是我们在前面学过的
关于空间之间的维数公式
就是两个空间维数的和
等于和的维数加上交的维数
所以根据那个公式
我们推出来这个大于等于这个
由此我们可以推出
这个是等于rA的
这个是等于rB的
好 另一方面我们看到
CA+B和C这两个空间的关系
那么这两个空间呢
CA+B是CAB的里一个子空间
因为这个空间
如果你写成向量的形式
就是∑ai αi加βi
这个αi βi都是AB的列
αi是A的列 βi是B的列
所以CA加B呢
它里面的向量呢
只是当ai和bi相等的时候
所以这个更大一点
好 利用这个信息呢
我们最后能够推出
r（A+B）小于等于rA+rB
-课前引言
--课前引言
-1.1 引言
--1.1 引言
-1.2 n维向量空间中的点
-1.3 向量
--1.3 向量
-1.4 向量空间的定义
-1.5 向量空间的线性组合
-1.6 向量的点积、长度
-1.7 向量的夹角
-1.8 两个不等式
-第一讲 向量及其运算--1.9 课后作业
-2.1 矩阵与向量的乘积
-2.2 可逆矩阵
--2.2 可逆矩阵
-2.3 线性方程组的行图和列图
-第二讲 矩阵与线性方程组--2.4 课后作业
-3.1 Gauss消元法（上）
-3.1 Gauss消元法（下）
-3.2 消元法的矩阵表示 3.2.1 消去矩阵
-3.2 消元法的矩阵表示 3.2.2 置换阵
-3.2 消元法的矩阵表示 3.2.3 初等行(列)变换和初等矩阵
-第三讲 高斯消元法--3.3 课后作业
-4.1 矩阵
--4.1 矩阵
-4.2 矩阵的加法和数乘
-4.3 矩阵的乘法
-4.4 矩阵的乘法的性质
-4.5 矩阵的方幂
-4.6 关于矩阵乘法的引入
-4.7 分块矩阵
--4.7 分块矩阵
-4.8 矩阵的转置
-第四讲 矩阵的运算--4.9 课后作业
-5.1 可逆矩阵的定义
-5.2 矩阵可逆的性质
-5.3 初等矩阵的逆
-5.4 Gauss-Jordan消元法求A的逆
-5.5 矩阵可逆与主元个数
-5.6 下三角矩阵的逆
-5.7 分块矩阵的消元和逆
-第五讲 矩阵的逆--5.8 课后作业
-6.1 LU分解
--LU分解
-6.2 用LU分解解线性方程组
-6.3 消元法的计算量
--消元法的计算量
-6.4 LU分解的存在性和唯一性
-6.5 对称矩阵的LDL^T分解
-6.6 置换矩阵
--置换矩阵
-6.7 PA=LU分解
--PA=LU分解
-第六讲 LU分解--6.8 课后作业
-7.1 引言
--7.1 引言
-7.2 向量空间和子空间
-7.3 列空间和零空间
-7.4 阶梯形
--7.4 阶梯形
-第七讲 向量空间--7.5 课后作业
-8.1 引言
--8.1 引言
-8.2 基础解系
--8.2 基础解系
-8.3 简化行阶梯形的列变换
-第八讲 求解齐次线性方程组--8.4 课后作业
-9.1 复习
-9.2 求特解
-9.3 解的一般性讨论
-第九讲 求解非齐次线性方程组--9.4 课后作业
-10.1 引言
--引言
-10.2 n维空间的坐标系
-10.3 无关性、基与维数
-10.4 无关性、基与维数的性质
-10.5 关于秩的不等式
-第十讲 线性无关、基与维数--10.6 课后作业
-11.1 四个基本子空间的基
--11.1
-11.2 维数公式
--11.2
-11.3 例题
--11.3
-第十一讲 四个基本子空间的基和维数--11.4 课后作业
-12.1 引言
--12.1
-12.2 四个子空间的正交性
--12.2
-12.3 正交补
--12.3
-12.4 Ax=b在行空间中的唯一性
--12.4
-第十二讲 四个基本子空间的正交关系--12.5 课后作业
-13.1 引言
--13.1 引言
-13.2 点在直线和平面上的投影
-13.3 一般情形
-第十三讲 正交投影--13.4 课后作业
-14.1 复习
--14.1 复习
-14.2 最小二乘法
-14.3 最小二乘法的应用：曲线拟合
-第十四讲 最小二乘法--14.4 课后作业
-15.1 引言
--15.1 引言
-15.2 正交向量组和正交矩阵
-15.3 Gram-Schmidt正交化过程
-15.4 QR分解
-第十五讲 Gram-Schmidt正交化--15.5 课后作业
-16.1 引言
--16.1 引言
-16.2 二阶行列式的几何含义
-16.3 一般行列式的定义
-16.4 行列式和初等变换
-第十六讲 行列式的基本性质--16.5 课后作业
-17.1 行列式计算公式与展开定理
-17.2 典型例题
-第十七讲 行列式的计算--17.3 课后作业
-18.1 引言
--18.1 引言
-18.2.1 求逆矩阵公式
-18.2.2 线性方程组的公式解
-18.3 计算有向长度、面积和体积
-18.4 和QR分解的联系
-第十八讲 Cramer法则及行列式的几何意义--18.5 课后作业
-19.1 引言和定义
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-19.2 例
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-19.3 特征值的性质
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-第十九讲 特征值与特征向量--19.4 课后作业
-20.1 矩阵可对角化的条件
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-20.2 特征值的代数重数和几何重数
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-20.3 矩阵可对角化的应用
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-20.4 同时对角化
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-20.5 小结
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-第二十讲 矩阵的对角化--20.6 课后作业
-21.1 引言
--21.1 引言
-21.2 A可对角化的情形
-21.3 矩阵的指数函数
-21.4 二阶常系数线性微分方程
-21.5 微分方程的稳定性
-第二十一讲 特征值在微分方程中的应用--21.6 课后作业
-22.1 实对称矩阵的特征值与特征向量
-22.2 实对称阵正交相似于对角阵
-22.3 实对称阵特征值与主元的关系
-22.4 小结
--22.4 小结
-第二十二讲 实对称矩阵--22.5 课后作业
-总结和预告
