数列极限存在的充分条件在线视频

下面我们来介绍一下

给了我们一个数列之后

我们有没有办法来判断

这个数列的极限是否存在

在微积分课程里面

我们主要常用的方法有两个

一个就是所谓的夹逼定理

一个是单调有界收敛定理

我们先介绍一下夹逼定理

这是我们这一章第三节的内容

就是判断数列极限存在的充分条件

第一个就是我们说的夹逼定理

这个定理实际上理解它的内容

应该是很直观的

也就是说若数列{an}{bn}{cn}

就是满足这个不等式

且{an}的极限存在等于A

{cn}的极限也存在也等于A

那我们的结论就是

则 {bn}的极限要存在

而且它的极限值也等于A

所谓夹逼定理

实际上就是说我有三个数列

它有两个条件第一个条件

这应该就是所谓的夹条件

就是an和cn把bn夹在中间

而第二个条件

这两个数列极限存在而且相等

这应该是逼的条件

因为bn被an和cn夹在中间

而an和cn应该是收敛到同一个点

那么它就逼着中间的bn

也收敛到同一个点

所以说这个定理它的名字

应该就把这个内容

基本上就说出来了

所以掌握这个定理的内容并不困难

我们先给出这个定理它的证明

这个证明也就是说

利用极限的定义

在给定的两个条件下

证明{bn}的极限是A

那任给ε大于0你就可以说

因为这两个极限

也就是{an}的极限

和{cn}的极限都是A

所以我们一定能找到一个N大于0

当n大于N时我们就得到了这个东西

也就是说我们的an应该是

减掉A它大于-ε小于ε

我们的cn减掉A

也是小于ε大于-ε

然后这样得出来之后

我们把这个不等式

两端同时加上A

那这个就可以写成是这样子

也就是an大于A减ε

cn小于A加上ε

就是得到这个不等式

那接下来我们还有一个条件

就是bn是介于an和cn之间的

也就是 bn它应该是大于an小于cn

这样一写出来之后

那我们看 到现在我们做了什么事情

我们做了说任给ε大于0

我们找到了一个N大于0

当n大于N时我们的bn

是大于A减ε小于A加ε的

而这个不等式也就是bn减A的绝对值小于ε

那根据极限定义

写到这儿我们就证明了

{bn}的极限确实就是A

我想这是这个夹逼定理它的证明

这个证明应该是说很好地体现了

就是说什么叫极限是A

也就是说怎么样用概念去证明一个结论

关于夹逼定理在微积分里面

我们有了它之后

可以推出一些

大家在极限运算里面

更常用的结果但是就是说

对一个具体的数列极限问题

要想用好夹逼定理

它的难度或者难点

并不在于定理本身大家是否能够掌握

而在于对于一个具体的数列

你怎么样找到合适的

所谓的左右邻居

使得左右邻居的极限相等

我想关于就是说

用夹逼定理来求具体数列极限问题

我们只对最基本的情况

能够正确地运用就可以了

我们看两个例子

第一个例子就是说利用夹逼定理

我们来求一求n趋向于无穷时

a的n次方除上n的阶乘这个极限值

a是个常数

这个地方我们用夹逼定理来做的时候

主要考虑到就是这个a的n次方除上n的阶乘

我们求一下绝对值

绝对值当然是大于等于0的

同时 这个地方我们可以写成

|a|乘上|a|乘一直乘乘|a|

后面还是这些|a|乘起来

乘起来之后底下是1乘2乘3一直乘到n

那我们写开以后有什么想法

实际上我们是这样说的

对任何一个固定的a来说

我总能找到一个正整数

从这个正整数开始

就是说后面的这个整数应该都是大于|a|

而前面应该是有限项

所以说我这样写完之后

大家看一下 我把后面这个

整数分之|a|给它放大到1

放大到1然后前面这个是有限项

我就用一个常数C来表示

所以说这个问题

我就处理成了

就是C乘上最后一项

是这个东西

所以随便给一个确定的数a之后

我总能可以 当n比较大时

能够处理成这个不等式

有了这个不等式之后

也就是说了又n趋向于无穷时

C乘上a的绝对值除上n极限是等于0

所以就是我们要求的这个极限值

就出来了就是这个极限值应该是等于0的

原因是左边极限是0

现在我们证明了它右边极限也是0

所以中间这个极限就是0

当然这个地方大家说了

说你这个不等号

是对某一个N之后它才成立的

而你定理里面这个

好像没有说从某一个N开始

这个不等式满足就可以了

但是我们知道所谓数列极限

讨论的是当下标越来越大时

它的变化情况

也就是从这个概念大家就知道

数列极限是否存在

数列极限的值等于什么

应该与它任意有限项的值是无关的

换句话说我们这个不等式

尽管可能对n等于1 n等于2等等不满足

但只要从某一个N之后它满足

结论还是成立的

所以说在这个证明过程中

我刚才说这个不等号

是从某一个N开始之后

应该是对的

所以结论照样是可用的

我想这是这个例题

接下来我们来看第二个例题

题目我写到这儿

第二个例题我们就求一下

n趋向于无穷时

k除上n方加k

再k从1到n求和

求这个极限就是说大家注意一下

这个数列的通项

我们是不能就是说

把它的通项简单表达式写出来

因为就是说

在n趋向于无穷时

这相当于是无穷多项加起来

但是我们可以看一下

这个东西也就是k从1到nk除上n方加k

然后我可以对这个分母变大变小

从而对这个分数就变大变小

也就是说我可以通过对这个通项

做适当的放大或者是缩小

来看看放大完的东西

我们能不能处理

缩小完的东西我们能不能处理

咱先说放大放大就是说我把这个

分母中这n项的分母那个最小的

作为总的分母

也就是说除了第一项之外

其它项的分母都变小了

所以说这些分数都变大

加起来自然是变大的

也就是说我处理了一个

k从1到nk除上n方加1

这样处理完之后

我们再来看这个表达式

这个表达式它的一般表达形式

我们就可以做出来了

我们利用1加2加3一直加到n是二分之一倍的n乘上(n+1)

所以说这个应该是等于

二分之一倍的n乘上(n加1)

再除上n方加1

所以我们就放大到了这个东西

而这个的极限大家可以看出来

这个极限就是说应该是二分之一的

所以说我们放大完了之后的极限是二分之一

然后接下来我们再缩小

缩小就是我把每一项中的分母

都变成那个最大那一项的分母

那当然每一个分数都变小了

所以这个地方它就可以大于

k从1到n底下就是一个n方加n上面是个k

我们仍然还用1加2加3加到n的表达式

所以说这个一求出来

这个应该就等于二分之一倍的n乘(n+1)

底下实际上也是n乘(n+1)

实际上我们一缩小

发现缩小得非常好

也就是说缩小完的这个表达式求出来

就是一个常数

这个常数应该就是二分之一

那我们通过这样的放大和缩小

我们找到了它的左右邻居

而且左邻居就是二分之一

而右邻居极限是二分之一

所以我们利用夹逼定理

就可以把这个数列的极限求出来

它的最后的结果是二分之一

我想通过这两个例子

可以回过头来

具体地理解一下

夹逼定理我该怎么去用

就是像刚才我说的

夹逼定理本身的内容

大家并不难掌握

但是怎么样用好夹逼定理

是我们微积分学习中

有一个有一定难度的问题

就是 因为我们是要自己去找

比它大的和比它小的数列

同时要保证

比它大的和比它小的数列

极限都存在 而且相等

而这一点对一般的数列来说

我们并不太容易做到