∞/∞型不定式在线视频

前面我们介绍了0比0型的不定式如何定值

接下来我们介绍一下无穷比无穷的不定式的定值法

就是无穷比无穷型不定式

当然有了0比0型的不定式之后

大家一看无穷比无穷的含义指的是

一个分式函数

在同一个极限过程下

分子分母都是无穷大量的情况

那在这个地方我们说它的不定式的定值法

也就是要给出x趋向于x_0时

我们怎么样对于这样的分式函数求极限

所以我们先讨论一下就是x趋向于x_0时的情况

我们的定理是这样子的

也就是说

我们还是假设f,g满足第一个条件

就是他们在这个极限过程下都是无穷大量

另外在x_0附近

他们导数都存在而且分母的导数不等于0

第三个条件是在同一极限过程下

导数之比极限存在

或者是极限不存在但它是无穷大量

结论自然还是我们要讨论的

这个无穷比无穷型的不定式的极限情况

与这个导数之比的极限情况是完全一样的

也就是说从内容上讲

除了我们把分子分母变成了无穷之外

它跟那个0比0型的定值法应该结论是完全一样的

但是关于这个定理我想需要给大家说明这么两点

因为这个定理的证明对极限定义的要求

应该是比较高的

而且在证明过程中需要用到一些技巧

所以在这儿这个定理的证明我们就不做介绍了

感兴趣的同学可以查一下有关的数学分析教材

然后另外一个也就是给大家说一下

尽管我们不做证明但是在这个定理真正证明的时候

实际上有一个条件是可以不加的

也就是说分子是无穷大量这个条件在证明过程中并不需要

换句话说只要分母是无穷大量

你就可以试着用一用罗比达法则

我想这是需要给大家说明的第一点

第二点给大家说明的是说

有的同学说你说这个证明对极限定义要求很高

而且技巧性很强

我怎么不觉得

因为我这样可以给出一个证明

就是x趋向于x_0

f(x)比上g(x)

无穷比无穷

但是我做一个简单的变形

x趋向于x_0

这就是g(x)分之一比上f(x)分之一

根据无穷大数的倒数是无穷小数

这不就是0比0吗

而0比0你是有罗比达法则的

也就是可以写成x趋向于x_0

分子的导数大家知道是-g方(x)分之g'(x)

分母的导数是-f方(x)分之f'这个导数

这样做完之后我们再做一个简单的整理

这就是x趋向于x_0时

不就是我的f'(x)分之g'(x)然后再乘上f方(x)除上g方(x)

那这个不就是等于x趋向x_0时

g'比上f'

我为了写简单我把x省掉

再乘上在同一个极限过程下f方比上g方

那假设你原来求的极限是A

我这个导数比的极限是B的时候

大家看这不就是我的A等于B分之一

再乘上A方吗

那怎么推不出A就等于B呢

我就证完了这有什么复杂的

但是大家注意你在这个地方

也就是从这个表达式写到这个表达式

你用的是什么

你用的是极限的乘法运算

而我们极限的乘法运算的前提条件是什么

首先要保证这两个极限都存在

现在我就问大家

你知道不知道f(x)比上g(x)的极限是一定存在的

在无穷比无穷的前提下

实际上你是不知道这个极限是存在的

不知道的时候你怎么能用这个关系

所以说这个证明实际上在理论上讲

我是不能保证这个等号成立的

自然也就保证不了你所谓用0比0型的东西

来证明了无穷比无穷型的结论

所以这个也提醒大家注意这是个错误证明

接下来我们举一个例子

说x趋向于0正

我们来看一下lnx比上x分之一

这大家一看分子分母自然都是无穷大量

所以说用我们的罗比达法则

也就是x趋向于0正

上面导数是x分之一

底下导数是-x方分之一

这自然就是-x

x趋向于0正极限当然是0

所以这就是一个利用罗比达法则通过简单导数运算

就得到了它极限值的情况

我想这是在x趋向x_0时

无穷比无穷型不定式的定值方法

然后我们当然还会碰到这样的情况

x趋向无穷时是不是也会碰到无穷比无穷型不定式

不定式

这时候我们也有相应的定值法

我们的条件是f(x)，g(x)要满足

第一个条件在x趋向无穷时它们都是无穷大量

然后第二个条件在无穷源附近f'(x)g'(x)都存在

而且g'(x)是不等于0的

第三个条件

是在x趋向无穷时f'(x)比上g'(x)它极限存在

或者是无穷大

我们的结论

大家自然应该知道

就是f(x)比上g(x)的极限与

f'(x)比上g'(x)情况是完全一样的

关于这个定理的证明

请大家做练习

因为我们前面曾经碰到过类似的情况

也就是我们只要做一个简单的变量替换就会把

x趋向无穷的情况

转化成t趋向0的情况

所以说只要有了x趋向于x_0时

无穷比无穷这个不定式的定值方法

我们自然就可以证明这个定理

因为前面已经做了一次

所以这个请大家自己写它的证明过程

接下来我们看几个例子

也是我们平时经常用的几个极限结论

而且这几个结论大家在中学时就知道

大家知道在中学我们看指数函数是爆炸式增长

它是基于什么来谈的

因为中学知道

我们讨论最多的是幂、指、对三类函数

在这类函数里面

就在一定条件下

它们当然都是单调递增函数

而且在x趋向正无穷时

它们都应该是正无穷大量

但是它们趋向无穷的速度

在中学我们就知道

指数函数最快

对数函数最慢

而幂函数介于两者之间

现在我就告诉大家

为什么这个结论是对的

所以我们第一个例题

我们一起看一下

x趋向正无穷时

x平方除上a的x次方

a大于1

求这个极限

那大家自然知道

这是一个无穷比无穷型的极限

我们用罗比达法则

也就是x趋向正无穷

分子的导数是2x

分母的导数是a的x次方乘上lna

这仍然还是无穷比无穷型的

那我们再用一次罗比达法则

就是x趋向正无穷

分子的导数是2

分母的导数是a的x次方乘上ln方a

这就是一个无穷大量的倒数

极限当然是0

这个例题就说

你这个指数函数只要是

无穷大量它应该就比幂函数快的多

实际上我们这个地方无论是平方还是3次方

都不影响这个结论

也就是说

对任意的幂函数说

只要它是无穷大量

这个指数函数也是无穷大量

那么用同样的思路我们可以保证说清楚

幂函数总是要比指数函数慢得多的

比如说第二个例题我们就看一下

x趋向正无穷时

我们的对数函数

再除上x的α次方

α只要大于0就可以了

这是一个无穷比无穷型的东西

那我们用一次罗比达法则

也就是x趋向于正无穷

分子的导数是x分之一

分母是α乘上x的(α-1)次方

大家知道简单整理

你会发现这也是一个无穷大量的倒数

所以说它的极限存在等于0

我想这个例子也是想给大家说清楚这件事情

在对数函数和幂函数都是正无穷大量的时候

无论这个地方我加多少方次

无论这个方次大于0有多小

都不影响我们最后这个结论

这样就证明了在幂指对函数里面

如果它们都是无穷大量时

指数最快对数最慢

所以说我们有时候谈说指数函数是爆炸式增长

指的是它远远要大于幂函数和对数函数的这个增长快慢

这是这个问题

接下来第三个例题

我们来看一下x趋向于正无穷时

x加上sinx比上x

当然这个地方大家知道

这个极限不就等于1吗

因为它确实就是等于1加上sinx比上x

x是趋向于无穷的

所以它的极限应该是1+0

但是大家如果说

你不就是一个无穷比无穷吗

无穷比无穷我就可以看

分子的导数是不是应该是1+cosx

分母的导数是1

这样一写的时候大家自然知道

我为什么举这个例题了

因为与0比0型的情况是一样的

无穷比无穷的不定式

我们要想定值

也是有条件的

而这个例题

恰恰是不满足我们定值的条件

所以说对于这个来说

大家能看出它结果是1来

但是这样一写的时候

这个等号是不成立的

我想这是关于无穷比无穷型

罗比达法则的定值法

就是无论是0比0

还是无穷比无穷

我们给出了一共是四个结论

当然这四个结论大家想

它形式上是统一的

这四个定理

我们统称为是不定式极限的罗比达法则

也就是说

给出了0比0

或者是无穷比无穷时

这个极限问题的一种定值方法

这就是所谓的罗比达法则