闭区间上连续函数的性质在线视频

在这一节中我们来介绍一下闭区间上

连续函数特有的两个性质

这也就是平时说的

闭区间上连续函数的性质里面的

有界性和最大最小值的存在性

这是我们这一章第二节内容

就是闭区间上连续函数的性质

我们之所以强调闭区间上连续函数的性质

因为我们介绍的有界性

和最大最小值的存在性

它不仅依赖于函数的连续这个性质

同时它也依赖于闭区间本身的性质

所以说我们一定要强调一下

是闭区间上连续函数的性质

那我们看一下有界性

有界性结论是

若f（x）属于Ｃ［ａ，ｂ］

则ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上有界

所谓有界也就是存在一个大于0的数Ｍ

使得对于所有的ｘ属于［ａ，ｂ］来说

ｆ（ｘ）的绝对值都是小于等于Ｍ的

这是有界的定义

接下来我们来看一下这个定理的证明

这个定理的证明从连续出发

来证明有界

连续也就是在每一点极限都存在

我们在前面介绍极限性质的时候曾经说过

如果函数在一点极限存在

它在这点附近是有界的

但是就是说在一点附近有界

推广到在整个区间上有界

这应该是由局部到整体

这样如果我们从正面去

从局部出发来推导整体性质的时候

一般是比较困难的

这个时候我们往往用的是所谓的反证法

所以我们来看一下

反证法也就是说

我假设ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上它是无界的

也就是对于任意的Ｍ大于0

你至少能够在［ａ，ｂ］这个区间里

找到一个点ｘｍ

使得这点的函数值的绝对值

是要超过这个Ｍ的

这就是它在这个范围上无界的定义

说无论你给一个多大的数

在这里面我至少能找到一个点

这点的函数值的绝对值

是超过你给的这个数

那接下来我们特别的就取我这个Ｍ就是正整数

比如说是ｎ就正整数

这样的时候我们可以找到一个点列

它是在［ａ，ｂ］区间里面的

然后使得这个点列中

每一点的函数值的绝对值

是都比ｎ来的大

接下来这个点列在［ａ，ｂ］里面

它就是个有界点列

一说到有界点列我们就应该能想起

对有界点列我们有一个著名的结论

就是所谓的布尔扎诺定理

这个结论也就是说因为它是有界的

所以我能找到一个所谓的收敛子列

我用xnk来表示

然后使得这个极限Ｋ趋向于无穷时

这个ｘｎk是有极限

极限点我用ξ来表示

然后而且因为这个ｘｎ是大于等于ａ

小于等于ｂ的

根据极限的保号性质

那么这个ξ也应该是大于等于ａ

小于等于ｂ的

也就是ξ是［ａ，ｂ］闭区间中的一点

接下来因为我们的条件是

它在闭区间中每一点都连续

特别的在ξ这点连续

所以说我就根据它在ξ这点的连续性

我知道k趋向于无穷时

f(xnk)它应该就等于ｆ（ξ）

这是利用在这点的连续性

我知道这个极限等式是成立的

接下来我们用ｆ（ｘｎｋ）

它应该是满足绝对值大于nk的

因为它是它的一个子列

自然它要满足这个不等式

那请大家看一下这个等式跟这个不等式

是不是出了矛盾

因为在这个不等式两端

我们让ｋ趋向于无穷取极限

左边应该就趋向于ｆ（ξ）的绝对值

是个确定的值

而右端是不是应该是个正无穷大量

那一个确定的数

怎么可能是一个正无穷大量

这个矛盾怎么来的

这个矛盾就是因为我们这个假设

因为我们假设了它无界才导致了这种现象

所以这说明了这个假设是不对的

这样我们就证明了

连续函数在闭区间上一定是有界函数

这是有界性

然后接下来我们来说第二个性质

第二个性质就是所谓的最值定理

或者叫最大最小值存在定理

这个定理说的是这个内容

也就是若ｆ（ｘ）属于Ｃ［ａ，ｂ］

则我存在一个ξ，一个η属于［ａ，ｂ］

使得ｆ（ξ）小于等于ｆ（ｘ）

小于等于ｆ（η）

对任意的ｘ属于［ａ，ｂ］

都是对的这个结论

这个结论大家一看不就是说ｆ（ξ）是

［ａ，ｂ］区间上所有函数值里面最小的

而ｆ（η）是［ａ，ｂ］区间上

所有函数值中最大的

所以说闭区间上的连续函数

它不仅仅是有界函数

它应该是有最大值和最小值

那大家可能就会问了

说你能够有第二个结论

何苦还有第一个结论

因为有最大最小值自然就是有界的

但实际上我们看闭区间上连续函数性质

一般是先看有界性再看最值存在性

为什么

因为如果我不能先证明有界性的时候

我也没法证明它的最值是存在的

也就是说我是在有界的前提下

来证明了它的最值可以取到

通过证明过程大家可以看出来

为什么在有界的前提下

你能证明出最值存在

因为我们前面有个结论

它有界自然是既有上界又有下界

有上界就有所谓的上确界

有下界自然就有所谓的下确界

实际上我们就是证明了

对于闭区间上的连续函数来说

它的上确界和下确界都是可以取到的

在证明过程中

我们只证上确界可以取到

所以我们的证明是这样写的

说因为它是连续的所以它是有界的

我就记这个Ｍ等于这个函数ｆ（ｘ）

在［ａ，ｂ］区间上的上确界

现在我来证明这个Ｍ就是某一点的函数值

根据上确界的定义

由上确界的定义我就得到

对于任意的正整数ｎ来说

我一定能找到一个ｘｎ属于［ａ，ｂ］

使得就是我这个ｆ（ｘｎ）

一方面要小于等于它的上确界

同时也要大于它的上确界减掉ｎ分之一

那大家一定要想清楚

我们为什么能找到这样的点

这就是反复说过的

上确界再小它也是上界

那因为它是最小的

说它再小一点就不是了

也就是再小一点点

我一定能找到某一点的函数值比它大

这样找完之后那我们注意到

刚才我们证明过程中的这个东西

那我这个ｘｎ

也就是这里这个ｘｎ仍然是一个有界序列

这个有界序列那根据布尔扎诺定理

我任然能找到它的收敛子列

所以说就找到一个ｘｎｋ

它是收敛的ｘｎｋ

ｋ趋近于无穷时的极限我就仍然记成η

我记成η

记成η之后

根据极限的保号性质

这个极限值一定是大于等于ａ

小于等于ｂ的

然后函数在这里面每一点都连续

特别的在η这一点也是连续的

所以说我就知道k趋向于无穷时f(xnk)

它应该就等于ｆ（η）

因为我们这个子列

是满足刚才我们这里给出的这个数列

要满足的条件

也就是用我这个m减掉nk分之一

应该小于f(xnk)小于等于M

那么我们看最后一个不等式

不等式两端让ｋ趋向无穷取极限

这边是趋向于Ｍ这边本身就是Ｍ

而中间这个数就是ｆ（η）

这样我们就证明了ｆ（η）不等于别的

就等于这个函数在［ａ，ｂ］区间上的上确界

上确界当然一定是最大值

这样我们就证明了

最大值是可以取到的

在类似的咱们可以证明

最小值也能取到

实际上无论是闭区间上连续函数的有界性结论

还是最大最小值存在性结论

大家如果仅仅从掌握这个结论的角度出发的时候

你完全可以通过一个图来看一下

你比如说我这是ｘｙ平面上的一个图

这个图这个点是（ａ，ｆ（ａ))

这个点是（b，f（b））

说我从这点出发

经过一条连续曲线回到这个点

大家想因为你从这个出发点开始

你是连续变化的

你无论是往上跑还是往下跑

你最后你总要回到这个点

所以说你上升的再高

你也总有一个往回折返的点

同样你下降的再深

你同样也有一个回来的点

所谓折返回来

这实际就是指的它的最高点和最低点

当然也就是它的最大值和最小值

那关于有界性和最值存在定理

大家也知道如果不是闭区间的时候

连续函数是没有这样的性质的

你比如说我们y等于x分之一这个函数

在（0,1）开区间它自然是个连续函数

但是这个函数在（0,1）上的图形

大家也知道的就是在这边

它实际上是没有上界的

所以我们一开始强调说标题为什么叫

闭区间上的连续函数它的性质

因为我们不仅用到了连续函数的定义

同时我们也用到了闭区间的性质

在这里面主要就是强调

在闭区间中的一个数列

它如果极限存在的时候

它的极限点还是闭区间中的点

它不会跑出闭区间去

而开区间则没有这样的性质

开区间中的数列它极限存在的时候

它的极限点可以不在这个开区间里面

前面我们介绍了

闭区间上连续函数的有界性定理

和最值存在性定理之后

我们来看两个简单的例题

第一个题目我们先看一个图

我们假设y等于f（x）是个连续函数

而且函数值大于0

现在我考虑x从a到b这个范围中

这条曲线

跟x等于a，x等于b这两条直线以及x轴

就围城了一个平面图形

现在我们来看一下这个面积是S

我们来证明这么一个结论

我也就是说在这个地方我们能找到一个点ξ

使得这个ξ对应的那个函数值是f（ξ）

使得这个面积S正好等于长方形这块面积

然后我们写一下也就是说

我假设f（x）属于C[a,b]

然后f（x）是非负的

然后那个面积

就是刚才我们说的这一块图形的面积

我们证明的结论是存在一个ξ属于(a,b)

使得我们这个面积

正好等于f（ξ）（b-a）

也就是一个长方形面积

现在我们看一下因为我们前面说过

闭区间上的连续函数

一定是有最大值和最小值的

所以说我们证明的时候

就是因为我们的条件是f（x）属于C[a,b]

所以我就存在一个x1，x2属于[a,b]

使得f（x1）是所有函数值里面最小的

f（x2）是所有函数值里面最大的

那么从几何上我们可以看出

我以最小的这个函数值做高度

以（b减a）做底边长做一个长方形

那么这个面积一定是比我们这块面积来的小

同样我如果以f（x2）

也就是最大值做高度

以（b减a）做宽度再做一个长方形

这个面积一定是大于我们这块面积的

也就是由于我们f（x1）乘上（b-a）

这个长方形面积

是小于我们这个长方形面积S小于

f（x2）乘上（b-a）这个大的长方形面积

我们所以就是两边同除（b-a）

我们的f(x1)就小于s除上(b减a)

小于f(x2)

写到这大家注意

我们这个分式的值实际就是一个

介于连续函数最小值和最大值之间的一个数

根据前面咱们介绍过的连续函数的界值定理

我们从而就找到了一个点ξ

介于x1与x2之间

因为我不知道x1和x2谁大谁小

所以我也不好写这个区间

但是我知道ξ一定是介于这两个点之间的

然后使得f(ξ)应该就等于s除上(b-a)

也就是s等于f(ξ)乘上(b-a)

因为ξ介于它俩之间

当然是区间[a,b]中的一个点

这样我们就证明了这个结论

这个结论就是利用了闭区间上

连续函数最大最小值的存在性

以及利用了连续函数的界值定理

我们得到了这么一个结果

这是这个例题

接下来第二个例题我们证明一下

若f（x）属于C[a,b]

则其值域是闭区间

实际上在讨论反函数连续性问题的时候

我们曾经说过闭区间上的单调函数

如果它连续的时候

它的值域一定是个闭区间

在这个地方我们把这个条件放宽

只要这个函数在闭区间上连续

那么它的值域一定是个闭区间

那我们简单解释一下

这个结论的证明

因为就是说

我们要证明它的值域是个闭区间

首先我们要把一个闭区间找出来

其次我们要证明它所有的函数值

在这个闭区间里面

同时在这个闭区间里的任何一个数

也一定是某一点的函数值

所以我们写这个证明的时候

应该因为f属于C[a,b]

我把x省掉了

所以我就找到x1，x2属于[a,b]

使得f(x1)小于等于f(x)小于等于f(x2)

这句话的意思

也就是说我所有的函数值

都是属于[f(x1),f(x2)]这个闭区间的

那这个属于关系从几何上讲

我们就证明了这个函数值的值域

是被包含在这个闭区间里面

另外我们为了证明集合相等

只要再证明一下

这个闭区间中的任何一个数

是某一点的函数值就行了

那这样用对于任意的f（x1）

小于μ小于f（x2）

我们利用界值定理

都能找到一个点ξ就是介于x1，x2之间

然后使得f（ξ）等于μ

这是这个说明这个闭区间中的任何一个数

又都属于它的值域

因为它都是某一点的函数值

所以说这个闭区间又被它的值域所包含

那么两个集合互相包含

说明这两个集合是相等的

这样我们也就证明了

闭区间上连续函数的值域

一定是个闭区间

我想这是关于我们讨论的连续函数

在闭区间上的性质

前面无论是连续函数的定性性质

运算性质

还是我们说的有界和最大最小值性质

这是我们微分学里面

关于连续函数经常用的一些结论

在以后的问题里面

大家用这些结论的时候

一定要注意我们的条件是什么

我们的结论确切的表述是什么