几种特殊函数的求导法在线视频

前面我们介绍了函数的导数运算法则

我们得到了一些基本初等函数的求导公式

在我们做导数运算时

有时候我们还会碰到一些特殊的函数

这些特殊的函数

有时候我们会用特殊的方法来处理

我们先看一下

我们碰到的几个特殊函数的求导法则

这是我们这一章第三节的内容

就是几个特殊函数的求导法

第一个我们就先看一个特殊函数

我们先看一下所谓的隐函数

它的求导方法所谓隐函数

我们先介绍一下隐函数的概念

因为我们现在没有多元函数的概念

所以说我们无法从一般的角度

讨论隐函数的概念以及隐函数的存在性

我们只是简单的大概的说一下

隐函数是什么意思

比如说隐函数的定义我们可以这样来描述

也就是说如果f(x，y)满足的一个等式

然后对于任意的x属于某一个范围I

我总能找到唯一的实数y

使得这个方程或者这个等式是成立的

我们为了体现以下这个y与x对应关系

我们也可以说对于任意的实数x_0

我都存在唯一的y_0使得这个方程

在x_0，y_0这点是成立的

如果这样子说

我们就说则称这个f(x，y)满足的方程

在我们这个范围I上确定了

确定了一个函数关系这个函数关系

因为我们没有看到y用x表示的这种数学表达关系

所以我们叫隐函数

也就确定的一个隐函数

然后记作y与x之间有一个函数关系

我想关于隐函数的概念在一元函数部分

我们只能简单的这样解释一下

接下来我们会通过一些具体的

x，y满足的等式来体会一下

为什么有的方程

就确确实实能确定一个从x到y的函数关系

那我们看一下就是说

对这样的隐函数我们怎么求导

比如说第一个例子

我们知道x等于y加上ε倍的siny

其中ε是大于0小于1的

我们知道y到x这么一个函数关系

这个函数关系

在后面我们介绍了导数符号与函数单调性关系之后

我们知道在这个函数里面x关于y求导

应该是1加上ε倍的cosy在ε在介于0到1之间时

这个导数明明是大于0的

实际上这个函数

x关于y是个单调递增函数

单调递增函数

我们就知道一定有一个从x到y的函数关系

但是我们在这个方程里面如果想要用x把y表示出来

我们是做不到的也就是我们解不出来

但这个函数关系确确实实是存在的

现在我们怎么样来求这个函数关系的导数

也就是要求y关于x 的导数

我们的处理方法是把等号两端都理解成x的函数

y是中间变量

y是中间变量

这样子的时候左边的导数就是显函数求导

而右边的导数应该是复合函数求导

因为y是中间变量

所以说我们在等式两端关于x求导

就会得到1等于y关于x导数再加上ε倍sin的导数是cosy

y再关于x求导是乘上y的导数

这样我们也就得到了

y关于x导数应该是等于1加上ε倍的cosy分之一

实际上这就是一个隐函数求导的方法

就是在等式两端关于自变量x求导

y作为中间变量来对待

在这个方法里面我们没有引进任何新的求导法则

用的就是前面我们介绍的四则运算

以及复合函数链导法则

我们再看一个例子

第二个例子说y等于y(x)这个函数关系

由这个方程确定

是e的x乘y次方加上tan(x乘y)再等于y

由这个方程确定了一个函数关系

我们求这个函数它在0这点的导数值

也就是说我们不仅求它的导数的表达式

我们也可以求隐函数在指定点的导数值

那这个我们怎么处理

方法跟刚才一样

也就是说我们在这个方程两端关于x求导

y作为中间变量

那么第一个利用复合函数的链导法则

应该是e的x乘y次方再乘上x乘y求导

也就是x导数乘上y

再加上x不动乘上y的导数

第二项tan又求导也就是sec方x乘y

再乘上x导数乘上y

再加上x不动乘上y的导数

右端是y求导

这样我们就得到了导数满足的等式

我们要求的是在x等于0那点的导数值

但是我们现在在x等于0那点的函数值y还不知道

那么我们就要在这个等式两端

也就是把x等于0代入我们这个条件等式

大家看一下x等于0e的0次方式1

x等0那么tan在0那点的值是0

这样我们就得到了函数在0那点的函数值应该是1

然后我们把x等于0y(0)等于1

代到这一个带有一阶导数的表达式里面

那么我们看一下这是e的0次方是1这个y是1

这个有x这个因子是0

所以第一项就是1

第二项这个sec在0那点的值也就是cos在0那点值的倒数

它应该是1它的平方自然还是1

而这个括号y(0)等于1这有x这个因子

所以第二项也是1

这有代入之后我们就得到

这个函数在0那点的导数值应该是等于2的

这是我们求隐函数在指定点的导数值的一般思路

然后第三个例子

我们来看一下

就是求曲线x的3次方加上y的3次方

等于9倍的xy在这个点

比如说(2,4)这一点处的切线方程

然后并求它的法线方程

这条线也就是著名的笛卡尔线

或者是笛卡尔叶形线

它的图大概是这个样子

也就是说它的第一象限里面跟个树叶似的

然后接下来在第二象限里面有一条

然后在第四象限里面有一条

这是笛卡尔叶形线的大概形状

那我们的(2,4)点

(2,4)点大概是这个位置

那通过这个图大家可以看出

对这条曲线来说

你用垂直x轴的直线去穿过它

实际上这条直线与这条曲线交点远远不止一个

换句话说你给一个x的值

在这里面可以有几个y的值与它对应

那当然一个x对应着几个y的值

那不是我们谈的函数关系

那我们做这个问题怎么来理解

就是说它里面有一个函数关系

实际上我们可以在这个(2,4)这一点附近

也就是考虑一个局部问题

那么在这附近的时候

这个笛卡尔叶形线上的一段

那么对任何一个垂直于x轴的直线来说

它与这一段的交点是只有一个

换句话说如果我把问题限定在这个点附近

那么这个等式还是能够做到这一点的

也就是对任何一个x来说

我能找到唯一的y与它对应

所以说它应该也能确定一个y是x的这个隐函数

然后我现在要求它的切线和法线

我们先要求导数

求导数的时候跟前面两个例子一样我们两端关于x求导

y是中间变量

所以说我们求导这样就是

3倍的x的平方加上3倍的y的平方

乘上y关于x的导数

就等于9倍的y加上9倍xy'

然后这样我们就得到了导数满足的等式

在这个方程里面

我们把x=2,y=4代入

那么这就应该是12

y=4,然后这个地方也就是48倍的y'

这面等于一个36再加上

这是个18倍的y'

在这里面大家就可以把导数在x=2这点的值算出来

那我们来看一下

这个值应该是30分之24

当然我们可以化简一下

也就是5分之4

这实际就是这条曲线在(2,4)这一点切线的斜率

切线方程当然就可以写出来了

切线方程应该等于y等于4加上五分之四倍的(x减2)

大家可以化简一下就是我们最后的结果

法线方程就是y等于4减掉四分之五倍的(x减2)

那我们做个简单整理就可以得到最后的法线方程的形式

我想这是关于我们在微积分里面在导数运算里面

要是碰到隐函数的时候

请大家一定要体会一下我们隐函数的求导法

实际上就是说两个函数相等导数一定相等

也就是在等号两端同时关于自变量求导

不是自变量的东西通通当成中间变量

这样我们利用四则运算的求导法则

以及复合函数的链导法

就会得到我们隐函数导数满足的方程

而这个方程当然是一次方程

所以在解这个方程的时候

我们不会碰到任何问题

这样关于隐函数的求导法