无穷可导函数的幂级数展开在线视频

好 我们讨论一个问题

一个函数f(x)如何能用幂级数展开

有一个函数f(x)如果能够写成

n从零到正无穷 有一个收敛半径

那么我们就说 在这个收敛域内

一个函数可以用幂级数展开来表示

那么我们就说函数f(x)可以用幂级数表示

简单称函数的幂级数展开

我们先来看看什么样的函数可以用幂级数展开

我们知道 函数如果能用幂级数展开

那么函数就是这个幂级数的和函数

既然是和函数

那么原来我们讲幂级数的分析性质公式我们

这个函数必须是任意阶可导的函数

如果不是任意阶可导的函数

就不需要去想这件事情

它肯定是展不了的

那么是不是任意阶可导的函数都可以展开呢

也不一定

我们给一个函数f(x)

e的负x平方分之1 当x不等于零

等于零 当x等于零的时候

你会发现在x0等于零点

这个函数的任意阶导数都等于零

那么你用一下Taylor展开式之后

发现如果这个函数可以由这个幂级数展开

那么这个an一定要等于f的n阶导数

在x0点取值除以n的阶乘

那么这个函数任意阶导数都等于零

所以的an都等于零

那是不是有这么一个性质呢

f(x)就等于0加上0x加上0x^2

加点点点0x^n加上点点点

不就等于零函数

显然是不对的

所以我们可以知道

这个函数的幂级数展开

对函数本身有要求的

第一要任意阶可导

第二件事情 就是这个函数的幂级数展开

不一定收敛到函数本身

就像这道例题

我们原来讲过有一个叫Taylor公式

带Lagrange余项的Taylor公式

是这么说的

如果这个函数是n+1阶可导的

那么f(x)一定可以写成

Σk从零到n f的k阶导数在x0的取值

除以k的阶乘 乘上x减x0的k次方

加上Lagrange余项

f的n+1阶导数在ξ这一点取值

除以n+1的阶乘 乘上x减x0的n+1次方

我们把这个叫做Lagrange余项

一定是存在这么一个ξ

这个ξ等于x0加上θ(x-x0)

其中这个θ属于(0,1)

这是一元函数微分的时候告诉我们的

所以一个函数能够用一个幂级数展开

显然可以展开

它的充分必要条件

就是Lagrange余项

n趋于正无穷f的n+1阶导数在ξ这一点取值

n+1的阶乘 乘上x减x0的n+1次方

要等于零

因为这个余项不就是和函数

减去前面有限项和

那么这个区域零的话 它就收敛

收敛的话 而且收敛到和函数本身

所以能够展开 充分必要条件就是它等于零

那么我们就可以给这么一个定理

如果说存在这么一个常数M

使得f的任意阶导数对于任意n

和任意的x在我们所讨论的范围内

它的绝对值都是小于等于M

那么我们就可以知道f(x)就可以由这个

幂级数的和函数来表示

或者说余项是趋于零

那么这个余项趋于零当然很简单了

因为x减x0这是n次幂

当n区域无穷的话

底下是n的阶乘 上面是有界函数

所以阶乘显然比幂函数大的多

所以一定是趋于零

下面我们看几个常见函数的幂级数展开

第一个函数

f(x)就等于e的x次幂

那么我们来看看

对于任意的R来讲 正实数

我们来看看在(-R,R)这个区间上

f的任意阶导数就等于e的x次方

因为e的x次方好就好在它任意阶导数都等于它

所以我们可以知道

f的任意阶导数都等于e的x次方

小于等于e的R次方

这就是那个常数

所以对于任意的x属于正负R之间

我们e的x次方一定可以写成Taylor级数的样子

后面无穷求和

等于1加上x除1的阶乘

加上x平方除以2的阶乘一直加

加到x的n次方除以n的阶乘再加点点点

我们这个R实际上是任意一个实数

所以我们这个e的x次方的幂级数展开

对于任意的x属于R都成立

这是我们第一个常见的幂级数展开

第二个展开我们来看看sinx

sinx的导数等于cosx

cosx的导数等于负的sinx

然后再求导数等于负的cosx

一直下来 所以sinx任意阶导数的绝对值

都是小于等于1的

所以用一下这个定理

我们又可以知道sinx

也可以有下面幂级数展开形式

x减去三的阶乘分之x的三次方

加上x的五次方除以五的阶乘加上点点点

加到x的2n+1次方除以2n-1的阶乘

前面有一个系数是-1的n+1次幂

x仍然是在整个实轴上都成立

那么对cosx也有类似的

因为cosx任意阶导数的绝对值都小于等于1

所以它等于1减去2的阶乘分之x的平方

加上4的阶乘x的4次方加上点点点

加上-1的n次方

2n的阶乘x的2n次方再加

这时候x仍然是在整个实轴上都成立

第四个公式

我们来看看1+x的α次方

我们也可不断的求导数

我们最后可以发现

等于1加上αx加上2的阶乘分之

α乘上α-1 x的平方 点点点

加到n的阶乘分之α(α-1)1一直乘

乘到(α-n+1)乘上x的n次方

那么这个收敛范围的话

就根据α不同的值

收敛的范围是有所区别的

如果α是小于-1的话

小于等于-1的话

是在(-1,1)收敛

α在小于0大于-1的话

是在(-1,1]上成立

α大于零的时候

是从[-1,1]的闭区间收敛

作为一个特例α等于-1的时候

也就是说1+x分之一

可写成1减x加x平方减x三次方

加到-1的x的n次方一直加

在(-1,1)这个范围内成立

如果说是1-x分之一

就可以写成1加x加上x的平方

加x的三次方再加上x的n次方

一直加下去 同样在(-1,1)上成立

如果我们再稍微改一下

改成1+x平方分之一

跟这个式子是一样的

只不过把上面那个x

用x的平方来代替

等于1-x的平方加上x的四次方减去x的六次方

加到-1的n次方x的2n次方再加

同样在(-1,1)范围内

那么这是我们很简单的

我们可以用

不断的用导数做

然后最后我们证明Lagrange余项收敛到零的

最后我们可以得到常见的这些函数的

幂级数展开形式

那么我们还知道

幂级数这个东西

再收敛半径内部是可以逐项积分逐项求导

所以利用逐项积分逐项求导的性质

我们还可以得到其他一些

稍微复杂一点的函数的幂级数展开形式

我们再来看一个例题ln(1+x)

我们没有直接的公式来算

但是我们看一下它的导数很简单

就等于1+x分之一

刚才我们已经算过了

它就所以1减x加x平方加上点点点

加到-1的x的n次方

收敛半径 R是等于1的

我们用一下幂级数的逐项积分

我们来看一看ln(1+x)

实际上就等于从零到x

ln(1+t)的导数dt

也就是说从零到x

1+t分之一的积分

那么1+t分之一我们可以知道

它就是从零到x

1减t加t平方加点点点

加到-1的n次方t的n次方

这个级数的积分

我们还知道这个是在收敛半径的内部

是可以逐项积分的

所以它就等于x减去2分之x的平方

加上3分之x三次方加上点点点

加到-1的n次方x的n+1次方除以n+1

一直加下去

我们来看看在(-1,1)一定是对的

我们再来看看这个幂级数的收敛域

当x等于1的时候是一个交错级数

它是收敛的

所以在1这一点我们可以包含在收敛域内

所以收敛域在1是包含的 是闭区间

在-1是开区间

所以这是ln(1+x)的幂级数展开

同样还有办法就是arctanx

arctanx函数很复杂

但是这个导数很简单

1+x的平方分之一

刚才我们已经算过了

就等于1减x的平方加上x的四次方加点点点

加上-1的n次方x的2n次方

同样是在(-1,1)这个范围内是成立的

那么我们同样用一下逐项积分

我们可以知道arctanx就等于

x减去3分之x三次方加上5分之x五次方

加上点点点加到-1的n次方

x的2n+1次方除以2n+1加点点点

那么我们来看看在(-1,1)开区间上一定是对的

把正负1朝里面一代你会发现有问题

这个收敛性是有问题的

好我们来看看在x等于-1和1这一点

后面这个幂级数都是收敛的

所以我们可以把收敛区域稍微推广一点

做到[-1,1]的闭区间

它都是收敛的交错项级数

arctanx也有这种展开形式

所以对幂级数来讲

我们知道有一个收敛半径

在收敛半径的内部

我们还知道有逐项积分逐项求导

这种很有用的工具

所以这些工具都可以帮我们来

求一个函数的幂级数展开

我们再来看一个例题

我们来求1-x分之一括弧平方的幂级数展开

有两个办法可以求

我们先求一个比较简单的办法

我们知道这个函数

就等于1-x分之一的导数

那么1-x分之一我们知道是

1加x加上x平方加上点点点

加到x的n次方加上点点点

这个函数的导数

逐项求导等于1加上两倍的x

加上三倍的x平方

加上点点点加上n倍的x的n-1次方

收敛范围是在(-1,1)之间

所以我们仍然是用了逐项求导的性质

其实我们还可以有第二种办法来求

你想1-x分之一的平方就是1加x加上x平方

一直加加上点点点加到x的n次方加上点点点

括弧的平方

那两个一乘实际上也可以出来

但是你会发现

这个时候非常非常的困难

上面的逐项求导的办法显然简单很多

所以一个函数的幂级数展开

我们有两种办法

第一种叫做直接方法

就是我们刚才说的

像e的x sinx cosx 1+x的α次方

我们直接用导数来做

用Taylor公式然后证明Lagrange余项趋于零

最后我们可以来做

第二种办法就叫做间接展开

所谓间接展开就是用

把一个复杂的函数用一定的方法

把它简化成为简单的函数

而这个简单函数

我们也可以用直接方法做出来幂级数展开

最后做到了

把一个复杂的函数

做成一个幂级数展开

而所有的工具

有这么一些工具可以用

比如说逐项积分 逐项求导

这些都是我们常见的工具

当然还有一些代数工具可以用

比如说把一个复杂函数

看成两个函数的和

然后求Taylor展开之后

求和就可以了

常见的那些代数公式

当然我们也是可以用的

这是一个函数幂级数展开的两种方法

一种是直接展开的公式

和常见的一些间接展开的方法