当前课程知识点：微积分——极限理论与一元函数 > 第八章 级数 > 第一节 数项级数的概念与性质 > 8-2 级数收敛的概念
好 在前面我们提出了
一个形式和
我们主要关心
他是不是能够
与一个确定的值对应
我们怎么样把一个形式和
与一个确定的值对应起来
这就是我们这一讲要介绍的概念
就是级数的收敛性
我们直接给出收敛的定义
我们设Sn这个数列是级数an
对n从1到无穷求和的
前n项和数列
如果Sn的极限存在
我们就称这个级数是收敛的
极限值就称为这个级数的和
如果前n项和数列的极限不存在
我们就称这个级数是发散的
发散级数当然不对应于任何确定的值
根据级数收敛的定义
实际上
我们说一个级数收敛
指的就是他的前n项和
得到的这个数列
极限是存在的
而在他收敛的时候
我们就把他前n项和
这个极限值
称为这个数项级数的和
也就是说这个时候
这个数项级数
这个无穷的形式和
他就与一个数对应起来
我们怎么样把一个级数
与一个数对应起来的
就是利用前面我们介绍的
数列极限的概念
如果一个级数他不收敛时
他当然不会对应着任何值
这时候我们就说
这个级数是发散的
我们讨论数项级数
当然关心的是说
什么的级数收敛
我怎么样判断一个级数收敛
接下来 我们先利用这个定义
讨论几个简单级数的收敛性问题
第一个例题
那我们看一下
就是这个级数
n从1到无穷
q的n次方
我们来讨论一下
这个级数的收敛性问题
这个级数
也是我们平时说的几何级数
对这个级数来说
因为他本身
他的通项构成的是一个等比数列
所以说他的前n项和
应该就是一个
首项为q
公比是q
这么一个等比数列
所以他的前n项和公式
我们是可以直接得到的
我们知道这里是
公比的n次方
所以我们的结论就是说当公比的绝对值小于1时
因为q的n次方趋向于0
这个时候我们知道
他的前n项的和
他的极限应该就是
公比除上1减公比
也就是说这个时候
这个几何级数是收敛的
而且他的和就是q除上1-q
如果当这个q绝对值
大于等于1时
这个时候
我们知道这个级数
他对应的前n项和
极限并不存在
所以这时候
这个几何级数他就是发散的
所以说关于几何级数
他的收敛性
我们就利用这个定义
很容易就得到了
接下来
我们来看第二个例子
第二个例子
我们考虑这个级数
也就是n从1到无穷
n乘上n+1分之一
我们讨论这个级数的收敛性
他的通项就是1/n(n+1)
对这个级数
我们看看他的前n项和
Sn也就等于一个k从1到n 1/k(k+1)
这一个我们也可以是一个
k从1到n
这面是1/k-1/(k+1)
这样我们给他求和的时候
正好 他每一项
也就这个括号
后面那一项
他的第一部分
与前面那一项的第二部分
正负抵消掉
所以这样
他的前n项的和
应该就是1-1/(n+1)
因为前n项的和求出来了
我们直接就得到了
n趋向于无穷时
Sn的极限
他的极限
当然也就是这个数列的极限
是等于1的
所以我们知道
这个级数他是收敛的
而且他的和应该就是1
这是第二个例子
那我们看一下第三个例子
第三个例子
也就是说我们来看一下
这个级数
他是不是收敛的
他是不是收敛的
那当然
这个级数大家知道
我们要是求
他前n项和的表达式的时候
我们是得不到
他的前n项和的简单表达式
当然也就没法
利用极限运算的方法
直接求他前n项和的极限
但是对这个题目来说
我们知道这样
也就是说
他的前n项和构成的数列
这个数列本身
应该是个单调递增的数列
我现在问这个级数收敛不收敛
实际上就是问
前n项和Sn
这个数列有没有极限
现在我已经知道
他是单调递增的了
所以说我证明他有没有极限
就等价于证明他有没有上界
那就是说
只有我能说清楚他是有上界的
所以我就能说清楚他是有极限的
那我们怎么看
因为这个Sn是等于1的平方之一
加上一个2的平方分之一
一直加
加到n的平方分之一
那大家看一下
我可以从第二项开始
就给他放大
第一项当然是1
第二项我们给他放大到1*1/2
他的第三项
应该是3的平方分之一
给他放大到1/(2*3)
最后一项
我给他放大到1/(n-1*n)
对于后面的
我们给他拆项
拆项完了之后
他应该就等于1
这个剩下
这一项的第一项是1
减掉后面那
这一项的n分之一
这样子的时候
我自然可以
给他放大到2
所以说我就利用一个简单的放缩
就发现这个前n项的和
这个数列不仅是单调递增的
而且是有上界的
所以说根据单调有界收敛定理
我们就知道
这个前n项和
这个极限是存在的
存在的
当然也就是说这个级数
他是收敛的
收敛按着定义
他自然就应该收敛到一个数
现在我们问
我们有没有办法
把这个收敛级数的和求出来
有没有办法
结果可以告诉大家
这应该是π^2/6
但是大家想一想
π是个无理数
而我这个 级数
所有的通项
显然都是简单的有理数
那你怎么能得出π^2/6来
实际上
这是在我们后面
讨论函数项级数时
我们可以处理的一个问题
实际我们利用函数项级数
就可以得到这个数项级数
他的和的值
当然只用数项级数
和的定义
我们是得不到这个结果的
这个作为后面要讨论的一个问题
接下来
我们来看一下
下面一个例子
这个例子也就是说
我们来看一看这个级数
他的收敛性
就是1/n
从1到无穷求和
这个级数
我们一般叫调和级数
这个级数与上面
我们这个例子讨论的
应该有些相似之处
但是因为这里是一次方
这里是平方
也就是说 那一
上面那个级数
他每一项应该是
比这里面的
这个级数的每一项都是小的
所以尽管他是单调递增
加的是正的
但因为他加的东西
越来越小
而且很快的变得很小
所以他还是有上界的
那现在我们看一看
这个问题
能不能用刚才的思路来说
实际上这个问题
我们知道1/n
他应该是大于ln(1+1/bn)的
这是对数函数的一个简单性质
如果这样子的时候
大家就知道
他的前n项和
应该就大于ln(1+1)
这就是那个1
再加上一个ln(1+1/2)
一直加到ln(1+1/n)
这个就是ln2
这个是ln3/2
所以这两个一加
应该变成2*3/2的自然对数
实际就是ln3
后面应该接着一项是ln4/3
两个一加又变成了
3*3 4/3 的自然对数
实际就是4的自然对数
所以最后
这个地方应该是等于ln(n+1)
那么它的前n项和
是大于n+1的自然对数
我们知道n+1
它的自然对数
他是没有上界的
换句话说
这个Sn
他也是没有上界的
而且很容易看出来
n趋向无穷时
他应该是个正无穷大量
正无穷大量说明
这个前n项和
它的数列是不收敛的
也就是没极限的
所以这个数列本身是发散的
所以调和级数
尽管是我们很熟悉的一个级数
但是他不针对于任何特定的值
因为他没有收敛性
最后给大家留一个练习
这个练习就是在前面
我们介绍级数概念时
我们曾经给出了一个简单的例子
也就是说一个人
要走一段距离
这个距离我们是写的2d
我们假设
他前半段距离的速度是v
后半段距离
他的一半
我们是qv这个速度
然后再往下
每走一半
他的距离都乘以一个q
那么 请大家利用
级数收敛的概念去讨论一下
那个人要从A走到B
用的时间是什么
这个时间与那个q有没有关系
我们的结论应该是
他与q当然是有关系的
只要2q>1
他应该就在有限的时间里面
能够从A走到B
如果2q<=1
那么他就可以一直走下去
永远不可能从A走到B
-序言
--序言
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--实数集的界
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--思考题
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--分段函数与隐函数
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--初等函数
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