分步积分法在线视频

好我们来看看另外一种

计算不定积分的方法

第三种方法分步积分法

假如说u(x)和v(x)是两个关于x的函数

都是C(1)类的函数

也就是连续可导的函数

那么我们知道

根据导数的公式

我们可以知道u(x)v(x)

这个函数新的函数的导数的公式

就可以知道等于u的导数

(x)v(x)+u(x)v的导数(x)

那么我们把这个公式稍微改变一下

我们可以知道u(x)v的导数(x)就等于

[u(x)v(x)]的导数减去u的导数(x)v(x)

这反正是只要把上面三个项挪一下

那这样的话我两边取不定积分

u(x)v的导数(x)dx就可以写成

[u(x)v(x)]乘积的导数不定积分

减去u的导数(x)v(x)dx

两边相同的函数

不定积分如果存在的话必然是相等的

我们把这个三个式子改写一下

也就是说u(x)dv(x)

因为dv(x)的微分就是v的导数(x)dx

就相当于我们把这个v的导数(x)放进去

等于 [u(x)v(x)]的导数的不定积分

就等于u(x)v(x)

再减去同样我们把u的导数

(x)之后v(x)du(x)

看上去好像差不太多

那么如果说这个积分如果说是难一点

我们积不出来

这个不定积分是容易一点的

我们能积出来

这样的话我们就完成了我们想做的事情

把一个难的不定积分

变成了一个函数和一个简单的

不定积分的计算

所以我们把难的事情呢

变成了简单的事情

那么这就是我们分步积分的一个

它的主要的思想就是这个

那么哪些函数本身难

也就是说那么它的导函数简单呢

我们来看看u(x)是哪些函数

函数本身很难

但是它的导数会简单

哪些函数

我们可以发现

lnx是满足我们的要求的式子

lnx这个函数本身很难

但是它的导数很简单就是

x分之一第二类函数就是arctanx

arctanx这个函数很难

但是它导数就等于(1加x平方)分之一

也是很简单的

第三类函数就是arcsinx

arcsinx这个函数也是相对来讲比较复杂的

因为我们不太好积分的

但是arcsinx的导数很简单

就是等于根号(1减x平方)分之一

所以这一些函数

它的主要的性质

就是函数本身比较难

但是它的导数比较简单

还有另外一些函数

函数和导数差不多

比如说e的x这个函数

它的导数就是e的x是差不多的

sinx这个函数

sinx的导数是cosx

cosx的导数是-sinx

也就是说sinx和它的导数

实际上难度是差不多的

相应来讲还有一个cosx

上面那排函数是函数复杂导数简单

下面那排是函数和导数差不多难度

我们来看看我们分步积分的方法

怎么样用这些函数的不定积分来计算

lnx这个函数的不定积分

那么在分步积分的时候

你要把原来的被积函数

是不是要分成两个

一个叫u一个叫dv

所以lnx这个函数我们刚才已经讲过

这个函数本身很困难

但是呢这个函数的导数很简单

所以我们把u(x)呢就记成是lnx

v(x)是什么东西很简单

x就是v(x)

根据分部积分的方法

u(x)dv(x)就等于

u(x)是lnx乘上v(x）乘上x

再减去v(x)是x乘上（lnx）的导数dx

那么我们稍微计算一下

就等于xlnx减去

x乘上lnx的导数呢是x分之一的dx

就等于xlnx减去

后面很简单了

x乘x分之一当然就等于1

1的原函数就是x加上常数C

所以我们用分步积分

充分利用了分步积分的好处

就是把它lnx本身是很复杂

但是(lnx)的导数简单很多

利用了这个性质

分步积分一次之后

我们可以得到它的不定积分

我们来看看第二个例题

xarctanxdx显然arctanx这个函数

我们要把它记成u(x)

也就是这个函数最大的特点就是

函数本身麻烦但是导数简单

那么v(x)是什么东西

我们把这个x放进去

就构成了v(x)

所以我们经过稍微简单的化简

就是等于arctanxd(二分之x的平方)

所以这个函数我们把它记成u(x)

二分之x平方这个函数记成v(x)

那么这样的话我们就可以发现

它就等于u(x)乘上v(x)

就是二分之x平方2乘上arctanx 第一项

减去不定积分v(x)乘上u的导数(x)

v(x)等于二分之x平方乘上导数

是等于arctan是1加x平方分之一dx

那很显然这个函数的不定积分就简单很多

我们继续算一下

就等于(二分之x平方)

arctanx减去(二分之一)积分

上面是x平方+1-1除以(1加x平方) dx

加一减一那么就等于

(二分之x平方)arctanx减去1/2

前面是1减去

(1加上x平方分之一)这个函数的dx

我们稍微化简一下

就可以得到

（二分之x平方）arctanx减去x/2

加上1/2乘上1加上x平方分之一的不定积分

就是arctanx (1/2)

arctanx加上任意的常数C

所以我们就充分利用了

arctanx这个函数本身比较复杂

但是它的导数比较简单这么一个性质

用分步积分法

把这么一个函数的不定积分

给很简单地给它算出来了

要注意一下x作为一个多余的项

一定要把它放在dx的后面去

要不然的话如果说你简单计算

我令xarctanx这个函数就等于u

如果说我把这个函数叫做u(x)

把xv(x)呢就等于x

也就是我把整个一个都叫u(x)

把这个叫做v(x)

也可以做分步积分

但是这个时候你会发现

u的导数(x)等于arctanx加上

x乘上1加上x平方分之一

这个函数的导数

仍然是并不简单的

所以做分步积分一次之后

还是算不出它的具体结果

所以要把它的多余的项放到v(x)里面

这是一个最好的一个解法

好刚才我们几个例题的分步积分的应用

都是把一个u(x)如果说很复杂

但是u的导数(x)相对简单一点

我们用分步积分

把本来对u(x)的积分呢

不定积分变成u的导数(x)

相关的一个函数的不定积分

那么就简化了原来的不定积分

那么现在我们看几个例题

x的平方e的x这个函数的不定积分

e的x这个函数我们刚才已经讲过

这个函数它的导数和它自己完全是一样的

那么我们来看看用分步积分的办法来做

x平方e的x就是de的x因为de的x就等于

e的x导数就是它自己dx

所以这两个完全就是相等的

那么我把x的平方叫做u(x)

e的x次方叫做v(x)或者说u(x)dv(x)

用分步积分的办法

就等于x平方e的x次方减去v(x)是e的x

乘上u(x)x平方的导数dx

所以我们把原来的x平方e的x次方的积分呢

变成一个函数x平方e的

x次方减去2倍的xe的xdx

我们把原来的x平方这一项

就变成新的x一次方这一项

显然看上去这个不定积分

比原来那个不定积分x平方要简单一点

那可以想一下我们再做一次

我们希望把x的一次方就变成x的0次方

那样我们就可以算出来

就等于x平方e的x次方减去2倍的

还是xde的x次方我们把x叫做u(x)

把e的x仍然叫v(x)的话

就等于x平方e的x次方减去2倍的

u(x)乘上v(x)

就是x乘上e的x次方减去

v(x)du(x)e的x次方du(x)就是dx

也就等于x平方e的x次方

减去2倍的xe的x次方

加上2倍的e的x次方加上常数C

类似的性质的函数

我们还有一个

我们来看看假如说我们要算xsin(2x)dx

这是x的1次方那么我们来看看

sin(2x)和它的导数

实际上是差不多的难度

所以我们这种题的话

我们也可以用分步积分的方法来做

我们只要把sinx不断地放进去

我们也可以得到

这么一个样子的x的正整数次方

乘上sin的αx或者说x的正整数次方

乘上cosαx通过不断的运用不定积分

每做一次不定积分

x正整数次方前面的次数呢要少一次

最后少到x的0次方

这个积分就可以积出来了

所以我们这道题呢

我们就不具体做了

大家回去自己想一下

怎么样跟刚才例4一样的方法

把这道题也做出来

我们来看看第六道例题

我们要算e的x次方sinx的dx

跟刚才那两道题又不一样了

刚才那两道题是一个

正整数次方的x的幂函数

乘上sinxcosx或者e的x次方

这个题你看没有那个幂函数

但是我们始终记着

我们把这个函数

我们把这个积分叫做I的话

我们试一下看看能不能够

用分步积分把它算出来

显然I就等于sinxde的x

我们把这个函数叫做u(x)

把e的x叫做v(x)

就等于u(x)乘上v(x)

也就是e^x乘上sinx

再减去v(x)是e的x

u的导数就是cosxdx

所以我们把原来的不定积分

e的xsinx这个函数的不定积分

变成了一个已知的函数

以及另外一个不定积分

e的xcosx的不定积分

你可以发现这两个积分实际上差不多的

那么我们再想想

再作一次分步积分的话

能不能把这个cosx

因为刚才sinx分部积分一次

变成cosx能不能再做一次分步积分

把cosx就变回sinx

我们来看看这里面会出什么样的现象

e的xsinx放在那减去cosxde的x

我把这个函数叫做u(x)

把这个函数叫做v(x)

再作一次分步积分

就等于e的xsinx减去

e的xcosx减去e的x乘上cosx的导数

e的x乘上cosx的导数的dx

也就等于e的xsinx减去e的xcosx

那么我们可以知道

负负得正变成加号

但是cosx的导数等于-sinx

所以减去e的xsinxdx

而我们知道这个函数

就是我们要算的那个I

所以最后我们可以得到

I就等于e的xsinx减去e的xcosx再减去I

这个就是I

这样的话关于I就构成了一个方程

我把这个I挪到等号左边

就可以得到2I就等于

e的x（sinx减去cosx）

要注意一下I是一个不定积分

我们已经强调过

所有的不定积分都要任意常数

所以呢我们要添加一个任意常数

那么I呢就等于

二分之一e的x(sinx-cosx)

按理说应该加上二分之C

但是二分之C C是一个任意常数

而二分之C依然是一个任意常数

所以我们直接就不需要画蛇添足了

加上C就行了

所以这道题里边

我们充分利用了

sinx这个函数求一次导数得cosx

再求一次导数又变成了变回到-sinx

充分利用了这个性质

我们可以把这么一个

e的xsinx或者说类似地

我们可以算e的xcosx这个函数的不定积分

这一类函数的不定积分

我们通通可以把它算出来