拐点在线视频

接下来我们来介绍一下函数拐点的概念

以及函数拐点的求法

这是我们这一节的第三个问题就是拐点

首先我们来看一下

什么叫函数的拐点

函数拐点我们可以这样定义

就是说若f(x)在x0两侧它的凸性不同

则称x0这个点是这个函数f(x)的拐点

这就是拐点的定义

也就是说如果它在x0的左侧是下凸的

在x0的右侧它是上凸的

那么x0就是拐点

反过来是一样的

如果在左侧上凸而右侧下凸

它仍然是拐点

刚才我们说到了左侧右侧

自然指的是在这个点的左侧附近和右侧附近

它是一个拐点它并不意味它在它的左侧永远就是下凸

在右侧永远是上凸

只要在左侧附近下凸

右侧附近上凸就可以了

反过来也是一样的

一样的

我想这是拐点的定义

如果定义函数拐点

我们现在说的就是坐标轴上的一个点x0

但有时候我们也会说(x0，f(x0))

是这个函数的拐点

这个说法也是对的

因为什么

因为我们有时候说这个点是这条曲线的拐点

我想这个说法它的几何背景会更清晰些

因为有时候我给函数

实际相当于给了xy平面上的一条曲线

如果我谈曲线上的拐点

自然就指的曲线上一个点

在这个点的两侧

曲线的凸性是不一样的

在微积分里面

我们一般不区分x0和(x0，f(x0))

我们都把它称为是函数的拐点

我想这个是拐点的定义

接下来我们来看一下拐点怎么去求

也就是

给了我们具体函数之后

我们怎么样把拐点求出来

大家注意根据我们前面介绍的东西

说在导数存在的前提下拐点是什么

因为导数单调性发生变化时

函数的凸性一定是发生变化的

所以说拐点指的是

函数一阶导数经过它之后

函数的单调性发生了变化

这样的点自然是拐点

而导数单调性发生变化

说明在拐点的地方

导数应该是取到极值的

取到极值的时候

那就是说

二阶导数如果存在的时候

二阶导数一定是等于0的

当然二阶导数不存在它自然也可能经过这个点

一阶导数单调性发生了变化

无论如何大家一定要想清楚

把拐点的求法

与前面我们函数求极值的方法联系起来

一般来说可以这样写

如果我求一个函数的拐点

第一步你可以看这个二阶导数等于0的点

和二阶导数不存在的点

这样找出来之后

这一点如果我记成xk

那么第二步我们主要就是看

在xk两侧

是不是一阶导数单调性不一致

或者是有二阶导数的时候

或者是二阶导数的符号是相异的

如果这样的点找出来之后

你能判断它的左右两侧一阶导数单调性不一样

那这样的点一定是拐点

或者说在二阶导数存在的前提下

我们能判断在这样的点左右两侧

二阶导数变号它自然也是拐点

所以拐点的求法应该是个常规的问题

我们自然也有一个常规的方法去处理

在这个地方我们就介绍几个例子

通过例题来体会一下这个方法

比如说我们有一个函数

f(x)等于x除上1加x方

我们下面就讨论这个函数的凸性

或者是求这个函数的下凸区间

或者是上凸区间

并求这个函数的拐点

这是我们的问题

那我们解因为大家知道

这个函数定义域是负无穷到正无穷

而且在定义域中二阶导数总是存在的

所以大家就求一阶导

利用分式求导大家看一下

这个地方应该是什么东西

应该就是1减x方除上1加x方括起来的平方

这应该就是它的一阶导数

我相信大家能把这个一阶导数求出来

现在我们关心的是二阶导数

二阶导数也就是分子的导数是负的2倍x乘上分母

就是1加x平方括起来的平方次方

再减掉分子不动再乘上分母的导数是

2倍的1加x的平方次方

再乘上2倍的x

再除上1加x平方的四次方

也就是除上分母的平方

那在这个表达式里面

大家知道

我们分母分子都有1+x平方这个因子

所以我们消掉

消掉以后我们做一个简单的整理

它应该就是1加x平方的三次方

上面是2倍的x(x方减3)

这样我们令二阶导数等于0

大家看一下我们就会得到

这么三个点x1=负的根3 x2=0 x3=根3

接下来我们要是谈它的下凸上凸区间的时候

是不是这样去看

也就是因为我们整个定义域

还是那个负无穷到正无穷

这是x这是二阶导这是函数

那也就是(-∞到负的根3)

这个是范围这是负的根3

然后(负的根3到0)这个是0

后边的因为跟前边类似讨论

我就不再写了

这样写下来之后请大家看一下

在这个范围里面分母永远是大于0的

在这个范围里面这是小于0的这个是大于0的

所以它二阶导数是小于0

所以函数来说应该是上凸的

应该上凸的

那么在(负的根3到0)

(负的根3到0)这是负的

这个也是负的说这个时候二阶导数是大于0的

所以函数来说它应该是下凸的

下凸的下凸的好

一个是上凸一个是下凸

这个就是一个拐点

当然剩下你可以讨论(0，根3)它二阶导数的正负号

从而得到函数的凸性

进而说明x=0是不是拐点

应该是这样去讨论的

所以这样有了二阶导数与函数凸性的关系之后

那通过这个例题大家就知道

对于具体函数我们该怎么求它的上凸下凸区间

怎么样去求它的拐点

接下来我们看第二个例题

第二个例题是指的这个题目

也就是说我们问当a，b为何值时

(1,3)是这条曲线y等于ax的三次方加上bx平方的拐点

这就是说带有参数

说问a，b取什么值时点(1,3)是这条曲线的拐点

同样这个函数

任何一点二阶导数存在

我们就知道它如果要想成为拐点

在二阶导数存在的前提下二阶导数必须为0

所以大家就求它的二阶导数

二阶导数大家一求应该是6倍的ax再加上2倍的b

但我们是关心在x=1这点的值所以6ax就是6a

再加上2b它应该是等于0的

接下来这个点是这条曲线的拐点

意味着这个点应该在曲线上

所以说x=1时y应该等于3

也就是a+b应该是等于3

那大家看一下这就是a，b满足的一个二元一次方程组

大家自然能把a,b求出来

也就是说这个点要想成为拐点

a,b必须是同时满足这两个方程

当然大家求出来之后

我们自然就问它是还是不是

实际上这个地方大家简单一做就知道

因为我们的b是等于-3a的

b等于-3a的时候所以说这个地方应该是

ab是等于-3a所以就减掉3倍的a应该等3

所以说这个a就等于负的二分之3

b也就等于-3a也就等于二分之9

求完之后它的二阶导数刚才说过了6ax

好再把a代进去6ax自然就是它的两阶导数

应该是一个-9x

再加上两倍的b再把b带进去就是加上9

也就等于9(1-x)

那大家马上就知道了

二阶导数经过x=1这个点是变号的

这说明x=1对应的确确实实是函数的拐点

那如果再进一步问

它在x=1的左侧是下凸的还是上凸的

大家知道因为在x=1的左侧

这一个应该是大于0的

说明是下凸函数在x=1的右侧

因为这个二阶导数小于0

说明它是上凸函数

这是第二个例题

第三个例题也就是说如果函数二阶导数是存在的

而且满足x趋向于0时

我们二阶导数比上1减cosx乘上x绝对值

这个是极限等于1

我们现在来讨论这个问题

就是在f'(0)等0的前提下

我们问x等0是不是f(x)这个函数的极值点

是不是它的拐点

那当然这个题目大家看

你给的这个条件

我显然没法把f(x)求出来的

但是我们这个问题

也没有我们非得求f(x)表达式

因为我问它是不是极值点

就是问在给定的条件下

我们能不能判断在x=0的两侧

它的一阶导数的正负号

或者说我问它是不是它的拐点

就是问在x=0的两侧

你能不能判断它二阶导数的正负号

那大家看一下

这个题目我们做的时候

首先因为这个极限等于1是大于0的

根据极限的保号性质

所以大家一定能找到一个δ大于0

使得就是在负δ到0并上0到δ这个范围里面

我们这个二阶导数除上1-cosx

再乘上x绝对值是大于0的

那在这里面大家注意到

这个因子是大于0

这个因子自然也是大于0的

所以说这个也就推出了两阶导数在这个范围里面是大于0的

实际上我们已经解决了一个问题

就是在x等于0附近二阶导数是不变号的

二阶导数不变号

说明x等于0这个点不会是它的拐点

好二阶导数大于0

我们就知道它的一阶导数一定是单增的

一阶导数单增我们又给了一个条件是一阶导数等于0

在0这点等于0

那大家马上就知道

在x小于0时一阶导数是小于0的

在x大于0时一阶导数是大于0的

这说明这个函数在0的左侧是单调递减的

在x=0的右侧是单调递增的

所以我们x=0应该是这个函数的极小值点

这样我们就回答了这个题目中问的两个问题

我们的结论是x=0是它的极小值点

x=0不是它的拐点

好接下来我们介绍这一节的最后一个例题

也就是我们的第四个例题

第四个例题是这样子的

我们任给x1x2一直到xn都是大于0的

我们证明n除上x1分之一加上x2分之一

一直加加到xn分之一

它应该是小于等于n次根下x1乘x2一直乘到xn

它小于等于x1加上x2一直加到xn再除上n

实际上这个关系是我们基本不等式里面

大家比较熟悉的所谓的均值不等式

而左边这个这是这所谓n个正数的调和平均数

中间应该是它的几何平均数

右边当然是我们最熟悉的算术平均数

实际上就是关于均值不等式

证明的方式当然有很多种

在这个地方我们有了函数凸性的判别法之后

我们利用函数凸性的概念

实际上也就是利用所谓的凸性不等式

来证一下这个均值不等式

这个怎么和函数的凸性联系起来

我们先看右边这个不等号

右边这个不等号大家注意

这是一个连乘开方

对于就是连乘和开方的运算

大家知道我们在做变形的时候

很容易就会想到利用对数的运算性质

把连乘的东西给它变成连和

也就是说n个正数乘积的对数

应该等于这n个正数对数的和

就利用这个而我们的自然对数

正好是一个单增的

所以说这个不等式应该等价于证明

lnn次根下x1乘x2一直乘到xn

小于等于ln(n分之x1加上x2一直加到xn)

这应该是等价的

而这个东西自然也就是等价于证明

n分之ln(x1)加上ln(x2)

一直加加到ln(xn)小于等于这个值

那大家看这样就会牵扯到

对数函数在n个点的值它的线性组合

与这n个点作线性组合之后求对数函数

而这个组合系数加起来

应该正好是等于1的

所以到了这一步之后

我们这个证明是这样写的

也就是令f(x)等于ln(x)

则f一阶导就等于x分之一

f两阶导就等于负的x平方分之一

因为我们的定义域是0到正无穷

我们知道这个时候它永远是小于0的

小于0根据我们前面给出的凸性判别法

也就是故f(x)在它的定义域0到正无穷是上凸函数

那么是上凸函数的时候

所以这个时候它两点连线上的值

一定是在那条曲线上的值的下方

所以说所以f就是n分之x1加一直加到xn

一定是大于等于n分之f(x1)一直加到f(xn)

那大家把f(x)是对数函数代进去

就会得到我们这个值大于等于这个值

从而也就得到了这个不等式是对的

有了这个不等式之后

接下来这个不等式自然也就出来了

因为什么因为我们知道根据刚才的证明

x1分之一乘上x2分之一一直乘到xn分之一

开n次方这么自然是小于等于

就是n分之x1分之一加一直加到xn分之一

因为它们都是非负的

我们给它做一个倒数运算

这个不等号就应该是反向了

反向自然就是说明

我们的调和平均值不会超过它的几何平均值

我想这是利用凸性的性质来证明不等式

关于数学上证不等式

除了我们中学学过的利用基本不等式来做证明之外

前面我们介绍了利用单调性

在讲拉格朗日中值定理时

我们还曾经利用拉格朗日中值定理来做不等式证明

当然现在有了函数凸性的判别法之后

我们可以利用函数凸性的概念

利用所谓的凸性不等式来证明有关的代数不等式