交错项级数判敛举例在线视频

好 前面我们给出了 交错级数

在莱布尼兹条件下的收敛性结论

接下来我们看几个交错级数的例题

第一个题 我们就看一看这个级数

它的敛散性结论

-1的n次方 这是n分之ln n

这个级数当然它应该是交错级数

因为在n等于2开始的时候

ln n比上n自然是大于0的

前面有一个-1的n次方

代表它通项的正负号是交替出现的

那么我们为了说明

这个级数的敛散性

就可以这样说

因为 这个级数 它的通项

在n趋向于无穷时

ln n除上n 这个极限是等于0的

这是我们知道的一个结果

因为对数函数与幂函数相比

它总是慢的

接下来 咱们再看一下

这个通项的绝对值

它有没有单调性

为了看看这个东西

大家就可以考虑这么一个函数

ln x除上x

这个函数 它的导数 也就是

分子的导数乘上分母 这就是1

减掉 分子不动 乘上分母的导数

这就是ln x 底下是分母的平方

那么对这个函数来说

我们知道 只要这个x大于e

那么它就应该是一个

导数小于0的函数

换句话说 这个函数只要x大于e

它就是单调递减的

那么对级数的收敛性来说

我们自然只关心n比较大的情况下

自然能够保证

我关心的是n大于1的情况

所以这样就知道了 这一个级数

就是ln n 除上n

它应该是单调递减的

所以说 因为通项趋向于0

而且它又是单调递减的

根据莱布尼兹判敛法

所以我们这个级数

也就是-1的n次方 ln n除上n

n从2开 它应该是收敛的

这就是直接用莱布尼兹判敛法

判断一个交错级数的敛散性结论

我们看第二个例题

第二个例题我们就考虑

n从1到无穷 sin

这里面是π乘上根号下面n方加1

就这个级数

这个级数因为它是

对这个表达式求正弦

实际上 从现在的形式

我们并不知道

它是不是一定是一个交错级数

但因为这个地方牵扯的是正弦函数

而且在n趋向于无穷时

我们知道这个括号

大概与那个nπ是比较接近的

考虑到这些因素

我们可以对这个通项进行变形

这个通项变形的时候

我们就利用正弦函数的性质

那么sinπ乘上根号下n方加1

这个地方我们给它减掉一个nπ

因为我们刚才说过

这个表达式在n趋向无穷时

跟它是比较接近的

所以如果给它减掉

它自然就应该是趋向于0的

但为了保持恒等

我们应该加上一个n倍的π

这个通项我们做这么一个恒等变形

但是大家注意 我们正弦函数

是有所谓的诱导公式的

也就是说sin(α+π)

它应该是等于负的sinα

如果sinn(α+2π)

自然应该等于sinα

也就是说这个地方

与前面这个角的正弦的关系

正好就看这个n的取值

n如果取奇数的时候

它与前面这个角的正弦

应该有一个符号相反的关系

而如果n是取偶数的时候

这个正弦与前面这个角的正弦

应该是相等的关系

我们为了把这个关系刻画出来

我们就直接写成-1的n次方

sin 这面就是一个

π根号下n方加1 减掉一个nπ

那我们写成这个形式

这个正负号就在sin

前面得到了体现

当然现在还有一个问题

后面这个因子是不是不变号的

k就等于-1的n次方 sin

这个地方做一个有理化

做一个有理化之后

应该就是一个π

除上根号下n方加1 加上n

也就是上下同乘

根号下n方加1 再加上n

最后就得到这样

到了这个形式 我们就知道了

在n比较大时 实际n=1也可以的

就是说 我只是说

只要保证这个角是个锐角时

这个正弦就是大于0的

大于0所以说它的正负号

就完全由-1的n次方体现

所以这是一个交错级数

而且写到这以后

我们就可以直接这样说了

因为 就是说n趋向无穷时

我们的sinπ

除上根号下n方加1 再加上n

这当然是等于0的

而且n越来越大时

这个表达式是单减的

而正弦函数在0到二分之π之间

是一个单调递增函数

所以说这个单调递减

正弦值当然也是单调递减的

所以且 sinπ

除上根号下n方加1 加上n

这个数列是单调递减的

所以根据莱布尼兹判敛法

我们原来这个级数

也就是n从1到无穷

sinπ乘上根号下n方加1

它应该就是收敛的

那么第二个例子与第一个例子相比

它难度自然要大一些

也就是说第一个例子 因为

它是交错级数这个特点是很明显的

我自然就会想到看一看

它的通项是不是满足莱布尼兹条件

也就是说 我就试一试它是不是

可以用莱布尼兹判敛法进行判敛

而第二个例子

它的通项从给出的形式来看

我并不知道它是不是一个交错级数

但是 这个时候我主要是分析

就是它这个通项的特点

我知道括号里面的表达式

在n趋向无穷时 与nπ是比较接近的

又考虑到这是一个正弦

所以想到了做这样的恒等变形

做这个恒等变形之后

逐渐地我就知道

这个级数也是一个交错级数

而且它的通项

满足莱布尼兹条件是很明显的

这样我也得到了它的收敛性结论

接下来我们来看第三个例子

也就是n从2到无穷求和

-1的n次方 根号下n加上-1的n次方

这个级数当然是交错级数

接下来我们写一写

这个级数的前面的几项

也就是说它的前几项

第一项是n等于2

n等于2的时候

大家知道这是根号下3分之1

第二项是n等于3

n等于3的时候

应该是负的根号下2分之1

第三项应该是n等于4

那就是加上根号下5分之1

第四项 是n等于5

那就是减掉根号下4分之1

也就是前几项一写

大家就会发现

尽管它是个交错级数

但是它的通项的绝对值

并不是单调递减的

因为明显的

根号下2分之1要大于根号下3分之1

后面也是这样子的

所以说对这个级数来说

我能够知道的它是交错级数

而且它的通项趋向于0

也是明显的

但是 通项的绝对值没有单调性

我就不能直接用莱布尼兹判敛法

但是我们回过头来

对这个问题想一想

我们莱布尼兹判敛法的证明

是怎么讨论的

我们为了用上

这个正负号交替出现这个性质

我们就要考虑它的前2n项的和

对这个例子

我们看看它的前2n项是什么

也就是它的S2n

前面这几项我们已经都写出来了

我们看看它的倒数后两项是什么

就最后一项指的是n是2n+1的时候

2n+1的时候这自然是负号

这个地方正好是负的根号下2n分之1

它的倒数第二项

指的是 n取2n时

2n的时候这时正号

这个地方正好是加上

根号下2n+1分之1

这就是它的前2n项

那大家看一下

我如果两两组合的时候

这两项加起来应该是负的

应该是负的 也就是说

我证明了这个前2n项这个数列

应该是个单调递减的

那我为了说明它极限是否存在

只要看一看

这个数列有没有下界就行了

如果有下界它就是有极限的

如果没有下界

它自然是没有极限的

我们为了看这件事情

我就把S2n重新给它表达一个形式

我相邻的两项交换次序

也就是这边是负的

根号下2加上根号下3分之1

这面应该是减掉根号下4分之1

加上根号下5分之1

后面一直给它交换

这面就是减掉根号下2n分之1

加上一个根号下2n+1分之1

这样交换完之后 那就看一下

就是这两项做组合

后面根号下5分之1

减掉根号下6分之1做组合

这边应该是根号下2n-1分之1

减掉根号下2n分之1 做组合

这样写完之后 大家看一下

这时候每个括号里面 都是大于0的

而且前面都是正好

如果我把这些大于0的项去掉

它自然就变小了

所以它应该大于负的根号下2分之1

这就证明了这个前2n项和这个数

不仅是单调下降的 而且是由下界的

所以我们就证明了这个极限是存在的

我们记成A 接下来 又

就是我们知道它的通项是趋向于0的

所以我们就推出了它的前2n+1项的和

应该等于这个前2n项的和S2n

再给它加上一个

就是 根号下2n+3分之1

这样子的时候 后面这一项的极限是0

所以这个极限也是A

我们证明了这个极限是A

这个极限也是A

这样根据数列极限的性质

我们就知道它的前n项的和的极限

是等于A的

所以说 尽管这个交错级数

它的通项并不满足莱布尼兹条件

但我们还是证明了它是收敛的

而这个例题的证明过程

跟我们莱布尼兹判敛法的证明过程

是一样的 我想这种方法也是

我们处理通项趋向于0时的

交错级数的一个常用方法