分段函数与隐函数在线视频

前面我们介绍了函数的概念

和函数图形的概念

接下来我们来看两类特殊的函数

这就是分段函数和隐函数

我们先看一下分段函数

实际上分段函数是一类特殊的函数

或者说分段函数也是函数的一种表示方式

我们看几个例子

譬如说

我们有这么一个函数

f(x)它在x大于等于x0时

它的函数值取成a

在x小于x0时它的函数值取成b

那么这就是一个最简单的分段函数

这也是我们平时说的所谓的阶跃函数

阶跃函数

其中这个x0就称为这个分段函数的分段点

接下来我们再看第二个例子

比如说我们平时说的符号函数

符号函数它的取值是这样子的

x>0时它的函数值取成1

x=0时函数值取成0

x<0时函数值取-1

这就是我们平时常用的所谓的符号函数

实际上分段函数在我们的日常生活中

也是我们经常接触的一类函数

比如说我们现在一般的城市里面的公交车

是所谓的分段计价的

实际上

就是你的公交车费与你乘坐公交车走过的站数

之间就是一个分段函数

再比如说

我们现在的工资收入

所交的所得税与你的收入之间

这种关系

也是一个分段函数

按照我们国家现在的所得税税率

比如说如果你个人的收入是小于等于

每月小于等于3500元的时候

你是不用交税的

所以这时候你交的税金是0

但是如果你的收入超过了3500元

但是没有超过5000元的时候

这时候在超过3500元的部分

你的税率应该是百分之三

也就是说这个时候你交的税金

应该是0.03乘上（x-3500）

这是一个

按照现在的税率

如果我们的收入x

它超过了5000

但是它还没有超过每月8000元的时候

这一部分它的税率应该是10%

所以说超过5000但是还没超过8000的这部分交的所得税

应该是0.1乘上（x-5000）

但是这个时候从3500到5000

你多出来的那1500元

你的税率应该是0.03

所以这时候你这一部分交的税金应该是45元

这是这样

当然如果你月收入超过8000之后你应该有其它的税率

那么你交的税金应该有其他的相应算法

实际上如果一个人他的月收入是小于等于8000的

那么他交的税金与他的收入之间的关系

我们就可以写出来了

这是一个分段函数

实际上所谓分段函数

就是从描述性的语言来说

也就是说函数在某个范围上有定义

但是这个函数的对应关系

在它的整个定义域上

我们没法用一个统一的数学表达式给出

但是在定义域的不同范围上

这个函数对应关系可以用不同的函数表达式给出

这样的函数我们就是所谓的分段函数

也就是说

函数在整个定义域上

不能用统一的数学表达式给出

但是在定义域的不同范围上

可以用不同的数学表达式表示它的对应关系

这样的函数我们就称为分段函数

接下来我们来看我们常见的第二类函数

第二类函数实际就是所谓的隐函数

隐函数是我们微积分里面

经常碰到的一类函数

我们先看两个例子

比如说我们在xy平面上

我们这儿有一条指数曲线y=2的x次方

2的x次方指数曲线

现在我们还有一条直线

这个直线它是过(0,2)这一点,斜率为k

那么它的直线方程应该就是y=kx+2

这就是过点(0,2)斜率为k的直线方程

从图上我们可以看出如果这条直线的斜率

是小于等于0的时候

那么这条直线与这条指数曲线

就有且仅有一个交点

那么换句话说

对于任何一条斜率小于等于0的直线来说

这个交点是唯一的

当然这个交点的横坐标x也是唯一的

现在我们把这个几何问题

用代数形式表示出来

也就是问

我这儿有一个方程

是2的x次方等于kx+2

我们问这个方程

当k满足什么条件时

对给定的k可以唯一的确定一个x的值

使得它满足这个等式

根据刚才我们几何上的解释

我们可以得到这个结果

也就是说

任给k小于等于0

那么我一定能找到唯一的x

使得这个等式是成立的

我们回忆一下前面我们介绍的

函数的概念

现在我们是不是可以这样说

对于给定的任意一个小于等于0的k来说

通过这个方程我们找到了唯一的实数与k对应

它当然符合我们前面给出的函数的定义

那么由这个等式确定的从k到x的这个函数关系

这是存在的

但是我们能不能用k把x给表示出来

实际上这个牵扯到是一个超越方程

我们就是说

很难直接用k的表达式把x表示出来

这样的函数关系我们就说它是个隐函数关系

我们再举一个例子

比如说

我们有一个方程y等于x加上二分之一倍的sin(x)

这个如果我们把它理解成是

y关于x的函数关系

它是一个简单的函数关系

也就是说

所谓简单里面牵扯到了

x和sinx的值

最后做一个数乘再做个加法就可以了

但是

这个函数我们在中学学过导数

即使在中学没学过我们后面也很快要学到导数

所谓导数

我们做一下y关于x的导数

是1加上二分之一倍的cos(x)

这个导数是恒大于0的

根据导数符号与函数单调性的关系

我们知道这个函数是个单调递增的函数

也就是说你任给一个函数值y

你肯定就是能够找到唯一的自变量x

使得函数在这个自变量处的函数值

是你给定的y

换个角度

也就是说

我们给一个任意的y

我们总能找到唯一的x

使得通过这个等号把x与y联系起来

也就是说

这个等式根据函数的定义

我们还会得到这么一个函数关系

同样这个函数关系它的存在性是没问题的

但是我们能不能

用y把x表示出来

这仍然是个超越方程

也就是说这个函数关系存在我们是知道的

但是我们没法把它给写出来

这当然是个隐函数关系

相对于我们现在介绍的这两个例子

那么前面我们写的说y=x平方这个函数

这个一般就说y是x的一个显函数

因为平时我们讨论的绝大部分函数都是显函数

所以说我们一般不会特指显函数

就说是函数关系就可以了

在我们讨论的一些函数问题里面

还有这样的情况

也就是说如果我知道x方加y方等于1

通过简单的开方运算

大家知道y等于根下(1-x方)

或者说我们把它表示成y等于负的根下(1-x方)

也就是说如果我们表示成这个形式

那么y就是x的一个显函数

下面这个表式当然表示的是y是x的另外一个显函数

所以说这个函数关系本来应该是显函数关系

但是如果是这个显函数关系之后

它自然也满足上面这个等式

这时候我们就说这个等式

是下面这个显函数的隐式表示

也就是说我们把它表示成隐式形式

隐式表示

那为什么把一个显函数

表示成隐式表示

因为我们在处理一些问题时

实际上函数的不同形式

对我们处理这个问题

有时候它的简易或者是繁难

都是有影响的

比如说我们后面要介绍隐函数求导

有了隐函数求导法之后

在导数运算里面

上面这个隐式形式

就应该比下面这个显示形式来的简单

这是我们在微积分中经常用到的两类特殊函数

就是分段函数和隐函数

在微积分里面

我们经常会讨论分段函数在分段点

它是否连续

是否可导

如可导的函数

导数等于什么

我们经常会问

隐函数也就是说

这个方程它在什么条件下

能够确定函数关系

确定的函数应该具有什么样的性质

在确定的函数导数存在的前提下

我们能不能利用这个方程

把函数的导数求出来

这都是我们微积分里面讨论的有关问题