当前课程知识点：微积分——极限理论与一元函数 > 第五章 导数应用 > 第五节 Taylor 公式 > 带有Lagrange型余项的Taylor公式
前面我们介绍了
函数在一点的带有Peano型余项的泰勒公式
我们得到了这个结论
也就是说f(x)等于
它在那一点的n次泰勒多项式加上一个余项
这个余项我用Rn来表示
Rn就是Peano型余项
也就是Rn(x)是等于o(x-a)的n次方
我想关于这个公式
因为我们一再强调
这个反应的是x趋向于a时
它以更快的速度趋向于0
实际上也就是说
这个应该强调的还是在a这点的性质
所以说这个公式我们如果想用的时候
只能是一个局部性质
也就是只能在a点附近来用
这样对我们在处理一些近似计算问题时
应该是说有一个比较大的限制
因为我们不知道对一个具体的函数来说
当x-a的绝对值多小时
才算是离a足够近
这是一个问题
另外一个问题就是说
在得到这个公式的时候
我们给的条件相对弱了一点
因为我们只是给了函数在a那点的n阶导数是存在的
也就是说我们给的条件
仅仅能够写出它的n次泰勒多项式
当然在这个条件下
你说我要得到在某一个范围上的有关的结论
这当然是不现实的
因为导数或者是可导性是个点性质
我们利用可导性只可能得到在那点附近的性质
接下来我们介绍另外一个余项形式
这就是我们介绍的
所谓的带有拉格朗日型余项的泰勒公式
这个结论是这样说的
说若f(x)在a,b上具有n+1阶导数
然后x0x都属于[a,b)
则这个时候f(x)可以等于Tn(x)加上Rn(x)
其中在这个公式里面
我们的Tn(x)是k从0到n求和
k的阶乘分之一
f的k阶导在x0这点的值
我们的Rn应该是n+1的阶乘分之一
它的n+1阶导在ξ点的值
再乘上x-x0的n+1次方
其中这个ξ是介于x与x0之间
也就是说这个时候
对这个区间上的一个固定点x0来说
对这个区间中的每一点x
f(x)的值都可以用x0那一点的泰勒多项式的值来近似
那么它的差是这么一个东西
这里面有一个点我们仅仅知道它是存在的
而且知道它是在什么范围之内
但是我们不知道它具体等于什么
从这个余项形式大家知道
如果这个小o我们说是定性的性质的时候
从字面上看这就是一个具体的值
所以这可以说是给出了定量的估计
但是这个定量的估计也是理论上的
因为ξ的值你并不知道是多少
我想这是我们要介绍的
所谓的带有拉格朗日型余项的泰勒公式
其中这个余项就是所谓的拉格朗日型余项
接下来我们先对这个公式给出一个证明
大家注意到
这实际就是函数在x0那点的n次泰勒多项式
根据泰勒多项式的性质
也就是说f(x)和Tn(x)在x0那点
函数值一直到n阶导数值都是相等的
那么我们就构造一个辅助函数
令我们的F(x)就等于f(x)-Tn(x)
再令我们的G(x)就等于x-x0的n+1次方
这样做完之后我们就知道
则F它的k阶导在x0这点的值应该是等于0的
这个时候k等于0
1一直到n都是对的
这个G(x)因为它是x-x0的n+1次方
所以说这个函数它的k阶导
在x0这点的值也是等于0的
同样k可以取0.1一直到n
k等于0对应的是它们的函数值
这样做完了之后
我们就看一下
则就是所以我们这个F(x)比上G(x)
因为它在x0这点的值等于0
自然就可以写成F(x)减掉F(x0)
除上G(x)减掉G(x0)
这样就变成了两个函数在两点之差之比
见到这个形式
我相信大家能够想起来
我们在前面介绍柯西中值定理的时候
曾经碰到过这种比值的形式
那么利用柯西中值定理
它自然应该是F在x1这点的值
再除上G'在x1这点的值
其中x1是介于x和x0之间的某一个点
同样这一个我们利用它的一阶导在x0这点是等于0
我们自然可以给它表示成
这个两个导数值的差做比值
对于一阶导数我们再用柯西中值定理
那么就会写成两阶导在某一点x2这点值
再除上它的两阶导在x2这点值
其中x2是介于x1和x0之间的一个点
当然在x和x1之间
那大家想你这样一直用下去
一直可以用到就是F的n阶导在xn这点的值
然后除上G(x)的n阶导在xn这点的值
其中xn是介于x和x0之间的某个数
然后最后再用一次应该就是
利用它的n阶导在x0的点也是等于0
我们就给它写成这两个差之比
对于它的n阶导数大家看一下
我们给的条件是这个函数在这个区间上
n+1阶导数是存在的
所以说我们的F(x)和G(x)
它的n+1阶导数也存在
也就是说这两个函数
仍然是可以满足柯西中值定理的条件
那么我们用一次柯西中值定理
它就应该等于n阶导的导数
也就是n+1阶导数在某一点的值
再除上G(x)的n+1阶导数在某一点的值
接下来我们来看一下F的n+1阶导是什么
F(x)是f(x)减掉一个n次多项式
说我们对它求n+1阶导
n次多项式的n+1阶导是等于0的
所以说F的n+1阶导就是f的n+1阶导
另外G(x)它本身就是这么一个n+1次多项式
我们对它求n+1阶导大家知道就是n+1的阶乘
换句话说我们这个分式
应该就等于f的n+1阶导在ξ点取值
再除上n+1的阶乘
其中ξ自然是介于x与x0之间
那写成这样之后
我们只看一下这个关系式
最开始的分式和最后的结果
也就是我们的F等于这个东西乘上G(x)
F是什么
是f(x)减掉Tn(x)
也就等于n+1的阶乘分之它的n+1阶导在ξ点的值
再乘上G(x)也就是x-x0的n+1次方
而这个关系式大家看一下
就是我们要证的
这个带有拉格朗日型余项的泰勒公式
所以这样我们就证明了在这个条件下
也就是在某个区间上取n+1阶导数的条件下
证明了n阶带有拉格朗日余项的泰勒公式
是成立的
那有了这个结论之后
从理论上讲
我们利用泰勒多项式来对函数做近似计算时
实际上我们就可以从定量的角度
去做误差估计了
实际上这个时候
只要它这个函数的高阶导数
满足一定条件
比如说是有界的时候
那么当x-x0的绝对值是小于1的时候
大家知道理论上讲
只要你的次数足够高
你的近似效果就应该足够好
关于带有拉格朗日型余项的泰勒公式
大家知道
这个结论是对[a,b]区间上的任何一点都是对的
所以我们一般说这个结论是一个全局性结果
另外通过这个拉格朗日型余项
大家可以看出来
如果我这个函数f(x)
本身就是个n次多项式的时候
那么它的n+1阶导数总是等于0的
换句话说你本身是个n次多项式
那么你用一个n次多项式来近似它的时候
没有比它本身近似的子集更好的多项式了
这当然是一个显然的结果
也就是说用多项式函数来近似多项式函数的时候
当然是它本身的效果是最好的
这是关于我们第二个余项形式
-序言
--序言
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--实数集的界
--实数集的确界
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--思考题
--练习题
-第二节 函数的概念
--分段函数与隐函数
-第二节思考与练习
--思考题
--练习题
-第三节 函数的运算
--函数的反函数
-第三节思考与练习
--思考题
--练习题
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--函数的凸性
-第四节思考与练习
--思考题
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-第五节 初等函数
--初等函数
-第五节思考与练习
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-第六节 极坐标方程与参数方程表示的几种曲线
-第一节 数列极限的概念与性质
--无穷大量
-第一节思考与练习
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-第二节 数列极限存在的充分条件
--单调有界收敛定理
-第二节思考与练习
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--第二章 极限论--第二节思考与练习
-第三节 Bolzano定理与Cauchy收敛准则
-第三节思考与练习
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--函数极限的概念
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--无穷小量的比较
-第六节思考与练习
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--间断点的分类
--连续函数的性质
-第一节 思考与练习
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--一致连续的概念
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--导数的概念
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--微分概念
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--高阶导数
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--第七章 定积分--第七节思考与练习
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--第八章 级数--第二节 思考与练习
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--第八章 级数--第四节 思考与练习
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--幂级数求和
--第八章 级数--第五节思考与练习
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--三角函数的正交性
--第八章 级数--第六节思考与练习
