Cauchy收敛准则在线视频

接下来我们介绍一下数列极限的柯西收敛准则

首先我们来介绍一下柯西列

就是关于柯西列的定义它是这样描述的

如果数列｛an｝满足任给ε大于0

总能找到N大于0

当n大于Nm也大于N时

就有an减掉am小于ε

就是说对一个数列它如果满足这个条件

什么条件就是无论你给多小的ε

我总能找到一项

在这项后面任意两项差的绝对值都小于ε

如果是这样子的时候

我们就说这个数列是个柯西列

这是柯西列的定义

当然柯西列它另外一个等价的表述是这个样子

也就是也可以说成

任给ε大于0找到一个N大于0当n大于N时

对任意的p大于0

我都有an加p减掉an小于ε

这也是柯西列的表述

实际上就是把我这里这个大于N的m用n+p来表示

当然这两种形式是等价的

在我们处理有关问题时

我们有时候可能用第一种形式

而有时候可能用第二种形式处理起来更方便

那我们为了进一步更好的理解这个柯西列的定义

我们看几个简单例题

譬如说第一个题目

q的n次方在q的绝对值小于1这个条件下

它应该就是个柯西列

那我们怎么证明它是柯西列

应该是这样说的

我不妨假设n是小于m的

那么我就考虑q的n次方减掉q的m次方绝对值

这个我把q的n次方提出来

也就q的n次方的绝对值

这面剩下的是1减掉q的m减1次方绝对值

当然因为它绝对值小于1的时候

这个不加绝对值也可以我们还是加上就这个东西

这样做完之后因为这个q绝对值是小于1的

所以后面这个因子是小于1的

小于1的时候就放大到q的n次方

因为我们的条件是q的绝对值小于1

在这个条件下我们知道n趋向于无穷时

它是趋向于0的

所以说如果这样处理完之后

我们就可以这样写啦

任给ε大于0

因为我们知道这个极限是等0的

所以我能找到一个N大于0

就是当n大于N时

这个q的n次方的绝对值是小于ε的

然后这样就是从而对任意的p或者是任意的m大于N

我就有这个东西一直写写到这

它就小于q的n次方绝对值

这个就小于ε

至此我们就证明了对这个具体的数列来说

它确确实实是满足柯西列定义中的条件

所以它是一个柯西列

我们再看一个简单的例子

譬如说就是

这个数列k从1到n k分之一

我们来证明这个数列它不是柯西列

那什么叫不是柯西列

也就是说它不是对所有的ε都怎么样

那就是至少有一个不行

也就是存在一个ε0大于0

我找不到N 那就是对所有的N

然后在N后面并不是所有的两项都满足这个不等式

那应该是在N后面至少有两项是不满足的

所以大家要把什么叫不是柯西列从逻辑上搞清楚

那么我们来看一下

这个数列我们怎么证明它不是柯西列

我就这样取

也就是做一个k从1比如说到2n k分之一

然后再减掉k从1到n k分之一

这样一做减法这个

就等于n加1分之一一直加到就是n加2分之一

再一直加加到2n分之一

这个一共加起来有多少项应该是2n减n项

一共是n项

那么现在我把每一项里面那个分母

都变成这个最大的分母是2n

所以这样子时候这个它就大于2n分之一再乘上n

也就等二分之一

那有了这个关系式之后我该怎么说这个问题

也就是对这个数列来说是这样子的

我存在一个ε0等于二分之一

对任意的N大于0

我就取比如说n等于N加1 当然是大于N的

接下来我再取我们的p就等于n

这样取完之后我就有我的an+p减掉an

最后写出来之后它是大于二分之一等于ε0的

也就就这个具体的数列来说我们通过取这个特殊的p

确确实实发现了就是说无论你这个n取得多大

只要后面这个p就取成n的时候

这两项差的绝对值总是大于二分之一的

那这样它自然就不满足这个数列是柯西列的条件

所以它不是柯西列

我想这是关于柯西列的定义

好 接下来我们给出数列收敛的柯西准则的内容

也就是柯西收敛准则

定理的内容是

一个数列｛an｝它收敛

它的充分必要条件是这个数列是柯西列

也就是给出了一个数列收敛的充分必要条件

接下来我们先给出这个定理的证明

咱们先说它的必要性证明

也就是说如果它是收敛的那么它一定是柯西列

请大家记住什么叫收敛 什么叫柯西列

好 那任给ε大于0

因为我们的条件是它收敛

我们不妨把它的极限记成A

也就因为这个极限等式成立

所以我们一定能够找到一个N大于0

就是当n m都大于N时

我们自然有an减掉A小于ε

和am减掉A绝对值小于ε

我们之所以这个地方找到n m都大于N

是因为我们知道我要证柯西列

柯西列就是说就是要找到一个N

对后面的任意两项来证明它俩之间的距离充分小

那有了这个不等关系之后

所以就从而我们这个an减掉am

怎么样把它与这两项联系起来

自然是给它减一个A再加一个A

再利用绝对值的三角不等式

我们就建立这个关系

这样用上上面这两个不等关系

我们知道它是小于两倍ε的

实际写到这我们就证明了这个数列是柯西列

也就是怎么样把极限定义中告诉我们的不等关系

与我们要证明柯西列中的不等关系去联系起来

所以这个定理的必要性证明应该是简单的

接下来我们简单介绍一下它的充分性证明

充分性证明首先因为它是柯西列

大家想根据柯西列的定义

我们是不是可以证明它是有界列

实际上在柯西列里面我们就是取这个东西就行了

也就取ε等于1

那么因为它是柯西列

所以找到N大于0

就是当p大于0时

我们一定能推出这个东西

就是说推出aN加1到aN加p

这都是在N后面的项

它一定是小于1的

所以这样你就推出

这个aN加p绝对值应该小于等于aN加1的绝对值再加上1

这就说清楚了在N加1后面的所有项它都是有界的

而在N加1前面是有限项

所以当然我们就知道这个数列如果是柯西列的时候

它一定是有界列

接下来它是有界列我们就推出它应该有收敛子列

也就是｛ank｝它是收敛的

我们不妨把它的极限就记成A

接下来我们就再回过头来利用它是柯西列的条件

证明这个数列的极限也是A

那证明这个数列的极限是A

也就是要证明an减掉A要充分小

那我们这个极限等式说的是什么情况

说的是ank减掉A可以充分小

我为了用上这个条件所以我就在这个地方

给它补上一个an减掉ank

再给它加上一个ank

再用一下绝对值的三角不等式

就得到这个不等关系

到了这大家看

因为ank的极限是A

所以我们知道这个绝对值只要下标充分大

它一定是非常小的

同时我们还知道这个数列是个柯西列

所以只要这两个下标足够大

这个差的绝对值也是足够小的

所以直观地讲到这一步我们就证明了

an减掉A的绝对值是可以充分小的

那怎么把这件事情写清楚

我们可以这样写 就是说

任给ε大于0因为｛an｝是柯西列

所以我能找到一个N1大于0

就是当n m都大于N1时

我知道an减掉am小于ε

然后接下来对这个任给的ε大于0

由就是我这个极限等于A

所以我能找到一个比如说大写的K大于0

就是当k大于大写的K时

我这个ank减掉A也是小于ε的

这样取完之后我就取一个N等于

等于就是说一个就是我们刚才找到的N1

再一个是我们找到的这个就是比如说nK这样取

这样取肯定是没有问题的

这两个下标取出来之后我们取一个最大的

就是则当我们的n大于N

然后这个时候这个k呢我就取一个大于N

这个当然是大于K的

就是取这个n大于N时

我就有 有什么呢

就是刚才我们写的这个an减掉A

小于等于an减掉ank再加上ank减掉A

这个时候这个在N后面

这个也在N后面

所以根据这个地方我们得到的这个N1

知道这个绝对值是小于ε的

而这个k肯定是在K后面

所以根据这个不等关系我们也知道它是小于ε的

所以这样就就小于两倍ε

这就说明了原来数列的极限也是我们这个A

所以在这里面整个证明过程应该是说

利用它是柯西列先证明它是有界列

利用有界列说明它有一个收敛子列

然后最后来证明这个收敛子列的极限

也是我们这个数列的极限

最后我们只是把

子列极限是数列极限的这个证明过程简单写到这

我想关于柯西列它是收敛的充分必要条件

这在理论上是一个很重要的结果

当然一般处理具体数列极限的时候

我们用柯西列是收敛的充分必要条件

这个所谓的柯西收敛准则

用的并不是太多

原因就是你如何判断一个数列是柯西列

并不比你用极限定义来证明它的极限是什么来的容易

所以这应该是理论上的一个很重要的结论

最后我们来看一个例题

这个例题是这样子的

说一个数列｛an｝它满足这个条件

也就a2减a1再加上a3减a2

再一直加加到an减掉an－1这个绝对值

后面继续加加上之后这个是个有界的

也就是说它所有的项加起来小于等于C

然后我们来证明这个数列是收敛的

当然这个数列它只是给出了一个无穷和小于等于C

就是这个东西

那我们处理的时候我们就是直接用这个数列的条件

并不是太好用

可在这个题目里面我们可以这样

我就令bn等于a2减掉a1然后再加上a3减掉a2

一直加到an减掉an－1

也就我构造一个新的数列

构造一个新的数列之后大家看一下

对这个新的数列来说

因为它后一项是在前一项的基础上加上一个绝对值

所以它应该是单调递增的

而这个条件是说就是它每一项都是应该小于等于C的

所以单调递增有上界

根据我们前面介绍的单调有界收敛定理

那么马上就推出这个数列应该是收敛的

再根据我们柯西收敛准则

我们就推出了这个应该是柯西列

是柯西列是什么意思

也就是说的是这回事

任给ε大于0我能找到一个N大于0

当n m都大于N时

我的bn减掉bm应该是小于ε的

那接下来请大家看一下

我们这样定义的这个｛bn｝

它的bn减掉bm是什么

我们不妨假设n是大于m的

所以这样一减的时候也就是这个样子

也就剩下的是an减掉an－1再加上就是一直加到

加到什么呢 就是am加1减掉am

应该是这个东西

而这个根据绝对值的三角不等式

它当然是大于等于an减掉am的

就是因为我在里面给它减一项加一项减一项加一项

用一下三角不等式给它放过去应该就是这个东西

它这个东西是小于ε的

这样我们就利用什么

｛bn｝这个数列跟｛an｝这个数列的关系

发现我们这个不等关系正好推出了｛an｝是个柯西列

｛an｝是柯西列当然就是收敛的

实际上一个数列｛an｝如果满足这个条件

这个数列就是所谓的有界变差数列

这个例题就说明了有界变差数列一定是收敛的

当然我们也可以举出这样的例子

收敛列不见得是有界变差

这个呢就不属于我们微积分讨论的内容了

所以我们就只是做一个例题来练习一下我们刚才讲过的

两个很重要的定理

一个是所谓的单调有界收敛定理

一个是所谓的柯西收敛准则