当前课程知识点：微积分——极限理论与一元函数 > 第八章 级数 > 第一节 数项级数的概念与性质 > 8-7 正项级数的比阶判别法
前面我们说过
如果在正项级数的
比较判敛法的极限形式里面
我们把其中的一个级数
取成我们熟悉的p级数
我们就会得到
正项级数的比阶判敛法
具体的说
比阶判敛法的内容是这样子的
比阶判敛法写成一个定理
比阶判敛法我们写成一个定理的形式
也就是说我们假设an是大于等于0的
而且an除上n的p次方分之一
也就是n的p次方乘上an
在n趋向无穷时的极限
是存在等于c或者是说无穷大量
那么我们就会得到两个结果
第一个结果就是说
如果c是大于等于0
或者是小于正无穷
也就是强调这时候它的极限存在
极限值等0或者是一个不等于0的数
如果p又是一个大于1的时候
我们就知道级数an它是收敛的
第二个结论是如果
它的极限存在但是不等0
或者说极限不存在
这个比值是个正无穷大量
而且这个时候p小于等于1
那么我们的结论是
以an为通项的级数就是发散的
所谓的比阶判敛法
实际上我们看一下
就是说对正项级数来说
因为它收敛的必要条件
是它的通项是无穷小量
那大家看一下比阶判敛法给的
也就是说在p大于1时
如果我们这个an
与这个n的p次方分之一相比
是高阶无穷小或者是同阶无穷小
那么
以它为通项的级数就是收敛的
如果 在p小于等于1时
我们这个an与这个n的p次方分之一
是同阶无穷小
甚至是低阶无穷小的时候
那么 它就是发散的
实际上这个结论
我们就利用p级数的收敛性结论
和比较判敛法的极限形式
我们直接可以得到
因为在p大于1时
我们的p级数是收敛的
如果我们an比上p级数的通项
是等于0 极限
或者说是等于一个确定的值
这时候自然我们就会得到
以an为通项的级数是收敛的
同样的在p小于等于1时
我们的p级数是发散的
所以说 当an比上n的p次方分之一
它的极限是个大于0的数
或者甚至是无穷大量时
那么以an为通项的级数
自然是发散的
我想这是关于正项级数的比阶判敛法
整个比阶判敛法我们使用的时候
就把它理解成
说正项级数收敛与否
我们主要就是看
通项这个无穷小量的阶
如果阶是大于1那么它就是收敛的
如果它的阶是小于等于1
它就是发散的
接下来用这个比阶判敛法来讨论
几个级数的敛散性问题
第一个我们看一下
n等于1到无穷
sin n分之一这个级数
这当然是个正项级数
而且我们知道在n趋向于无穷时
它当然通项是趋向0的
那我们为了说明它是收敛还是发散
我们可以这样说
也就是 因为n趋向于无穷时
sin n分之一比上n分之一
这个是个重要极限
它应该是等1
而且我们还知道
n等于1到无穷对n分之一求和
这个级数这是调和级数
它是发散的
所以我们的结论就是
我们考虑的这个级数
sin n分之一做通项
n从1到无穷 它也是发散的
因为这个比值就说明
这个正项级数它与n分之一是等价的
所以说它的阶是1
自然它就是发散的
这是第一个例子
第二个例子我们来看这个简单级数
也就是我们看一下
n等1到无穷ln1加上n方分之一
这个级数
因为这个括号里面是值是大于1的
所以这当然是正项级数
我们为了说清楚这个级数的敛散性
我们可以这样说
也就是 因为n趋向于无穷时
ln1加上n方分之一除上n方分之一
极限是1
而且我们知道这个级数
n从1到无穷n方分之一
它是收敛的 它是收敛的
所以我们的结果是 就是原级数收敛
也就是n从1到无穷ln1加上n方分之一
它是收敛的
这是这个例子
接下来我们看第三个级数
第三个级数我们就看一下
是n从1到无穷括号里面是
1减掉cosn分之x 其中x是个参数
我们来讨论这个级数的敛散性
因为咱们知道cos的值总是不大于1的
所以说这当然是一个非负项级数
那我们来讨论它的敛散性的时候
我们就这样来看
如果x等0 当然它肯定是收敛的
因为如果x等0的时候cos0是等1的
这个通项就是0
所以说x等0是没有问题的
那接下来如果x不等0
也就是x如果是不等0的时候
那我们知道这个 我们可以让
n趋向于无穷1减掉cosn分之x
我们这样做比较
就是比上n方分之一
那我们为了用上重要极限
我们在这个地方给它补一个x平方
这个地方再给它乘一个x平方
这个极限在n趋向无穷时
它应该是趋向二分之一的
所以说最后
这个极限就是二分之一倍的x平方
这当然相对于n来说是个确定的值
而且我们知道这个级数是收敛的
也就是n从1到无穷n的平方分之一
它是收敛的
所以这个时候我们也能说清楚
我们这个级数是收敛的
也就是说这个级数无论x等0还是不等0
它都应该是收敛的级数
这是第三个例子
接下来我们来看第四个例子
也就是讨论一下n从1到无穷
n的1+n分之一次方分之一
这个级数
我们在讨论p级数的时候
曾经碰到过类似的形式
但是对于p级数来说
我们这个通项里面
n的p次方分之一
这个p相对n来说是个常数
当时我们的结论是
只要这个p大于1它就是收敛的
那大家看一下我们这个题目
在指数部分是1+n分之一
1+n分之一当然是大于1的
但是这个时候
我们能不能说这个级数就是收敛的
实际上我们看一下
我们可以这样来讨论这个级数的敛散性
也就是因为在n趋向于无穷时
我们这个n的1+n分之一次方分之一
与n分之一做比较
它也就等于就是n趋向于无穷时
根下 n次根下n分之一
而这个极限 这个分母的极限
在讨论数列极限时
我们是可以用极限的定义证明
这个极限是1的
也就是说这个极限应该等1
换句话说这个正项级数的通项
它应该是一阶无穷小量
一阶无穷小量
那么调和级数是发散的
所以说我们知道这个级数是发散的
具体写法请同学们自己写上
这是第四个例子
最后我们再来看这个例子
也就是我们来讨论一下
n从1到无穷 然后这面地方是
n加上二分之一乘上ln1
加上n分之一再减掉1
就讨论这个级数的敛散性
当然 这个级数本身
它的通项是不是大于0
实际上
我们一眼看上去并不是很明显
但是我们来做这个问题的时候
级数收敛它的必要条件
肯定得通项是无穷小量
所以我们为了看一看
它的通项到底是不是无穷小量
或者是几阶无穷小
那我要动用一下
对对数函数我们有关的结论
实际上在n趋向无穷时
n分之一是趋向于0的
所以1+n分之一是接近1的
那么大家想这个时候
我们是不是可以用所谓的
迈克劳林公式对这个ln1+n分之一
给它做展开
展开之后它的第一项应该是n分之一
第二项应该是减掉
二分之一倍的n分之一
第三项应该是加上三分之一倍的
第二项应该是二分之一倍的
n的平方分之一
第三项应该是加上
三分之一倍的n的三次方分之一
最后我扔掉的是
n的三次方分之一的高级无穷小
我这样写开之后我们看一下
在这个基础上我再乘上n+2分之一
所以说n+2分之一乘上ln1加n分之一
它应该就等于 把n乘进来
这就是1减掉一个2n分之一
再加上一个3n方分之一
再加一个小o n的平方分之一
这就把n乘进来
我们再把二分之一乘进来
把二分之一乘进来应该是
加上一个2n分之一
然后减掉一个四分之一
这就是n的平方分之一
这边乘进来之后
因为我这里已经是
平方分之一的高级无穷小
所以我直接把这项也扔掉
它也是平方分之一的高阶无穷小
这样一做的时候那我们这两个就消掉
而这两个合并起来
应该就等于1加上12分之一倍的
n的平方分之一 n的平方分之一
再加上小o n的平方分之一
这就是在我们这个级数里面
通项里面的第一项展开之后
它与n的关系
那么我们在这个基础上把1减掉
减掉之后
我们这个级数的通项
与n的关系应该是这个关系
它的首项应该是n的平方分之一
系数是大于0的
而后面这个应该是比
n的平方分之一更高阶的无穷小
也就是说只要我的n充分大
那么我就能保证这个级数通项
一定与这个第一项是同号的
所以说
在n充分大时它肯定是一个正项级数
而正项级数我们来判断它的敛散性的时候
我们主要就是看他的阶
写到这大家是不是可以这样说
因为这个正项级数的通项
除上n的平方分之一
在n趋向无穷时的极限是12分之一
而且以n的平方分之一
做通项的级数是收敛的
所以说根据比阶判敛法
我们知道我们这个级数是收敛的
关于最后一个例题是已经告诉我们
对一个一般的级数来说
如果你想用比阶判敛法
来说明它的敛散性的时候
实际就要想办法
来说清楚它通项的阶的阶数
而泰勒公式或者是迈克劳林公式
是我们判断无穷小量阶最有效的工具
所以说如果我们直观上
看不出它的阶的大小来的时候
我们可以想一想能不能用
泰勒公式或者是迈克劳林公式
来判断这个通项的阶
-序言
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--实数集的界
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--初等函数
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