反常积分在线视频

好现在我们开始

我们定积分的一个新的内容

就是所谓的反常积分

我们要讨论反常积分

首先我们要做的事情就是什么叫正常积分

也就是说我们原来讲的定积分的定义的时候

我们先说了两句话

就是有界函数

在有界区间上

有界区间上的有界函数

这是我们讲定积分的一个先决条件

有界区间上的有界函数

然后我们再去做分割啊取点啊

黎曼和啊求极限啊

判断无关性

然后再做后面这些事情

所以这两个条件是定积分的先决条件

所以我们将所谓的正常积分

也就是我们原来讲过的定积分

它是在这两个条件下才能得到的

那么我们讲反常积分

我们就要讨论另一类积分就是

这两个条件某一个不满足

或者说两个都不满足

我们把不满足上面那个条件的定积分

如果不满足的时候

我们把这个积分就叫做无穷区间的反常积分

那么区间两个字有时候就不提了

就叫无穷积分

我们把如果说这个条件

有界函数不满足

也就是说有界区间上的无界函数的积分

我们把它叫做瑕积分

所以我们把无界积分

和瑕积分这两类积分把它统称为反常积分

第一件事情我们先来讨论无界积分

无穷积分

我们讨论简单一点的情况

我们给了f（x）这个函数

它是定义在某一个a点到正无穷

这个区间上有定义的函数

并且满足这么一个条件

对于任意的A大于a

f这个函数都在[a,A]上它是可积的

黎曼可积函数

那么也就是说我们现在讨论的是

a到正无穷这么一个无界区间

一旦把无界区间的那一头给它框住

也就是说用A给它限制住

那么从a到A变成一个有界区间

有界区间当然f还是一个有界函数

有界函数有界区间我们讨论

可以讨论它的正常的原来的定积分

那么我们可以说

我们给了f一些条件

f是在a到A这个上面都是可积的

既然这样的话我们可以发现

从a到Af（x）dx

既然可积的话

这就是一个积分的值

我们现在所谓的无穷积分的话

我们讨论的是a趋于正无穷的时候

如果a趋于正无穷的时候

这么一个积分的极限存在

那么我们则称

反常积分a到正无穷f（x）dx

这么一个反常积分是收敛的

并且我们把它记成从a到正无穷

f（x）dx就等于

limtA趋于正无穷

从a到Af（x）dx极限值

我们把这个存在的极限值

就记成是从a到正无穷这么一个反常积分的积分值

这是我们讲如果说它收敛的话

可以给这么一个定义

这就是反常积分

无界区间上的反常积分的定义

有收敛也就是说有存在

我们把它叫做收敛

那反过来讲

如果说这个极限a趋于正无穷

从a到Af（x)dx的极限如果不存在

那么我们就叫做这个反常积分

从a到正无穷f（x）dx

这个反常积分我们把它叫做发散

所以反常积分可以收敛也可以发散

如果极限存在我们把它叫收敛

极限不存在

我们把它叫发散

对于反常积分的问题

通常是两类问题

第一类就是计算

当然在计算的前提条件

是要反常积分要收敛

这收敛的前提条件我们算这么一个反常积分

或者说我们算出来的反常积分一定是收敛的

因为极限我算都算出来了

极限一定存在

所以它一定收敛

但算不出来并不表示不收敛

因为收敛性的判断

还有一个就是收敛性的判断

我们能够算

那么通常的办法当然是牛顿莱布尼兹公式

我们算完从a到A的积分然后取极限

这是我们通常的一种算法

我们知道用牛顿莱布尼兹公式

前提条件是要那个不定积分

或者原函数要算出来

那么这个当然对被积函数

需要简单一点才可以算出来

稍微复杂一点的话有可能就算不出来

那么对更复杂的那些函数

被积函数来讲

算可能会比较困难

甚至是算不出来

但是我们讨论收敛不收敛

也就是这个反常积分到底存在不存在

这也是我们要做的一个问题

好我们来看两个例子

我们要求极限

求这个反常积分

arctanx除以x平方dx

要求这么一个无穷积分

根据定义来讲

我们只要求

limA趋于正无穷

从a到A

arctanx除以x平方的这么一个定积分

我们先不管极限

我们先把那个a到A的定积分算出来

从a到Aarctanx除以x平方的dx

又回到我们原来的算不定积分的那个过程

arctan这个函数本身很麻烦

没有什么太好的处理办法

但是它最大的特点是导数简单

所以我们所用的方法就是分部积分法

就等于负的从a到A

a是等于1a是1

这是我们定数是1

这个给它写成1

从1到Aarctanxd的x分之一

我们把这个函数叫做u（x）

把这个函数叫做v（x）

那就是u（x）dv（x）

根据分部积分法就等于负的

x分之一乘上arctanx从1到A

本来是减号现在变成加号了

有一个负号

从1到Ax分之一再乘上arctanx导数

是1加x平方分之一dx

这么一个被积函数

我们把它叫做分式有理函数

可以写成一些模式的和

那么这当然很简单

负的arctanA除以A

把上下代进去

再加上减去

前面是负号四分之π

这是第一项

再加上从1到A

x分之一减去x除以1加x平方

这么一个dx

我们把这个算一下

就等于负的arctanA除以A加上四分之π

这是第一项

加上后面那个是对数函数

lnA减去ln1

我把它写一下ln1

这是x分之一

从1到A的这么一个积分

再减去后面是二分之x

二分之dx平方

所以等于二分之一的ln（1加x平方）从1到A的积分

我们把它A和1通通写进去之后

就等于第一项是四分之π

减去arctanA

除以A第二项

再加上lnA这是0

再减去二分之一的ln1加A的平方

后面把1代进去

再加上二分之一的ln2

这是全部的从1到A的这么一个定积分值

下面我们就要很简单来讨论A趋于正无穷时

它的极限

那么当A趋于正无穷的时候

它的极限第一项极限是0

因为arctanA趋于二分之π

A趋于正无穷

所以正无穷是0

第二项的极限是不存在的

但是第二项和这两项的和的极限

你可以发现

这时候它的和的极限正好存在的

而这个极限恰好是等于0

所以我们可以发现

这个就等于limA趋于正无穷

我们把要要的常数

π/4加上二分之一ln2减去arctanA除以A

后面是再加上ln（A除以根号1加A平方）

根据上下这个极限是0

这个极限是0

最后这个答案

就是等于π/4加上二分之一ln2

从这道例题我们可以发现

如果你要试图去算一个无穷积分

实际上就是变成了两个问题

第一个就是算一个从一个常数

现在是1到A的这么一个定积分

然后再去求极限

定积分的问题我们已经是会的了

我们讲定积分讲了很长时间了

都应该会算了

极限的问题我们也是会的

所以这两个问题

实际上是我们会的

所以说计算无穷积分的问题

实际上我们已经解决了

那我们后面再讲一个计算无穷积分的问题

之所以在这讲这么一个问题

因为我们后面几节都会用上这个结论

我们来讨论从1到正无穷

dx除以xp次方

其中p是大于0的一个常数

我们根据p的不同情况

来算这么一个积分

并且最主要的我们还要来讨论

当p在什么范围内的时候

这么一个无穷积分是收敛的

在什么范围内的时候

这个无穷积分是发散的

这个结果我们后面马上就要用

我们来看看第一种情况

当p是等于1的时候

当p等于1的时候

实际上从1到正无穷dx除以x

就等于limA趋于正无穷

从1到Adx除以x

也就等于limA趋于正无穷

lnA减去ln1

ln1是等于0的

这个极限一写我们知道它一定是等于正无穷的

也就告诉我们正无穷

通过极限

它只是说趋势

我们不能说是极限存在

所以我们可以知道p等于1的时候

这么一个反常积分它是发散的

原积分发散

第二种情况当p是不等于1

但是还保证p大于0

那么1到正无穷

dx除x的p次方

就等于limA趋于正无穷

1到A上积分dx除x的p次方

就等于x的1-p次方除以1-p分之一

再limA趋于正无穷

我们把1和A都放进去

也就等于limA趋于正无穷

我们来看看1-p

A的（1-p）次方

再减去1代进去是（1-p）分之一

我们来讨论这么一个极限的存在性

A是趋于正无穷的

那么我们就来讨论

这时候p的值完全就决定了这个极限的存在性

第一种情况

如果p这个值是大于1的

p如果是大于1的话

实际上A应该是一个负幂次方

所以A趋于正无穷的时候

第一个极限是趋于0的

这种情况下

我们可以知道

从1到正无穷

dx除xp次方

等于（p-1）分之一

这个极限是存在的

也就告诉我们

原来的无穷积分是收敛的

这个无穷积分是收敛的

并且收敛的值就等于（p-1）分之一

第二种情况p如果是大于0小于1的话

这时候我们来发现

p如果说大于0小于1的话

实际上A是正幂次方

那么当A趋于正无穷的时候

这个一定是趋于正无穷的

既然趋于正无穷了的话

那么我们知道这个无穷积分

原来无穷积分从1

到正无穷dx除x的p次方是发散的

那么最后的结论是什么

对于这么一个讨论的无穷积分

我们可以讨论它的收敛性

当p大于1的时候是收敛的

p大于0小于等于1的时候都是发散的

所以从1到正无穷这么一个无穷积分

x的p次方分之一p是大于0

我们有这么一个相对来讲比较好的结论

p是大于0小于等于1的时候

这个无穷积分发散的

p是大于1的时候

这个无穷积分是收敛的

而且收敛值当然我们可以马上算出来

等于（p-1）分之一