函数的反函数在线视频

下面我们来介绍一下函数的反函数的概念

关于函数的反函数

我们在中学学习函数时

实际上是学习过的

只是在中学里面

我们更强调的是一些具体的函数的反函数

比如说我们强调指数和对数是互为反函数

在这我们给出反函数的一般概念

所谓反函数

也就是说一个函数它是给了自变量的值

来求函数值

如果我们把这个问题反过来

说如果给了它的某一个函数值之后

你能不能找出自变量的值来

当然根据函数定义

由函数值去找自变量

自变量显然是存在的

我们在这关心的是

对同一个函数值

我们是不是只有一个自变量与它对应

如果是对一个给定的函数值

我们只有唯一的自变量与它对应

那我们这样就可以定义原来函数的反函数

所以说

关于反函数的定义

我们可以这样来描述

我假设f是从D到Zf的一个函数

然后现在g是定义在Zf上的一个对应关系

如果对任意的y属于Zf

也就是说对f的任何一个函数值y

我通过对应关系g

可以找到唯一的x属于D

使得y恰好是x对应的函数值

这个时候我就说

这个对应关系是原来函数f的反函数

我们记作

就是f的反函数

就是用这个记号

来表示函数f它的反函数

实际上，从我们刚才的描述

我们可以看出来

所谓f的反函数

也就是说

它应该满足这样的条件

也就是对它的反函数

关于x求值

求完之后

我们紧跟着再求一个函数值

就这样

这个最后得到的应该就是原来x的值

这个表示就是表示

先对x求反函数的值

求完之后

再求函数值

我们从反函数的概念我们可以知道

所谓函数的反函数

也就是说

对一个函数值x

我们先取它对应的反函数值

也就是要找它对应的自变量的值

然后接下来我再来求

这个自变量对应的函数值

应该得到的就是我们给出的这个函数值x

或者说对一个自变量x

我们先对它求函数值

求完函数值之后

我们通过它的反函数

来找一下这个函数值所对应的自变量的值

当然应该还是x

所以有时候

我们说两个函数互为反函数

是将从函数运算的角度来讲

也就是指这两个关系式是成立的

这是关于反函数的概念

接下来从这个定义

我们自然能够得到这样的结论

说反函数它的定义域

实际上是考虑了原来函数的值域

而反函数的值域自然是原来函数的定义域

下面我们从几何上来看一看

函数和反函数之间的关系

也就是看一下

它们图形之间的关系

它们图形之间的关系

我们先看在xy平面上

所谓一个函数的图形

它指的就是xy平面上的一条曲线

求函数值

也就是相当于给了横轴上的一个x值

我来看这个平行于y轴的这条直线

与这条曲线交点的纵坐标是什么

它的纵坐标对应的应该就是x对应的函数值

而所谓求反函数

相当于是你先给了我这个函数值

也就是给了这个纵坐标

我来作平行于x轴的直线

看看这个交点的横坐标是什么

说如果用箭头来表示

我们现在画的这个箭头

表示的是函数求值的方向

而我把这个方向反过来

表示的自然就是反函数求值的方向

如果我在同一个xy平面上来看的时候

假设说我的函数自变量是x

函数值是y

而我的反函数我仍然用y来表示函数值

也就说表示原来函数的函数值

就是反函数自变量它对应的反函数的函数值

应该就是原来的自变量x

那么这两个函数表示的图像

应该是同一条曲线

但我们习惯上

是用x来表示自变量的

而用y来表示函数值

如果我们这样

我们就看这两个函数它的图像是什么关系

实际上我们在中学就得到了一个结果

我们可以写成一个定理

定理是函数与反函数它的图像

在同一个xy平面上

应该是关于直线y=x对称

那我们简单解释一下这个定理

实际上根据前面我们介绍的函数图像的概念

一个函数与另外一个函数图像

关于一条直线对称

实际上就是说

这个函数图像上的一点

关于这条直线的对称点

应该是在另外一个函数的图像上

就这个具体的定理来说

我们说如果假设（a，b）这个点

是在这个函数y=f（x）图像上

也就是意味着f（a）它的值应该是等于b

根据反函数的定义

我们就知道

这个反函数在b这点的函数值应该是a

而这个表达式

意味着对反函数来说

当它的自变量是b时

它对应的函数值应该是a

所以根据我们前面介绍的函数图像的概念

我们知道

如果（a，b）这个点

在函数y=f（x）的图像上

那么（b，a）这个点就应该在

它的反函数的图像上

而这两个点它应该是关于直线y=x对称的

因为这两个点的中点坐标是（a+b）除上2

横坐标和纵坐标是相等的

它应该是落在直线y=x上

另外这两点连线的斜率

即求纵坐标差比上横坐标差应该是-1

而这条直线的斜率是+1

两条直线斜率乘起来等于-1

意味着这两条直线是垂直的

所以说（a，b）这个点

和（b，a）这个点关于y=x对称

这样我们就解释了

在原来函数y=f（x）图像上的点

关于直线y=x的对称点

是在它的反函数图像上

也就是函数与反函数的图像

关于y=x这条直线对称

然后有了反函数概念之后

我们当然还有个问题

也就是说

是不是所有的函数都有反函数

如果不是

我们有没有办法

来判断一个函数它是不是存在反函数

这个也就是关于反函数的存在性问题

这是在理论上讲

反函数存在

它的充分必要条件是

指的这个函数的对应关系

也就是从x到y这个对应关系

应该是所谓的一一对应

什么叫一一对应

就是说一个x只能对应着一个y

不同的x应该是对应着不同的y

从映射的角度来讲

我们经常说

一个函数关系f它是从D到Zf是一一的

指的就是所谓的单射

单射指的就是说一个x只能有一个y与它对应

另外它应该还是满的

也就是所谓的满射

所谓的满射是指的

所谓的满射指的是

这里面

任何一个值在这里面都有唯一的x与它对应

如果它既是单的又是满的

它自然就应该是一一的

所以说什么时候有反函数

理论上讲

如果这个函数关系是一一对应

那么它一定有反函数

我们平时在微积分里面

来判断一个函数有没有反函数

我们经常用它的一个充分条件

也就是说

这个函数如果是单调的

那么它一定是有反函数的

当然有反函数的函数不见得是单调函数

我想这个结论

大家只要了解就行了

这是关于反函数的存在性问题

接下来我们举一个例子

也就是说

怎么样来求一个函数的反函数

比方说我们来求一求y等于

二分之一倍的e的x次方减掉e的-x次方

这个函数的反函数

也就是说这个函数

我们能不能用y把x表示出来

那我们就写一下它的简单解答

这个简单解答

也就是说

从这个条件我们知道

可以把这个表达式进行变形

变成是2倍的e的x次方

这是e的x次方括起来的平方减1

现在我们再把这个东西给它变形

给它变成

e的x次方括起来的平方次方

然后把这个分母乘过来

移过去

也就是写成

2倍的y

e的x次方

再减掉1等于0

那写到这

我们把e的x方作为未知量

那这实际是一个关于e的x次方的二次方程

我们利用二次方程的求根公式

可以得到

e的x次方等于

2倍的y加减根下4倍的y方加上4

再除上2

也就是我们给它整理一下

会写成是一个y加减根下y方加1

当然我们知道y的平方加1开方

它应该是大于y的

所以说这里y减根下y方加1

应该是小于0的

但是我们知道

e的x次方永远是大于0的

所以在这个地方

我们根号前面的这个负号要去掉

这样我们就会得到

e的x次方等于y加上根下y方加1

最后我们根据指数和对数

互为反函数这个结论

那么我们的x也就等于

lny加上根下y方加1

最后我们把x表示自变量

y表示应变量

我们常用的这个表示方法代进去

就会得到原来函数的反函数是

y等于lnx加上根下x方加1

它的定义域应该是x

可以取整个实轴上的数

这是我们求简单函数反函数的一般方法

也就是说在原来的函数关系里面

我们想办法用y把x表示出来

最后把原来函数的值域

写成是现在反函数的定义域

这样这个反函数的函数关系

我们就完全确定了

下面我们来看一例具体函数的反函数

也就是关于反三角函数

实际上我们学三角函数时我们知道

所谓三角函数

也就你给了我一个角度之后

我们来找它对应的正弦值

余弦值或者是正切值等等

现在我们把这个问题反过来

说如果我给你一个+1-1之间的数

说是某一个角度的正弦值

现在请你把这个角度给找出来

你能不能找出来

譬如说正弦等二分之一的角

你能不能找出来

我想你肯定会这样说

说六分之π,当然它的正弦就是1/2

当然我说2π+π/6

它的正弦应该也是1/2

实际上由于三角函数是所谓的周期函数

对于同一个函数值

我们有无穷多个角度与它对应

那么从函数关系来说

对三角函数来说

我们如果不加限定

只是给一个所谓的三角函数的值

来求角的时候

我们就得不到我们需要的函数关系

所以我们为了要讨论三角函数的反函数

我们根据三角函数的单调性

我们这样来考虑

说假设我们考虑的是-π到π之间

这个正弦函数的图像

那我们可以看出来

这是正弦函数在-π/2

到+π/2之间它是单调递增的

如果我们说给一个正负1之间的数

我们来找一个介于-π/2和π/2之间的角

使得它的正弦值等于这个数

这个时候

大家知道

它应该是有唯一的一个角度

使得它的正弦值等于这个数

所谓反正弦函数也就是指的这个意思

我们的记号是arcsinx

它说对于处于-1到+1之间的一个数

我们来找介于-π/2到π/2之间的一个角

使得这个角它的正弦值正好是给定的这个x

这个从x到y的函数关系

我们就称它为是原来正弦函数的反函数

也就是反正弦函数

这里我们限定的这个取值范围

一般就称为反正弦函数的主值范围

主值范围

我想反正弦函数大家就知道

实际上就是要在这个主值范围里面

找一个角度

使得它的正弦值是我们给出来的这个x的值

类似的我们可以给出反余弦函数的概念

所谓反余弦函数

也就是说

我们给一个介于-1到+1之间的一个数

把它作为是某一个角度的余弦值

现在我们要限定在这个范围里面

去找一个角度

使得它的余弦值正好是给出的x

比如说arccos1/2

它的意思也就是说

在0到π这个范围里面

找一个余弦是1/2的角

大家知道这个角就应该是π/3

比如说arccos（-1/2）

它实际就是让我们在0到π之间

找一个余弦值是-1/2的角

我们知道这个角是2π/3

2π/3

我想这是arccosx

然后我们还可以定义反正切函数

写成acrtanx

这个也就是说

我们任给一个实数

我们在-π/2到π/2这个开区间里面

来找一个角

使得这个角的正切值是你给的那个实数x

比如说arctan1

我们知道这个角应该是π/4

而arctan（-1）

这个角自然应该是-π/4

我们之所以把反三角函数的主值范围

限定到这些相应的区间

这当然是我们利用了正弦余弦以及正切函数

在相应范围上的单调性

因为它在这些范围上是单调的

所以说我们给一个三角函数值

在这个单调区间上

自然就有唯一的角度与它对应

关于反三角函数的内容

在我们微积分里面

在导数运算，积分运算

以及在某些问题里面表示角的大小时

我们经常会用到

尽管大家在中学里面

现在不介绍反三角函数

但是因为三角函数大家还是比较熟悉的

所以说

只要了解反三角函数是限定在某个范围上

来考虑给了三角函数值之后

去求角

只要了解这个问题

我想反三角函数大家还是能掌握好的

前面我们介绍了函数的概念

函数图形的概念

并介绍了我们常见的几类特殊函数

像分段函数、隐函数

以及我们刚介绍的函数的反函数运算

这是我们在这一节所介绍的有关内容