极坐标系与点的极坐标，极坐标方程表示的几种曲线 在线视频

好接下来我们在这一章的最后一节

给出我们微积分中常用的几种特殊曲线

这就是我们第一章第六节的内容

就是极坐标方程与参数方程

表示的几种曲线

实际上在中学里面

坐标系我们是比较熟悉的

当然我们更熟悉的是所谓的直角坐标系

无论是平面直角坐标系

还是空间直角坐标系

我们都知道它建立了

平面或者是空间中的点

与所谓有序数组之间的关系

实际上坐标系只要能够给出

屏幕上的点与有序数组之间的一一对应

那它就是一个平面坐标系

空间中也是这样子的

所以在平面中

除了我们常用的直角坐标系之外

我们还有所谓的极坐标系

我们先简单介绍一下

什么叫极坐标系

比如说在平面中

我取定一个点

我把它称为坐标原点

我再从这个点出发

给出一个有方向的线段

我称为极轴

我再给一个度量单位

这样有了度量单位的有方向的

这个有向线段

实际本身就构成了一个极坐标系

为什么说它是一个极坐标系

因为对于空间中的任何一个点

我们可以做OP这个连线

这个距离我们记成r

然后从这个正极轴方向我们逆时针旋转

就是出来的这个角度咱们记成θ

所以说这样对任意的P我们会找到

一个有序的数组（r，θ）与它对应

反过来说如果我给了一个（r，θ）

我就首先

从这个正极轴方向逆时针旋转θ这个角度

然后再从原点出发

沿着这条线我走一个r这个距离

这个点也是找到的

说这样我就建立了平面中的点

与有序数组的一一对应关系

它当然就是个坐标系

这就是所谓的极坐标系

r和θ也就是这个点的极坐标

r一般咱们称为极径

也就是极径

径表示距离

然后θ我们表示或者我们称为极角

这是关于平面上的极坐标系

一般来说

我们如果把极坐标系的正极轴

放到x的正半轴上来

这样对平面中的任何一个点

我们既有极坐标

也有所谓的直角坐标

那根据前面我们介绍的三角函数

也就是直角三角形中

锐角的三角函数与边的关系

我们马上就知道

这个点的直角坐标

x等于r乘上cosθ

y等于r乘上sinθ

这就是当坐标原点重合

正x轴是极轴时

同一个点的直角坐标（x，y）

和它的极坐标（r，θ）之间的关系

我们不加说明的时候一般说

直角坐标和极坐标之间的关系

指的就是这个关系式

你比如说

我们在这里写一个

x方加y方等于a方

这个大家知道

这是圆心在原点

半径为a的圆的直角坐标方程

如果我们说

用这个圆周上点的极坐标

来表示这个等式的时候

那这个x方加y方是r方 这个是a方

因为我们的极径和a一般都是大于0的

所以说这个r等于a表示的就是

圆心在原点半径是a的这个圆的

极坐标方程

因为它给出的就是

这个圆周上的点的极坐标满足的关系式

尽管这个圆的方程对我们来说也很熟悉

但是你也不得不承认

用极坐标表示圆心在原点的圆的方程

应该比直角坐标更简单

我们所谓用极坐标方程

来表示一些特殊曲线

主要就是说当一些曲线

如果们用直角坐标表示时它可能过于复杂

我们很难从方程出发去讨论它的有关性质

这时候如果我们能够引进所谓的变量替换的思想

也就是说我们从直角坐标转换成极坐标

就有可能得到一个比较简单的关系式

这时候从它的简单方程出发

就有可能得到一些很有意思的结果

或者说能够得到我们想要的东西

下面我们就介绍我们微积分课程中

常用的两种用极坐标方程表示的特殊曲线

极坐标方程表示的曲线

第一种我们给它叫心形线

也叫心脏线

那么我们先看一下心形线是怎么形成的

我在这画两个大小一样的圆

它在这个位置是外切的

现在我们保持这两个圆这个外切关系

同时把这个切点固定在左边这个圆上

让左边这个圆绕着右边这个圆做旋转

这个点的轨迹大概出来应该是这个样子

这样现在我们就来看一下

怎么样来刻画这条轨迹

也就来刻画这条曲线

实际上我们要刻画这条曲线

也就是要写它的方程

也就是要把曲线上的点坐标满足的关系式写出来

你要把曲线上的点的坐标写出来

自然首先要建立坐标系

所以我们的坐标系是这样建立的

这个地方就取成坐标原点

这个方向我们取成正极轴

这个点一开始在原点

滚动了一段时间后

假设这个圆滚动到这个位置

那这个点就跑到这个地方来了

所以这个点我们叫O点

这个圆的圆心我们记成是A

滚到这个位置之后

圆心记成是B

而这个点我们记成是P

现在我们把这几条线连起来

A B我们连一下

然后B P连一下

还有O P我们连一下

这样连起来之后

如果我画的准确的是

这个应该是一个等腰梯形

我为了要把这个OP也就是这个P点的

这应该是它的极径r求出来

我从A出发做OP的垂线

从B出发我也做OP的垂线

然后我把这个点我记成J

这个交点或者叫垂足我记成K

那根据对称性

我们知道这应该

和这个是两个全等的直角三角形

而这个锐角这应该就是

P这个点的极角

我用θ来表示

那我看一下r等于OP它当然等于OJ再加上JK再加上KP

所以这个长度直接就等于这三条线段之和

在直角三角形OAJ中

OJ是直角边

OA是斜边

这个锐角应该是点P的极角θ

如果我们说这个圆的直径是a

OA就是2分之a

所以说OJ应该是等于2分之a乘上cosθ

而JK应该是AB之间的距离

应该正好是两个半径之和

也就是圆的直径

所以应该是等于a

这个KP

KP跟OJ应该是相等的

所以应该是等于2分之a乘上cosθ

这样我们整理一下

也就是a倍的（1+cosθ）

实际上如果我们这样建立极坐标系

那么这个心形线上点的极坐标

满足的方程应该就是r等于a倍的（1+cosθ）

其中a是这个圆的直径

这是我们说的心形线的极坐标方程

这个方程应该说还是比较简单的

比如说从这个方程里面

我们很容易看出

这个心形线关于极轴是对称的

因为在这个地方cosθ是一个偶函数

说无论θ是大于0小于0

这个极径是不变的

这说明它是关于极轴对称的

这样这是我们常用的心形线方程

当然如果说我们建立直角坐标系

也就说这仍然是坐标原点

这是x轴的正向

这当然就是y轴的正向

如果这样子的时候

我们看看这个心形线上的点的

直角坐标方程应该是什么

那我们就从极坐标与

直角坐标之间的关系出发

来给它转换一下

两边我乘一个r

这就是r方应该是等于ar再加上arcosθ

而r乘cosθ应该是x

r方应该是x方加y方

所以说

这个地方应该就是

x方加上y方减掉ax等于a倍的根下x方加y方

那我们一般在运算时是不喜欢带有根号的

所以说我们两边做平方

就可以把根号去掉

即使两边不做平方

请大家看一下

直角坐标方程与极坐标方程相比

当然是极坐标方程应该是简单得多

所以说关于心形线

即使我们能写出它的直角坐标方程来

我们一般也是以极坐标方程形式来讨论

心形线的有关性质

我想这是我们介绍的第一个

用极坐标方程来表示的特殊曲线

接下来我们介绍第二种

用极坐标方程表示的特殊曲线

也就是我们说的双纽线

那我们先看一下双纽线是怎么来的

双纽线是这样

如果我有两个点

这两个点的距离我们记成2倍的a

那么到这两个点的距离乘积是a方的点的轨迹

我们把它定义成双纽线

所以这是双纽线的来历

或者是双纽线的定义

然后接下来我们看一下

怎么样来刻画这样的轨迹

也就是说

我如果建立什么样的坐标系能够把

这条轨迹上点的坐标

满足的关系式给推出来

我们先看一下

假设这两个点

我取它的中点是坐标原点O

这个方向是x轴

那这个方向自然就是y轴

然后双纽线它的大概形状是这个样子的

这是在这边是这样子

一个完全对称的形状

是这个样子的

所以双纽线的就是这个大概轮廓

是这样子的

我们假设这一点它的坐标是（x，y）

那么这个点

也就是原来的一个定点

它的坐标应该是（a，0)

而另外一个定点的坐标应该是（-a，0)

那根据直角坐标系中

两点间的距离公式

我们知道

x减掉a的平方加上y的平方

就是这两点间的距离

开方是它的距离

再乘上根下x加上a的平方再加上y的平方

是这两点间的距离这个应该是等于a方

这是我们刚才的定义

这样我们两边做一个平方

做平方完之后

应该就是x减掉a的平方加上y的平方

然后再乘上

x加上a的平方再加上加y的平方

等于a的四次方

在这里面我们做一个展开

做展开之后

它应该剩下的是

写成应该是x方加上y方

然后这个地方应该是加上a方

减掉2倍的ax

这边应该是

x方加上y方再加上a方

加上2倍的ax这是a的4次方

这儿有个括号

然后我们把它作为一项

这个作为一项

利用一个简单的代数公式

我们就会得到

x平方加上y的平方再加a的平方

它的平方减掉4倍的a方x方等于a的4次方

剩下的就我们做一个平方

这个做平方时把它作为一项

实际上出来a的四次方就消掉了

同时这里也出来一个x方y方a方

跟这也做一个合并

最后我们会得到一个这样的关系式

也就是x方加上y方的平方

应该等于2倍的a方乘上（x方-y方）

那我们利用直角坐标与极坐标之间的关系

这应该就是r的四次方

这个地方应该出来的是2倍的a方r方

cos方减sin方应该是cos2θ

到了这个地方

说我们最后常用的双纽线的方程是

r方等于2倍的a方cos2θ

这是我们常用的双纽线的极坐标方程

在这个极坐标方程里面

因为这是非负数

这个系数非负

说cos2θ一定是非负

这样就限定了在这个范围里面

应该它的取值这两个角应该是-π/4到π/4

所以也就是说我们可以通过这个方程

大概的把这个双纽线所在的范围

给分析出来

另外因为它是个偶函数

自然应该知道

它是关于极轴对称的

最后因为在极坐标系里面

我们有时候说极径小于0

小于0实际上就是在原来大于0的方向上

做一个反向的关于原点对称的点

所以说

这面有的这个轮廓线做反向应该到

左半平面还是有一个与它完全对称的

通过这个

我们大概也能够体会到

双纽线用极坐标方程表示

应该比直角坐标方程要简单

至少我们可以通过极坐标方程

大概分析下它所在的位置

它的对称性

而用直角坐标方程

你很难分析它所在的位置

这是我们微积分里面常用的两种特殊曲线