当前课程知识点：微积分——极限理论与一元函数 > 第六章 原函数与不定积分 > 第一节 概念与性质 > 不定积分的概念与性质
刚才我们回答了三个问题
我们也已经知道
如果说在 (a,b)这个开区间内
有这么一个定义的函数f(x)
有一个原函数
我们把原函数呢记成F(x)
那么实际上它有无穷多个原函数
而这个无穷多个原函数呢
我们可以把它记成F(x)加上常数C
我们把它称为原函数族
我们把这个原函数族定义成为
f(x)这个函数的不定积分
我们把原函数族
就定义成为f(x)的不定积分
所以呢我们原来讲求导运算
给了一个函数F(x)
通过求导运算
我们可以求出F的一个导函数
我们把它称之为导函数
那么什么时候
就是求不定积分
如果已经知道f(x)
我们反过去求一个F(x)
使得F(x)是它的某一原函数
我们加上任意常数C
实际上就构成了f(x)的不定积分
我们把这个过程呢
就叫做不定积分
所以从这个意义上来讲
求导和求不定积分
这两个过程是互为逆过程
所以呢这样的话
我们就给出了不定积分的定义
f(x)在(a,b)区间内的所有原函数
我们把它称之为f(x)的不定积分
我们用这么一种符号来表示不定积分
既然这样的话
我们很显然可以知道
f(x)的不定积分
它是f(x)的所有的原函数
构成的原函数族
所以就等于f(x)
同样跟它完全平等的
就是f(x)dx不定积分的微分
就等于f(x)dx
假如说我们给在(a,b)区间上
我们给出一个F(x)的函数
是一个可导的函数
那么F的导数构成的不定积分
就应该是等于F(x)加上任意常数C
这点一定要记住
也就是说所有的不定积分
都是原函数族
既然是原函数族
所以所有的不定积分
都应该能够看见一个任意常数
这是所有的不定积分所必须具有的
原来我们在讲原函数的时候
我们给过一个原函数的表
那么我们现在介绍了不定积分之后
我们从原函数表
我们可以构造一个不定积分表
如果说f(x)是等于x的p次方
p是不等于-1的
那么这个时候f(x)的不定积分
就可以写成(p加1分之一)的x的
(p+1)次方加上任意常数C
假如说f(x)等于x分之一
那么x分之一这个函数的不定积分呢
就等于ln绝对值x
要加绝对值加上任意常数C
假如说有一个f(x)是e的x次方
那么e的x次方
这个函数的不定积分呢
是e的x次方加上常数C
如果说有一个a的x次方
a的x次方的不定积分呢
是a的x次方除以lna加上常数C
那么如果说有一个函数是sinx
那么它的不定积分呢
是-cosx加上常数C
如果f(x)等于cosx那么它的不定积分
等于sinx加上常数C
如果f(x)等于sec平方x
那么这个函数的不定积分
是等于tanx加上常数C
如果f(x)有这么一个
函数的不定积分
是根号1减x平方分之一
那么它的不定积分
是arcsinx加上任意常数C
如果f(x)有这么一个函数
是(1加x平方)分之一
那么它的不定积分
就是arctanx加上任意常数C
所以我们可以有
原来我们学微分学的时候
我们的导数表
可以构造一个原函数表
那么由原函数表加上
任意的常数C之后
同样可以构造不定积分的一个积分表
刚才我们介绍了不定积分
那么我们现在讲不定积分的运算
包括两种运算
一种呢是加法运算
另外一个呢是数乘运算
我们先来看看加法运算
假如说f(x)是不定积分
或者说有原函数
g(x)也有不定积分
等于G(x)加上任意常数C
则f(x)加g(x)一定是有原函数的
并且呢它的不定积分可以写成
f(x)的不定积分加上g(x)的不定积分
那么这就是一个不定积分
关于加法运算
它的运算的性质
我们来证明一下
这个证明分成几部分
第一部分我们来证
如果证明f(x)加g(x)也有原函数
现在f(x)有原函数
g(x)也有原函数
我们证明f加g在同样的
区间内也有原函数
那么我们可以知道F(x)加G(x)
F(x)是f(x)的某一原函数
G(x)是g(x)某一原函数
那么言外之意F加G的导数
就等于F的导数加上G的导数
那么F既然是f的某一原函数
所以呢F的导数就是f(x)
G的导数就是g(x)
所以我们可以知道F+G
一定是f(x)加g(x)的一个原函数
一定是它的一个原函数
既然是这样的
那么f(x)加g(x)有一个原函数
就可以构成原函数族
所以呢f(x)加g(x)这个函数
它是可以来求不定积分的
也就是说它是有原函数的
那么第二部分
我们再来证明看一看
既然有原函数
那么我们也已经知道
它的导数呢就等于f(x)加g(x)
这是我们刚才已经证明了的
我们再来看f(x)的原函数 不定积分
加上g(x)的不定积分它的导数呢
就等于算一下同样
也等于f(x)加g(x)
所以说这两个是相等的
既然这两个是相等的
我们就可以得到结论
就是f(x)加g(x)这个函数的不定积分
就可以写成f(x)的不定积分
加上g(x)的不定积分
那么这么一个式子告诉我们
就是这么一件事情
大家看等号左边
等号左边f(x)和g(x)这两个函数
先做加法运算然后
再做不定积分的运算
而等号右边f(x)和g(x)这两个函数
分别先做不定积分的运算
然后再做加法运算
而这两个相等
表示加法运算和不定积分的运算
是可以交换次序的
先做后做是可以交换次序的
这是我们的第一个运算
就是加法运算
那么第二个运算就是数乘运算
f(x)它是有不定积分的
或者说它有某一原函数F(x)
那么这个f(x)的不定积分
就是F(x)加上C
λ是一个实数常数
则λ乘上f(x)dx
第一件事情λ乘上f(x)
同样也是有原函数的
也是可以求不定积分的
并且这么一个不定积分
就等于λ乘上f(x)的不定积分
证明的过程跟加法运算证明的过程差不多
那么在这儿我们就不重复讲了
大家可以回去自己证明一下这个定理
能不能给它证出来
我们来看看这个定理的实质
等号左边是λ常数λ和函数f(x)的一个
我们把它叫做f(x)
这个函数的一个数乘
先做数乘再做不定积分
而等号右边是先做
不定积分再做数乘
那么这个等式也就告诉我们
一个函数的数乘运算
和不定积分的运算
可以交换次序
同样我们可以知道
这个等式另外一个
也就相当于什么呢
作为一个常数我这个λ
是不是就可以直接放到
不定积分号的外边
可以把它提出来放进去
对常数来讲不影响原来那个不定积分
我们同样可以把加法运算
和数乘运算结合起来
我们来考虑这么一件事情
同样我们给条件f(x)是有原函数的
g(x)是有原函数的
我们来看看λ乘上
f(x)加上μ乘上g(x)的dx
其中λ和μ是两个实的常数
所谓常数就跟x无关的
我们把它叫做常数
那么根据加法运算的交换次序
我们可以知道
它就等于λ乘上f(x)的不定积分
加上μ乘上g(x)的不定积分
这是加法运算的交换次序
然后再根据数乘运算
这个λ和μ可以拿出来的
这么一个数乘运算的运算法则
我们同样可以知道
等于λ乘上f(x)的不定积分
加上μ乘上g(x)的不定积分
如果我们再给两个特例
如果说λ等于1μ等于负1
这就相当于f(x)减去g(x)的
构成的函数的不定积分
就等于f(x)的不定积分
减去g(x)的不定积分
-序言
--序言
-第一节 实数集的界与确界
--实数集的界
--实数集的确界
-第一节思考与练习
--思考题
--练习题
-第二节 函数的概念
--分段函数与隐函数
-第二节思考与练习
--思考题
--练习题
-第三节 函数的运算
--函数的反函数
-第三节思考与练习
--思考题
--练习题
-第四节 函数的初等性质
--函数的凸性
-第四节思考与练习
--思考题
--练习题
-第五节 初等函数
--初等函数
-第五节思考与练习
--思考题
--练习题
-第六节 极坐标方程与参数方程表示的几种曲线
-第一节 数列极限的概念与性质
--无穷大量
-第一节思考与练习
--思考题
--第二章 极限论--第一节思考与练习
-第二节 数列极限存在的充分条件
--单调有界收敛定理
-第二节思考与练习
--思考题
--第二章 极限论--第二节思考与练习
-第三节 Bolzano定理与Cauchy收敛准则
-第三节思考与练习
--思考题
--第二章 极限论--第三节思考与练习
-第四节 函数极限的概念与性质
--函数极限的概念
--函数极限的性质
-第四节思考与练习
--思考题
--第二章 极限论--第四节思考与练习
-第五节 函数极限的运算
-第五节思考与练习
--思考题
--第二章 极限论--第五节思考与练习
-第六节 无穷小量及其（阶的）比较
--无穷小量的比较
-第六节思考与练习
--思考题
--第二章 极限论--第六节思考与练习
-第一节 连续函数的概念与性质
--间断点的分类
--连续函数的性质
-第一节 思考与练习
--思考题
--第三章 连续函数--第一节 思考与练习
-第二节 闭区间上连续函数的性质
-第二节 思考与练习
--思考题
--第三章 连续函数--第二节 思考与练习
-第三节 函数的一致连续性
--一致连续的概念
-第三节 思考与练习
--思考题
--第三章 连续函数--第三节 思考与练习
-第一节 导数与微分的概念
--导数的概念
--导数的几何意义
--微分概念
-第一节 思考与练习
--思考题
--第四章 导数与微分--第一节 思考与练习
-第二节 导数与微分的运算
--导数的四则运算
--反函数求导法
-第二节 思考与练习
--思考题
--第四章 导数与微分--第二节 思考与练习
-第三节 几种特殊函数的求导法、高阶导数
--高阶导数
-第三节 思考与练习
--思考题
--第四章 导数与微分--第三节 思考与练习
-第一节 微分中值定理
--Fermat定理
--Rolle定理
-第一节 思考与练习
--思考题
--第五章 导数应用--第一节 思考与练习
-第二节 L'Hospital 法则
--0/0型不定式
--∞/∞型不定式
--其他形式的不定式
-第二节 思考与练习
--思考题
--第五章 导数应用--第二节 思考与练习
-第三节 函数的单调性与极值
--函数的单调性
--函数的极值
--函数最值的求法
-第三节 思考与练习
--思考题
--第五章 导数应用--第三节 思考与练习
-第四节 函数的凸性与拐点
--函数凸性的判别法
--拐点
--曲线的渐近性
-第四节 思考与练习
--思考题
--第五章 导数应用--第四节 思考与练习
-第五节 Taylor 公式
-第五节 思考与练习
--思考题
--第五章 导数应用--第五节 思考与练习
-第一节 概念与性质
--原函数的概念
--6-1视频纠正
-第一节思考与练习
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--第六章 原函数与不定积分--第一节思考与练习
-第二节 换元积分法
--第一换元法
--第二换元法
-第二节思考与练习
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--第六章 原函数与不定积分--第二节思考与练习
-第三节 分部积分法
--分步积分法
-第四节 有理函数的积分
--html
--第六章 原函数与不定积分--第四节思考与练习
-第五节 简单无理式的积分
--无理函数的有理化
--第六章 原函数与不定积分--第五节思考与练习
-第一节 积分概念与积分存在条件
--定积分的概念
-- 函数的可积性
--第七章 定积分--第一节思考与练习
-第二节 定积分的性质
--定积分的性质
--定积分性质的应用
-第三节 变上限积分与Newton—Leibniz公式
--变上限积分
--复合变限积分
--定积分的计算
--第七章 定积分--第三节思考与练习
-第四节 定积分的换元积分法与分部积分法
--第七章 定积分--第四节思考与练习
-第五节 定积分的几何应用
--平面区域的面积
--曲线的弧长
--平面曲线的曲率
--第七章 定积分--第五节思考与练习
-第六节 定积分的物理应用
--物理应用简介
-第七节 反常积分
--反常积分
--其他无穷积分
--第七章 定积分--第七节思考与练习
-第一节 数项级数的概念与性质
--第八章 级数--第一节 思考与练习
-第二节 正项级数的收敛判别法
--第八章 级数--第二节 思考与练习
-第三节 任意项级数
--交错项级数
--绝对值判敛法
--第八章 级数--第三节 思考与练习
-第四节 函数级数
--第八章 级数--第四节 思考与练习
-第五节 幂级数
--Abel判别法
--收敛半径与收敛域
--幂级数的分析性质
--幂级数求和
--第八章 级数--第五节思考与练习
-第六节 傅里叶级数
--三角函数的正交性
--第八章 级数--第六节思考与练习
