曲线的渐近性在线视频

接下来我们来讨论一下

有关函数图像的另外一个性质

这就是所谓函数图像或者是它的曲线

它的渐进线问题

渐进线这一部分

自然在渐进线的概念和渐进线的求法里面

从字面上看好像与导数无关

但是要想讨论渐进线

不可避免的要牵扯到极限运算

前面我们介绍过极限运算里面

直接用四则运算法则的毕竟是少数

所以说大部分极限运算

就是所谓的不定式

而不定式极限的求值

自然会牵扯到导数

这也是为什么

我们把曲线渐进线放到导数应用部分

它的原因

因为如果没有导数

我们自然就是做一些简单极限运算时

就无从下手

那接下来我们先看一下

渐近线的概念

渐近线的概念我们直接写定义

比如说是这样子的

若存在x0

使得x趋向于x0时f(x)是无穷大量

这个时候则称就是这条垂直于x轴的直线

x等于x0是这条曲线y等f(x)的垂直渐近线

也叫铅直渐近线

也就是说如果函数在某一点

它是无穷大量

那么相应的这一点

就对应着它的一条垂直渐近线

当然这个极限过程

既可以是x趋向于x0

也可以从x0的单侧趋向于x0

而这个无穷大量

既可以是一般的无穷大量

也可以是正无穷大

负无穷大都可以的

接下来如果在x趋向于无穷时

f(x)的极限是存在的

那么y等于a这条水平线

就称为这条曲线y等于f(x)的水平渐近线

这是水平渐近线的定义

如果这样我们就说

平行x轴的这条水平线y=a

是这条曲线在x趋向无穷时的水平渐近线

当然有时候我们考虑极限过程的时候

可能会出现x趋向于正a时

f(x)的极限是存在等于A的

如果是这样子

我们就称y等于A这条水平线

是这条曲线在x趋向于正无穷时的水平渐近线

或者说我们来考虑x趋向负无穷时

它的极限存在等于B

那么我们就说y等于B这条水平线

是这条曲线在x趋向负无穷的水平渐近线

对于一个定义在负无穷和正无穷的函数来说

我们讨论它是否有水平渐近线的时候

我们一般是分别讨论在这两个极限过程下

极限是否存在

当然极限不存在就是没有水平渐近线

在极限存在的前提下

水平渐近线的说法就像刚才我们说的那样

当A和B相等的时候

我们认为它是一条水平渐近线

不等的时候

自然是两条不同的水平渐近线

这是关于水平渐近线的定义

接下来还有一个

如果它没有水平渐近线

我们来看

它有没有满足这样条件的这个直线

也就是说x趋向于无穷时

f(x)减掉ax加b

也就是说我有一条直线是y等于ax加b

如果它满足这个极限等于0

这时候a是不等于0的

我就称y=ax+b这条直线

是这条曲线y=f(x)在x趋向无穷时的斜渐近线

这是我们斜渐近线的概念

当然与水平渐近线类似

有时候我们这个极限过程

可能是要分开分别讨论

x趋向于正无穷

或x趋向于负无穷

也就是说如果x趋向于正无穷时

这个极限等式成立

那我们就把这条直线

称为这条曲线在x趋向于正无穷时的斜渐近线

x趋向负无穷的斜渐近线

类似的去理解它

我想关于负无穷到正无穷上有定义的函数

它对应的曲线

斜渐近线的情况

我们是从三个方面来讨论的

就是垂直渐近线

水平渐近线和斜渐近线

关于垂直渐近线和水平渐近线

它的定义本身实际就给出了它的求法

接下来我们来说一下斜渐近线我们该怎么求

也就是斜渐近线的求法

这个求法我们给一个定理

也就是y=ax+b是y=f(x)这条曲线

比如说在x趋向于正无穷时它的斜渐近线

它的充分必要条件是什么

就是f(x)比上x在x趋向于正无穷的极限是a

x趋向正无穷时

f(x)-ax的极限是b

这应该是一个充分必要的

关于就是说这个东西的充分性

很显然因为这个等式成立

自然就意味着f(x)-(ax+b)极限是0

所以说y=ax+b自然是它的斜渐近线

接下来如果它是它的斜渐近线

也就是这个等式成立

这个等式成立大家看一下

这个等式我们可以给他转化成就是f(x)-ax

它的极限应该是b

而f(x)-ax我们自然可以写成是

把x提出来

x乘上f(x)除上x减掉a

这个在x趋向于正无穷时

一个是无穷大量

一个因子如果不趋向于0的时候

它的乘积不可能有极限比的

所以说这个时候这个因子极限一定是0

一定是0就意味着

这个时候这个极限一定是a

这个极限是a

因为它又满足斜渐近线的定义

那么我的b自然就是f(x)-ax的极限

关于这个地方

就是说理论上详细的证明

我们就做一个简单的解释就行了

关键就是说在这个极限过程下

如果它没有水平渐近线

我们应该求这个函数的极限

这个极限有的时候

我们就再求这个函数的极限

当这两个极限都存在的时候

我们就说这时候他是有斜渐近线的

如果我们在考虑这个极限过程中

它不存在那说明它没有斜渐近线

我们比较不喜欢的情况就是说

我求了这个极限存在

但是求了半天这个极限不存在

这个时候它也是没有斜渐近线的

也就是说尽管我做了好多运算

它本来就是没有斜渐近线

我想这是关于渐近线的概念

接下来我们看一个例题

这个例题就是说

f(x)等于x分之一加上ln(1加上e的x次方)

我们看这个函数它的渐近线情况

它的渐近线情况大家看一下

这里有一个x分之一

我们马上就意识到

x=0有可能是它的垂直渐近线

因为x趋向于0时

这是个无穷大量

x趋向于0时这个是趋向于ln2的

所以说你就知道了x趋向于0

f(x)它确实是个无穷大量

所以说x=0也就是y轴

应该就是它的一条垂直渐近线

接下来我们再来看它有没有水平的

我们先看这边

x趋向负无穷时这个是趋向于0的

x趋向负无穷时这个应该是趋向ln1的

ln1当然等于0

所以说我们马上就知道

x趋向负无穷时f(x)极限应该等于0

这说明y=0

也就是x轴

是它在x趋向负无穷时的一条水平渐近线

接下来我们还要看x趋向正无穷

x趋向正无穷时

这个是趋向于0的

但是这个是个无穷大量

这说明这条曲线

在x趋向正无穷是没有水平渐近线的

那没有水平渐近线对我们来说

并不见得是好消息

因为这个时候我们一定要问

它没有水平渐近线它有没有斜渐近线

有没有那我们就看这个东西

f(x)比上x这个地方实际就等于x方分之一

这一个我们就给它写开

也就加上ln(e的x次方)

再加上ln(1+e的-x次方)再除上x

那么大家看x趋向正无穷时

这个是趋向于0的

这个跟这个是1

然后这个x趋向正无穷时

这个是趋向于0的

实际上这个时候它是趋向于1的

趋向于1

接下来的问题我们就要看f(x)-1乘上x

也就是等于x分之一再加上就是还是写成这样

也就是ln(e的x方)就是x

再加上ln(1+e的-x次方)再减掉x

这时候这个消掉

x趋向正无穷时这是趋向于0

这个是趋向于ln1

所以这时候它是趋向于0的

换句话说这时候我们得到了一条直线y=x

这条直线就应该是我们这个函数图像

在x趋向正无穷时的斜渐近线

我想这是关于斜渐近线的问题

最后我们来说一个微积分里面

常见到的问题

就是说对简单函数

你怎么定性地做出它的图形

这个我们就看这个例子

这个例子也就是

y等于(2+x)e的x分之一次方

说我们有没有办法做这个函数的定性图

什么叫定性图

就是你要把它的单调性表示出来

把它的极值表示出来

把它的凸性表示出来

最后把它在定义域区间端点的变化趋势表示出来

我想在这里我给大家说一下

我们基本上做的步骤

第一步大家要知道

在什么范围上作图

所以说要考虑它的定义域

这个函数的定义域大家知道

只要x不等于0就行了

所以应该是(-∞，0)再并上(0，+∞)

这两个半无穷区间的并

这是第一步

第二步我们要考虑它的单调性并求极值

所以大家根据咱们前面介绍过的

讨论单调性求极值的方法

要求它的导数这个导数大家能够

应该能够求得出来

求出来之后做一个简单的整理

这应该就是

(x+1)再一个(x-2)除上x方

这边是e的x分之一

求完导数之后

大家自然知道

它导数存在的点和导数等于0的点

和导数不存在的点

一共有3个

分别是-1,2是导数等于0的点

还有x=0是导数不存在的点

这样就把整个定义域分完之后

是不是应该分成了就是4个范围

每个范围里面单调性知道

相应的在x=-1，x=2的点是极大极小

大家也知道

这样就是单调性极值大家都讨论清楚了

在这个题目里面

一会我会给大家简单说一下它的结论

第三步我们要讨论它的凸性了

凸性的时候

我们要求二阶导

这个地方大家去求二阶导

整理完之后

应该是(5x+2)再除上x的4次方e的x分之一方

那二阶导数等于0的点

应该是有一个

就是负的五分之二

二阶导数不存在的点也有一个是x=0

那么这两个点就把它整个定义域分成了三个部分

分别时(负无穷到负的五分之二)

(负的五分之二到0)

(0到正无穷)

那在每个范围里面

二阶导数的正负号大家是很清楚的

所以说它的凸性是知道的

而且负的五分之二和0是不是拐点也知道了

这样我们就相当于凸性拐点

也讨论清楚并求出来了

最后大家来看一下

它在x趋向于无穷或x趋向于0

因为它在0这点没定义

它的变化情况

最后大家会发现

x大于0趋向于0时

这是个正无穷大的

所以说它在x轴的右侧

应该是趋向于正无穷的

x=0也就是y轴是条垂直渐近线

另外大家也可以求出来

它除了这个x=0垂直渐近线

它应该是没有水平渐近线

但是有一条斜渐近线

按部就班的用刚才的方法求出来

斜渐近线是x+3

有了这些讨论的结果之后

大家就可以在xy平面上给它作图了

这个图是这样子的

就是说这个函数

从负无穷到正无穷是单调递增

并且是上凸的

然后从-1到负的五分之二它单调递减

也是上凸的

从负的五分之二到0单调递减

但是变成下凸了

所以说

x=负的五分之二应该是这个函数的一个拐点

并且在小于0趋向于0时它的函数值

大家注意它是趋向于0的

接下来在0到2这个范围上

它应该是单调下降

并且是下凸的

x等于0应该是它的一条垂直渐近线

在2到正无穷上它应该是单调上升

并且是下凸的

同时y=x+3

是它的一条斜渐近线

那这样大家就知道对简单函数来说

经过这几个步骤

我们确确实实能够从定性的方面

把这个图形给它刻画出来

这是我们关于函数渐近线要介绍的内容

实际上在导数应用部分

如果请大家做一个函数作图的问题

基本上把前面我们介绍的所有内容

都用到了单调性、极值、凹凸性、拐点、渐近线