定积分的性质在线视频

刚刚我们解释了

什么样的函数在有界闭区间上

[a,b]上是一个可积函数

我们也给出了相应的定理

和一系列的推论

那么现在我们讲一讲

如果说是可积函数

那么它的定积分要满足什么样的性质

定积分的性质

我们想假如说f是Riemann意义上

在[a,b]这个区间上是可积函数

g这个函数

也是Riemann可积函数

第一条 则f加上g也是可积函数

并且在[a,b]上

f(x)加上g(x)的积分

就等于f(x)在[a,b]上的积分

加上g(x)在[a,b]上的积分

我们来看看这个式子的左端和右端

跟不定积分一样

等式的左端表示

f(x)和g(x)两个可积函数

先作加法运算

再作定积分运算

等式的右边

表示这两个函数

分别先作定积分运算

然后再作加法运算

那么这个等式就告诉我们

两个可积函数

它们的加法运算

和定积分运算

可以交换次序

这是第一条性质告诉我们的

那证明我们就省略了

第二条性质

λ是一个实数

f是Riemann可积函数

那么λ乘上f也是Riemann可积函数

并且在[a,b]上的积分

λ乘上f(x)的这么一个

Riemann积分定积分

就等于λ乘上f在[a,b]上的定积分

所以我们再来看一个运算

f先作数乘运算

再作定积分运算

等号左边

等号右边

是f先作定积分运算

再作数乘运算

我们可以发现

这两种运算

又是可以交换次序的

如果我们把第一条性质

和第二条性质结合起来

我们可以得到下面的一个推论

λ和μ是两个实数

f和g呢都是Riemann可积函数

则a到b上λf(x)加上μ乘上g(x)

它们的Riemann积分定积分

就等于λ乘上f的定积分

加上μ乘上g的定积分

我们知道两个函数

一个叫f一个叫g

λ乘上f加上μ乘上g

实际上就是f和g的两个线性运算

所以这个等式告诉我们

Riemann积分是具有线性性的

我们把这个性质

叫作定积分的线性性

我们把它叫作定积分的线性性

我们来看看第二条性质

如果f是在[a,b]区间 是可积的

c属于[a,b]

那么我们可以得到结论就是

从a到b上f(x)的定积分

可以写成从a到c上f(x)的定积分

加上从c到b上f(x)的定积分

我们把这条性质

叫作定积分关于积分区域的可加性

而且我们还可以证明这么一件事情

假如说 刚才我们讲的这是a这是b

中间有一个c

c是在[a,b]区间里面

f从a到b的积分

可以写成f从a到c的积分

再加上f从c到b的积分

实际上刚才我们那个性质c这一点

如果不在[a,b]区间上

如果c这个点

是在[a,b]区间某一端的延长线上

任然这个等式是正确的

也就是说f从a到b的积分

可以写成f从a到c的积分积过头了

然后怎么呢再积回来

再从c到b的积分

所以c点在左边那个外延点

和c点在左边那一段的外延点都是对的

但是这个定理的

它的条件要改一下

如果说在我们图中这种情况

f的条件不光是在a和b这个区间上可积

应该是f在a到c上可积

那么这个等式才成立

所以呢 这个定理

也就是可积性的条件

实际上是这几个区间里面

最大区间上 要可积的 才可以

所以这个我们把它积分

关于区域的可加性的定理

我们第三条还有

从a到a的f(x)dx一定是等于0的

第四条我们有从a到b的f(x)dx

可以写成负的从b到a的f(x)dx

也就是说积分上下限颠倒一下

对于可积函数来讲

它的定积分的值

差一个正负号

这些定理这些结论

实际上从数学上来讲

它实际上都是可证的

只是从时间和篇幅关系的话

我们就在这儿不特意给它证了

还是那样如果说

感兴趣的那些同学呢

你可以去看一下

数学分析的相应的书就可以了

除了刚才那些性质之外

定积分还有一些性质

如果f是在[a,b]区间内

是可积函数f大于等于0

x属于[a,b]区间

则[a,b]区间上

f(x)的定积分

一定大于等于0的

我们把这个性质

叫做保号性

大于等于0是个符号正号

那么f大于等于0

表示f是取正号的

所有的x [a,b]范围内

它都是取正号的

那么这种取正号的事情

在定积分意义下

是不是就保留了下来

所以我们把它叫做保号性

我们还可以有一些性质

如果说f和g都是可积函数

f(x)小于等于g(x)

x属于[a,b]这个区间上

则结论就是[a,b]上

f(x)的定积分

小于等于[a,b]上g(x)的定积分

我们把这条性质

叫作定积分的保序性

f(x)小于等于g(x)

那么这是小于等于的关系

是不是就说明了

f(x)和g(x)序的关系

大小长幼本身就是一个序的关系

那么这儿f(x)小于等于

g(x)这种序的关系

我们可以得到f(x)的定积分

小于等于g(x)的定积分

那么这种序的关系是不是

被定积分所保留下来

所以我们把这种性质

叫作定积分的保序性

要注意一件事情

就是定积分它的保序性

在这个区间上是成立的

也就是说只有当下限

小于等于上限的时候

那么函数大的定积分也大

函数小的定积分也小

反过来来讲如果下限是大于上限的

那么这个序就要相反了

所以我们有条件

在这个条件下

下限是a上限是b

下限小于上限的情况下

定积分是具有保序性的

f如果说是在[a,b]

区间上是可积函数

那么我们得到结论

就是[a,b]区间上f(x)dx的绝对值

小于等于[a,b]区间上

f(x)的绝对值dx

这个证明就很简单了

我们来看看 我们可以知道

f(x)是应该小于等于绝对值f(x)

大于等于负的绝对值f(x)

当x属于[a,b]这个区间上的时候

那么我两边作从a到b

因为a小于b　a到b的定积分

一积分就可以得到上面那个不等式

我们把这个不等式

再稍微再作一些些推广

如果说m小于等于

f(x)小于等于M

x属于[a,b]这个区间

当然我们还是要给条件

f在[a,b]这个区间内是可积的

则f在[a,b]这个区间上的积分

小于等于M乘上b减a

大于等于m乘上b减a

这是因为f既然在

[a,b]这个区间内

是大于等于m小于等于M

所以f的积分是不是

大于等于m的积分

就是m乘上b减a

小于等于M的积分

就是M乘上b减a

实际上是保序性的一种推广

我们把这个性质叫作估值性

f(x)大于等于m小于等于M

这是不是对f(x)的取值

是不是就有一种估计

f(x)的取值是在m和M之间

这就是一种估值

那么有了f(x)这种估值的性质呢

f的定积分在a小于b的情况下

它也可以估计它的大小

这m乘上b减a和M乘上b减a之间

我们把这条性质

就叫作定积分的估值性

除此之外定积分还有一条定理

如果说f是连续函数

我们知道连续函数

必然是一个可积函数

这是我们刚才已经讲过的

所以这个函数必然是一个可积函数

那么则一定存在着ξ属于[a,b]

使得[a,b]上f(x)dx这个积分

就等于f在ξ点的取值乘上b-a

我们把这条性质叫作

定积分的中值定理

我们把它叫作定积分的中值定理

我们稍微证明一下

有界闭区间上的连续函数

连续函数两条性质

第一条性质

就是有界闭区间上的连续函数

是不是一定有最大值和最小值存在

第二条性质 是介值定理

所以根据最值定理

我们知道一定存在着一个m

m就等于f(x1)

存在一个M就等于f(x2)

其中x1和x2是属于[a,b]这个区间

使得f(x)小于等于M

大于等于m

当x属于[a,b]区间的时候

这条性质就告诉我们

实际上这个m就是连续函数

在[a,b]区间上的最小值

M就是最大值

那么根据我们刚才那条性质

我们可以知道f(x) [a,b]区间上

f(x)dx小于等于

小于等于m乘上b减a

大于等于m乘上b减a

小于等于M乘上b减a

那么我们来除以b减a呢

一定小于等于最大值

我们知道最大值是f(x2)

大于等于最小值是f(x1)

f(x1)是最小值

f(x2)是最大值

那我们同样也知道

连续函数有介值定理

既然有介值定理

那么在最大值和最小值之间的值

就一定可以取到

如果可以取到

那么我们就可以证明存在着一个ξ

属于[a,b]这个区间

使得f(ξ)就等于在[a,b]区间上

f(x)的定积分除以b减a

我把b减a乘过去

实际上就是我们要证的中值定理

我们把这个中值定理

稍稍作一点点推广

我们就可以得到下面的定理

如果说f是一个连续函数

g是一个可积函数

并且g这个函数在

[a,b]区间内是不变号的

要不全是大于等于0的

要不就全是小于等于0的

g这个函数是不变号的

则一定存在着ξ属于[a,b]

使得a到b的积分f(x)乘上

g(x)在a到b的定积分

就可以写成f在ξ点的取值

乘上a到b的积分g(x)dx

那么我们可以知道

刚才那条中值定理

就是现在这条

我们把它叫作

广义的中值定理的一个特例

就是相当于g(x)取1的话

就是上面那条性质

那么我们可以得到

这么一系列定积分的性质