Fermat定理在线视频

接下来我们介绍一下微分学的应用

因为前面我们介绍了

函数在一点的导数和微分的概念

在这一章中

我们主要利用导数来研究一下函数的有关性质

我们处理的具体问题主要包括

比如说利用导数运算来求极限

然后利用导数来判断函数的单调性

和求函数的极值

利用二阶导数来判断函数的凹凸性

和求函数的拐点

还有我们可以讨论曲线的渐进线问题

然后我们还会要讨论一下

关于怎么样用多项式函数近似一般函数的问题

也就是要给出泰勒公式的结论

但是为了解决这些具体的问题

我们要给出

怎么样把函数与导数联系起来的结论

尽管导数定义里面

既有函数值又有导数值

但是在导数定义里面

我们是用极限运算把它们联系起来的

而极限运算我们知道

是一个无穷运算

所以说我们在用导数和函数之间关系的时候

在用极限运算在应用过程中是不方便的

接下来我们想办法先给出函数值

与导数值之间的一般关系

我们第一节要介绍的微分中值定理

实际上就建立了

函数值与导数值的一般关系

在建立了函数值与导数值的一般关系后

我们就可以利用这些结论

去进一步对函数的有关性质进行展开讨论

我们先看一下第一个结论

第一个结论叫Fermat定理

Fermat就是十七世纪

法国的著名数学家费马

就是在这个地方

我们看到Fermat定理

主要是谈的在极值点处导数值的情况

那接下来我们自然要先问一下什么叫极值

什么叫极值点

就是关于函数的极值和极值点的定义

我们通过一个图做一个简单的解释

说假设有一个函数

它的图像y等于f（x)是这个样子

那么在这条曲线上

大家会发现

我这个点的横坐标

我用x1来表示

这个点的横坐标

我用x2来表示

这个点的横坐标用x3来表示

那么通过图形大家可以看出

这个函数在x1附近f（x1）

是所有函数值里面最大的

x2

在x2附近f（x2）也是所有的函数值里面最大的

类似的x3也满足这个性质

那么我们就说

f（x1）f（x2）f（x3）都是

这个函数的极大值

取得极大值的点x1,x2,x3都叫

这个函数的极大值点

类似的在这个图上大家还可以看出

如果我把这个点的横坐标表示成x一杠1

这个点的横坐标我们表示成x一杠2

这个点的横坐标咱们表示成x一杠3

那么在x一杠1附近

f（x一杠1）是所有函数值里面最小的

类似的x2一杠x3一杠也满足类似的性质

那我们就说f（x1一杠）和f（x2一杠）f（x3一杠）

应该都是它的极小值

相应的这三个点自然叫函数的极小值点

说我们写出这个定义的时候

应该就是这样说的

我假设f（x）在x0及其附近有定义

若存在一个δ大于0

使得这个不等式总是对的

f(x)它是小于等于f(x0)的

只要x属于这个x0减δ到x0加δ

那这个不等式都对

我就说f（x0）是函数f（x）的一个极大值

x0是它的一个极大值点

类似的我们可以给出

极小值和极小值点的定义

那么极大值和极小值

我们统称为极值

极大值点和极小值点统称为极值点

我想这是关于极值和极值点的概念

关于这个定理

我们需要强调的还有这么几点

第一个通过定义大家知道

极值应该是一个局部性的值

反映的是在一点附近

这一点的函数值是不是最大的

所以说与前面我们谈的

函数在某个范围上的最大最小值

是两个不同的概念

最大最小值是一个整体性质

是一个全局性的性质

这是需要给大家强调的一下

另外一点大家注意

我们是说

f（x0）与它左右的点的函数值做比较

也就是说函数定义域区间的端点

我们是不认为它是极值点的

也就是定义域区间的端点不可能是极值点

另外一个需要给大家解释一下

因为引进极值的目的

就是要比较当函数值不等时谁最大谁最小

所以说我们这里面的这个

非严格不等号只要针对的是说

当x等于x0时当然是等号成立

一般来说我们关心的是只要x不等于x0

我们希望这里是严格不等号成立

我想这是关于我们函数极值和极值点的概念

有了极值和极值点的概念之后

我们来看极值点的一个性质

这个性质也就是我们Fermat定理说的内容

Fermat定理

这个定理是这样说的

说若f（x0）是f（x）的极值

且f一撇x0存在

则f一撇x0等于0

这就是Fermat定理的内容

它就是说可导极值点导数一定为0

实际上Fermat定理它说的这个结论

在几何上这个现象是很明显的

从这个图上大家可以看出来这是一个极大值

这是一个极小值

Fermat定理就是说

如果曲线在极大值这个地方有切线的时候

切线应该是水平的

它在极小值的地方

如果存在切线的时候

切线也是水平的

所以说这个结论

从几何上看当然是很明显的

我们一般地把导数等于0的点称为函数的驻点

那么Fermat定理就是说

可导极值点一定是函数的驻点

当然我们也可以举出这样的例子

说导数等于0的点

不见得一定就是极值点

比如说y等于x的三次方这个函数

在x等于0，它的导数是等于0的

但是通过图大家就可以看出来

它在0这点的函数值0

在这任何一个范围里面

它既不是最大的也不是最小的

因为无论这个范围多小

在这个范围里面

x三次方总有大于0的值也有小于0的值

也就是说驻点不见得是极值点

当然我们还有这样的例子

说y等于x绝对值这个函数

这个函数在x等于0它是最小值

显然也是极小值

但是在这个地方它的导数是不存在的

也就是说导数不存在的点也有可能是极值点

我们把这上面的情况做一个总结

也就是函数的极值点

只可能在两类点取到

要么导数不存在要么导数等于0

但是在这些点里面是不是所有的点都是极值点

通过这个例子大家知道当然不是

所以说只能说

导数不存在和导数等于0的点是可能的极值点

最后我们给这个Fermat定理写出它的证明

这Fermat定理的证明我们不妨假设

这个f(x0)是个极大值

因为它导数存在

大家注意一下

它在这个地方

它的右导数应该就等于x大于x0趋向于x0

f(x)减掉f(x0)再除上x减x0

因为这个时候分母是大于0的

我们假设这个f(x0)是极大的时候

分子应该是小于0的

所以这个商是小于0的

根据极限的保号性质

这个极限值应该是小于等于0的

也就是右导数是小于等于0的

而它的左导数应该是x趋向于x0负

f(x)减掉f(x0)再除上x减x0

这个时候这个分母是小于0的

因为x在x0的左侧

分子因为f(x0)是极大值

所以说它也是小于0的

这样的时候在这种情况下这个商是大于0的

那么根据极限的保号性质

这个极限应该是大于等于0的

但我们的条件是说

它不仅能取到极值它导数还存在

导数存在也就是说意味着左右导数应该相等

大家马上就能得出来了

导数值一方面小于等于0

一方面大于等于0

所以说导数值是等于0的

这就是Fermat定理的证明

所以这个证明本身并不复杂

但是可导极值点导数为0这个结论

是在我们导数应用里面

非常基本的一个结论

在许多时候我们都会用到这个结果

请大家仔细体会一下

这个定理给出的条件和结论

以及这些其他的情形

然后有了Fermat定理之后

我们来看一个例题

这个例题是这样说的

说若f(x)在区间[a,b]上可导

也就每一点导数存在

且这个f一撇(a)小于f一撇(b)

然后则对于任意的μ大于f一撇(a)小于f一撇(b)

我总能存在一个ξ属于开区间(a,b)

然后使得f一撇(ξ)是等于μ的

就这么一个结论

这个结论我们只是为了书写方便

所以我们假设a这一点的导数值

小于b这一点的导数值

实际上这个结论一般的说法就是说

如果函数在区间[a,b]上可导

如果两个端点的导数值不等的时候

那么两个端点导数值之间的任何一个数

总能在这个区间上找到一点

使得这一点的导数值是这个数

这个自然就是导函数的介值性质

实际大家回忆一下

我们在介绍连续函数的性质的时候

曾经介绍了连续函数的介值定理

介值定理有时候也叫中间值定理

为什么

就是说对这样的函数来说

它任意两个函数值之间的一个数

都是某一点的函数值

但是连续函数的介质定理

对函数加的是连续条件

在这个题目里面大家注意一下

我仅仅是要求它在每一点的导数都存在

也就是说导函数

我仅仅要求它在ab区间有定义就可以了

它并没有要求导函数一定是连续的

所以说这个性质应该是导函数特有的一个性质

实际上这个结论在微积分里面

它也有一个很著名的名字

它叫Darboux定理

Darboux也是法国的近代一个数学家

而且在微积分里面

我们对Darboux这个名字并不会感到陌生

因为在后面大家学定积分的时候

你也会还能听到Darboux的声音

因为他对函数的可积性的贡献

对我们微积分积分理论的建立是非常大的

这是这个内容

接下来我们对这个结论做一个证明

这证明跟前面我们连续函数性质部分的例题类似

我们先把这个结论做一个转化

也就是说这个结论应该等价于

f一撇(ξ)减μ等于0

现在我们把这个等式转换成是

某一个函数在ξ这一点的导数等于0

而这某一个函数大家看一下

是不就是F(x)等于f(x)减掉μ乘上x

也就是说我们就是要证

这个F(x)在ab区间上某一点导数等于0

到现在为止

关于存在导数为0的点的结论我们只有一个

就是Fermat定理

所以我们就要说

我们为了证明它在某一点的导数为0

那我们只要证明

它这个F(x)在区间上可以取到极值就可以了

那接下来我们看一下

这样构造了辅助函数之后

也就是令F等于它

则F在这个区间a,b是可导的

而且F一撇(a)应该等于f一撇(a)减掉μ

这应该是小于0的

F一撇(b)等于f一撇(b)减掉μ

这应该是大于0的

那我们就看一下

在a这点的导数小于0意味着什么

请大家回忆一下

我们讲导数概念的时候我们特别讲了一个例题

就是说函数在一点导数的正负号

实际是可以确定函数在这一点附近其他点的函数值

与这一点函数值之间的大小关系

所以说它在a这一点的导数小于0

那么我就能找到一个点x1属于(a,b)

使得F（x1）应该是小于F（a）

这就是在这一点导数小于0

说明在这一点的右侧附近

所有的函数值都比这点的函数值来的小

而这个F一撇(b)大于0

就说明在b点的左侧附近

所有的函数值也比F（b）来的小

也就是说我还可以找到一个x2属于

我x1已经找到了

所以我不妨假设x2是大于x1的

属于x1到b

使得F(x2)是小于F(b)的

那这样一写的时候大家想一下

这是不就是说F在两个端点的值

都不可能是最小值

当然不可能是最小值

因为我已经找到了比它更小的函数值

但是F是一个可导函数

自然是连续函数

连续函数它自然应该是有最小值的

最小值不在端点取到

所以说最小值应该是在开区间里取到

也就是说这个时候

从而我一定能找到一个ξ是在开区间(a,b)内

使得F(ξ)是F(x)在这个[a,b]区间上的最小值

开区间上的最小值当然是极小值

那么它导数存在又是极小值

也就是F一撇(ξ)应该是等于0

这是Fermat定理告诉我们的结论

F一撇(ξ)等于0

我们回到F的表达式

自然就知道是f一撇(ξ)减μ等于0

这样我们就证明了

确确实实在导函数存在的前提下

我们不用它的连续性

就能证明它具有介值性质

Darboux尽管我们是以一个定理的形式给出来的

但是它是微积分里面一个很重要的结论

只是在微积分课程里面

我们要求得不那么高

所以我们就不把它写成一个定理的形式了