当前课程知识点：微积分——极限理论与一元函数 > 第二章 极限论 > 第一节 数列极限的概念与性质 > 数列极限的概念（2）
下面我们通过几个具体的题目
来进一步体会一下
我们数列极限定义中的
就是任给ε
怎么样去找N这个过程
那我们先看第一个例题
我们证明
n趋向于无穷时
就是1+1/n的极限等于1
就是这个东西
现在就是说
我们要证明这个等式
根据极限定义
也就是说
对于任给的ε大于0
你能够找到一个N
在这个N之后
所有的n对应的项
到1的距离
要不超过ε
所以我们在做的时候
我们先看看
这个n对应的项不超过
到1的距离不超过ε是怎么回事
也就是1减1
这个地方当然就等于1/n
实际上我们就是希望它不超过ε
那根据1/n不超过ε
我们就知道
这个n与ε的关系就有了
也就是
这样的时候
我们就知道这个n应该是大于1/ε的
所以
这样
有了这个n与ε的关系
我们自然就可以这样说了
如果把N取成1/ε的整数部分
为了确定它是个正整数
再加上1
那大家看一下
对这个题目
我们是不是可以这样说
任给ε大于0
我们取N等于[1/ε]取整+1
那么只要n大于N
我就能保证n大于1/ε
也就能保证第n项到1的距离
不超过ε
实际上我们如果能分析到这一步
这个所谓的极限等式
我们的证明思路基本就有了
下面我们就把这个过程完整的写一下
说我证明
任给ε大于0
因为就是说这个1+1/n-1=1/n
这个我们先不要它
就是说所以
所以要使
要使得就是这个差的绝对值
|(1+1/n)-1|这个小于ε
我们就只要使
只要使1/n小于ε就可以了
然后写完1/n小于ε之后
我就取这个N等于1/ε取整加1
接下来
则当n>N时
我就有
有这些我们就不再重复了
当然是有1/n<ε
从而有这个不等式
也就是说我直接写这个就是了
(1+1/n)-1小于ε
最后下的结论
就是故我们证的极限等式是对的
所以说
我们利用定义来讨论一个数列的极限
应该是从这个不等式出发
所谓就是从这个不等式出发
如果这个不等式不好求解的时候
我们给它做一个适当放大
放大完之后
解这个不等式
由这个不等式
把我们要找的N找出来
我想这是一个简单的
利用极限定义做的问题
接下来我们来说第二个问题
第二个问题就是
证一下我们这个极限
limn趋向于无穷
q的n次方是等于0的
只要q的绝对值是小于1的
那我们就按刚才我们分析的过程
去直接写这个证明
这个证明
也就是任给ε>0
然后我要使
就是|q^n|<ε
我只要
只要什么呢
两边一取对数
也就是n倍的ln(|q|) 然后这样我就可以取 就是这个N就等于[ln(ε)/ln|q|]+1 在这里给大家解释一下 因为我们这个q绝对值小于1的 所以说我们这个自然对数值 应该是小于0的 小于0我们把它给除过去 这个不等号是要变向的 所以我们这个不等式 应该等价于n>ln(ε)/ln(|q|) 但是这样一除的时候 这个ε如果是大于1的时候 这个商应该是小于0的 但是大家想我们ε 主要是刻画那个接近程度 我们关心的是ε非常小的情况 所以说在这个问题里面 我们不妨假设ε它是小于1的 那么在这个假设下 这个就是一个正数取它的整数部分 所以这样取出来就是正整数 这样取完之后 则当n>N时 我们这些不等式都是对的 我们就直接写|q^n|<ε 也就是我们要证的 这个极限等式是成立的 所以这个就是说我们怎么来找N 大家看 我们就直接从这个不等式出发 通过对数运算以及不等式的简单性质 就是把这个正整数N找出来了 我想这是第二个例题 接下来 我们来看第三个例题 第三个例题我先说这个题目 就是证明n趋向无穷时 a的1/n次方 或者是根下n次方 这个是等于1的 这个条件是我给一个a>1 a>1 就是证明这个等于1 我们看看这个我们怎么来证明 我们当然可以用证明这个题的这个方法去说 当然我们换一个思路 也是说 我们在处理极限问题中 常见的一个想法 或者说我们在处理数学问题中 常用的一种想法 就是给它变形 你比如说 这个题目我们可以转化成这个样子 也就是a的(1/n)次方 我给它写成1+εn 因为这个a的(1/n)次方在a>1时 它是大于1的 所以说 这个εn应该是大于0的 我们证明原来这个极限等于1 应该等价于证明这个en的极限是0 极限是0 那就是说 我们怎么证明这个极限是0呢 我们两边做n次方 那么a=(1+εn)^n 这个地方我们给它展开 也就等于1加上n倍的εn再加上 就是后面Cn2εn的平方后面再加上 也就是说我用二项式定理展开之后 后面这些项都是大于0的 现在我给它扔掉 它当然就大于n乘上εn 这个是大于 这样的时候 我马上就推出了0<εn<(a/n) 小于a/n的 那刚才我们已经基本上 通过第一个例题的证明我们知道 a/n它的极限应该是0 应该是0 这样子的时候 我们通过这个不等式 自然就可以证明 εn的极限是0 所以说从而我们利用这个关系式 就得到了我们要证的这个极限 a的1/n次方极限确实是1 我想具体的写法或是 详细的过程我就不再写了 但是这个就是变形的思想 在我们处理数学问题中是经常用的 大家看 通过这样引进一个新的变量 利用我们中学学的二项式定理 以及简单的不等式放缩 再利用我们得到的结果 我们很容易就得到了这个题的证明 接下来我们来看第四个例题 就是说 我们条件是n趋向于无穷时 an的极限是A 我们要证的结论是 证明n趋向无穷时 an的绝对值这个数列它的极限是 A的绝对值 这是这个也是我们常用的一个极限结论 当然在这个证明过程中 应该是说 非常明确的就是体现了 什么叫用定义来证明一个问题 比如说 我们写出来的证明过程是这样子的 任给ε>0 因为我们的条件是an的极限是A 所以我们一定能找到一个N大于0 就是当n>N时 我们就有an减掉A的绝对值是小于ε的 这是我们的条件告诉我们的东西 然后接下来从而 我们要证的问题是 要证an的绝对值减掉A的绝对值 再取绝对值之后 它是不是可以充分小 我们利用不等式的性质我们知道 这个绝对值应该是小于等于 an-A的绝对值 然后从而 它也小于ε 也就是说我们只是用了一个什么呢 绝对值的性质 直接就把我们要证的这个量 与我们已知的这个量联系起来了 这样子的时候 直接利用极限定义 我们就可以下这个结论了 故我们要证的这个极限等式是成立的 这是我们关于数列极限 与它绝对值数列极限之间的关系 当然这个结论我们用的时候一定要注意 反过来是不能用的 也就是说 你不能说因为它的绝对值 极限是A的绝对值 所以原来这个数列的极限是A 这样的东西是不能说的 实际上在微积分里面 无论极限 还是后面我们介绍到的连续 甚至是可导等等 我们都不能 就是说 就是想当然的 把函数或者数列本身的性质 直接给它推广到绝对值上去 我们要想用的时候 一定要给出严格的证明 接下来我们看最后一道例题 最后一道例题 我们的条件是 知道an的极限是A 我们来证n趋向于无穷时 a1+a2一直加到an除上n它的极限也是A 这是我们在极限部分常用到的 一个重要结论 大家可以通过这个题目看出来 也就是说如果数列极限是A 那么它的前n项和做一个平均值 构成一个新的数列 这个数列的极限也是A 然后我们来看一下 怎么样利用极限定义来证明这个结论 我们也主要是分析一下 这个证明的过程或者证明的想法 我们要做的是 a1+a2加加到an除上n减掉A这个绝对值 我们要看看这个东西在n越来越大时 它是不是可以充分小 因为我们的条件是 知道an减掉A绝对值是可以越来越小的 所以这个东西 我们做这个变形是很自然的 也就给它作成n分之a1 减掉A加上a2减掉A 一直加加到an减掉A的绝对值 为什么做这种变形 我们条件因为知道的就是 an减掉A绝对值可以充分小 这样做完之后那当然 我们就开始用那个条件了 说任给ε>0 因为我们的条件是an的极限是A 所以我们一定能找到一个N1>0 当n>N1时 我们就有就是an减掉A小于ε 这是我们的条件 接下来呢 我们就接着我们这个关系式往下写 所以说 当n>N1时，这个地方我们给它写成两部分 写到这来 第一部分是什么呢 就是n分之a1减A一直加到aN1-A 然后接下来第二部分写成是 n分之aN1+1减A一直加到我们的an减掉A 绝对值 那大家看一下 因为我的N1是确定的 前面这一部分 这个分子应该是有限项 相对于我们这个n来说 它应该是常数 是常数时大家就知道 你就要利用C/n n趋向无穷时极限是0 是不就能够保证 前面这部分可以充分小 而后面这一部分 我们给它放大完之后 每一项它的绝对值应该都是小于ε 所以上面一共有多少项呢 应该是n-N1项 所以这样呢 我就把这个东西给它放大到什么呢 放大到这个东西 就是n分之 这个我用个C来表示前面这些项的绝对值 下面呢我就给他写成 n分之n减掉N1的ε 我想写到这 这个证明基本就出来了 因为这个极限是0 所以说 对给定的ε我一定能找到一个N 在n>N时这个是小于ε 这个本身就小于ε 因为这个分子是小于分母的 所以说 用这样的极限是等于0的 所以 我一定能找到一个N>0 当然这个N我让它大于N1 因为我要保证 刚才我这些运算都是成立的 则当n>N时 我就有 有什么呢 有a1+a2一直加到an除上n减掉A 是小于2ε的 小于2ε也是说这个差 绝对值是可以充分小的 所以说用极限定义我们就证明了 一个数列极限如果是A的时候 那么前n项平均值构成的新的数列 极限仍然是A 这应该是数列极限构成的一个运算性质 我想通过这几个例题 我们就进一步体会了我们极限定义中的 ε是刻画那个接近程度的 也进一步体会了一下在具体数列里面 当ε给出了之后 我怎么样利用这个具体的数列表达形式 去找相应的N 关于数列极限的定义 希望大家就是说 能够真正的理解它 至于是不是我要都会用数列极限定义 去处理很复杂的数列极限问题 这个倒不是我们课程的基本要求 我们课程主要是有了定义之后 会给出相关的性质 给出相关的运算性质 我们利用性质和运算性质 去处理数列极限的问题
-序言
--序言
-第一节 实数集的界与确界
--实数集的界
--实数集的确界
-第一节思考与练习
--思考题
--练习题
-第二节 函数的概念
--分段函数与隐函数
-第二节思考与练习
--思考题
--练习题
-第三节 函数的运算
--函数的反函数
-第三节思考与练习
--思考题
--练习题
-第四节 函数的初等性质
--函数的凸性
-第四节思考与练习
--思考题
--练习题
-第五节 初等函数
--初等函数
-第五节思考与练习
--思考题
--练习题
-第六节 极坐标方程与参数方程表示的几种曲线
-第一节 数列极限的概念与性质
--无穷大量
-第一节思考与练习
--思考题
--第二章 极限论--第一节思考与练习
-第二节 数列极限存在的充分条件
--单调有界收敛定理
-第二节思考与练习
--思考题
--第二章 极限论--第二节思考与练习
-第三节 Bolzano定理与Cauchy收敛准则
-第三节思考与练习
--思考题
--第二章 极限论--第三节思考与练习
-第四节 函数极限的概念与性质
--函数极限的概念
--函数极限的性质
-第四节思考与练习
--思考题
--第二章 极限论--第四节思考与练习
-第五节 函数极限的运算
-第五节思考与练习
--思考题
--第二章 极限论--第五节思考与练习
-第六节 无穷小量及其（阶的）比较
--无穷小量的比较
-第六节思考与练习
--思考题
--第二章 极限论--第六节思考与练习
-第一节 连续函数的概念与性质
--间断点的分类
--连续函数的性质
-第一节 思考与练习
--思考题
--第三章 连续函数--第一节 思考与练习
-第二节 闭区间上连续函数的性质
-第二节 思考与练习
--思考题
--第三章 连续函数--第二节 思考与练习
-第三节 函数的一致连续性
--一致连续的概念
-第三节 思考与练习
--思考题
--第三章 连续函数--第三节 思考与练习
-第一节 导数与微分的概念
--导数的概念
--导数的几何意义
--微分概念
-第一节 思考与练习
--思考题
--第四章 导数与微分--第一节 思考与练习
-第二节 导数与微分的运算
--导数的四则运算
--反函数求导法
-第二节 思考与练习
--思考题
--第四章 导数与微分--第二节 思考与练习
-第三节 几种特殊函数的求导法、高阶导数
--高阶导数
-第三节 思考与练习
--思考题
--第四章 导数与微分--第三节 思考与练习
-第一节 微分中值定理
--Fermat定理
--Rolle定理
-第一节 思考与练习
--思考题
--第五章 导数应用--第一节 思考与练习
-第二节 L'Hospital 法则
--0/0型不定式
--∞/∞型不定式
--其他形式的不定式
-第二节 思考与练习
--思考题
--第五章 导数应用--第二节 思考与练习
-第三节 函数的单调性与极值
--函数的单调性
--函数的极值
--函数最值的求法
-第三节 思考与练习
--思考题
--第五章 导数应用--第三节 思考与练习
-第四节 函数的凸性与拐点
--函数凸性的判别法
--拐点
--曲线的渐近性
-第四节 思考与练习
--思考题
--第五章 导数应用--第四节 思考与练习
-第五节 Taylor 公式
-第五节 思考与练习
--思考题
--第五章 导数应用--第五节 思考与练习
-第一节 概念与性质
--原函数的概念
--6-1视频纠正
-第一节思考与练习
--思考题
--第六章 原函数与不定积分--第一节思考与练习
-第二节 换元积分法
--第一换元法
--第二换元法
-第二节思考与练习
--思考题
--第六章 原函数与不定积分--第二节思考与练习
-第三节 分部积分法
--分步积分法
-第四节 有理函数的积分
--html
--第六章 原函数与不定积分--第四节思考与练习
-第五节 简单无理式的积分
--无理函数的有理化
--第六章 原函数与不定积分--第五节思考与练习
-第一节 积分概念与积分存在条件
--定积分的概念
-- 函数的可积性
--第七章 定积分--第一节思考与练习
-第二节 定积分的性质
--定积分的性质
--定积分性质的应用
-第三节 变上限积分与Newton—Leibniz公式
--变上限积分
--复合变限积分
--定积分的计算
--第七章 定积分--第三节思考与练习
-第四节 定积分的换元积分法与分部积分法
--第七章 定积分--第四节思考与练习
-第五节 定积分的几何应用
--平面区域的面积
--曲线的弧长
--平面曲线的曲率
--第七章 定积分--第五节思考与练习
-第六节 定积分的物理应用
--物理应用简介
-第七节 反常积分
--反常积分
--其他无穷积分
--第七章 定积分--第七节思考与练习
-第一节 数项级数的概念与性质
--第八章 级数--第一节 思考与练习
-第二节 正项级数的收敛判别法
--第八章 级数--第二节 思考与练习
-第三节 任意项级数
--交错项级数
--绝对值判敛法
--第八章 级数--第三节 思考与练习
-第四节 函数级数
--第八章 级数--第四节 思考与练习
-第五节 幂级数
--Abel判别法
--收敛半径与收敛域
--幂级数的分析性质
--幂级数求和
--第八章 级数--第五节思考与练习
-第六节 傅里叶级数
--三角函数的正交性
--第八章 级数--第六节思考与练习
