连续函数的运算与初等函数的连续性在线视频

下面我们介绍一下连续函数的运算性质

实际上也就是介绍

在函数运算过程中连续函数

通过一些函数运算之后

是不是还能保持它的连续性问题

我们看一下 就是连续函数它的运算

第一个我们先说四则运算

结论是这样说的

就是如果f(x)g(x)都在x0这一点连续

那么我们就有[f(x)加上g(x)]

然后 [f(x)乘上g(x)]

在g(x0)不等于0的前提下

我们f(x)除上g(x) 这是在g(x0)不等于0的前提下

也就是说 我们有f(x)加上g(x)

这个函数在x0这一点还是连续函数

f(x)乘上g(x)这个函数在x0这一点也是连续函数

同时在g(x0)不等于0的前提下

f(x)除上g(x)在x0这一点还是连续函数

这就是连续函数的四则运算

就说换句话说函数在一点的连续性

通过加法运算 乘法运算 除法运算

仍然还是保持的

当然有了乘法运算之后

数乘运算也是连续的

而有了数乘运算之后

我们自然也能推出来

这个减法运算也是可以的

关于就是这个定理它的证明

就是我们前面介绍的

极限运算的四则运算法则

和连续函数它的定义

也就是说 因为它俩在这一点是连续的

所以说f(x) g(x)在x0这一点的极限是f(x0) g(x0)

相应地 我们就会得到

它下面这个和函数 乘积函数和商函数在这一点的极限

分别是它们函数值的和

函数值的乘积

和函数值的商

那正好就说明了

它的和函数 乘积函数 和商函数

在x0这点是连续的

关于这一点 我们就只给出结论

第二个 就是关于复合函数

复合函数 它的连续性 我们的结论是这样说的

也就是 若g(x)在x0这一点连续

f(u)在u0这一点是连续的

而且我这 个u0正好是g在x0这点的函数值

我们的结论就是

则这个复合函数f(g(x))

在x0这一点是连续的

关于复合函数连续性的结论

请大家一起回忆一下

我们复合函数的极限

实际上 这个结论也是复合函数的极限

以及函数在一点连续定义结合在一起

直接得到的一个结果

因为g(x)在x0这点连续

就是说 x趋向于x0时

g(x)的极限是g(x0)

也就是u0 而f(u)在u0这点连续

当然是说 f(u)在u趋向于u0时的极限是f(u0)

在给定的条件下 我们就问

x趋向于x0时 f(g(x))的极限是什么

这个极限 自然应该就是f(u0)

也就是 f(g(x0))

而这个等式成立就说明

复合函数在这一点是连续的

所以说 这个结论也是复合函数的极限运算法则

跟函数在一点连续的定义结合在一起

直接得到的一个结论

有了这个结论之后

我们自然知道

说 这样的幂指函数

我们要看它的连续性

那么 它的连续性与f(x)和g(x)的连续性之间是什么关系

也就是 如果f(x)在x0这一点连续

而且f(x0)是大于0

然后g(x)在x0这一点也是连续的

那我们就会得到

这个幂指函数在x0这一点也是连续的

因为在这个条件下

我们知道这个幂指函数的极限f(x)的g(x)次方

它就是f(x0)的g(x0)次方

而这个等式成立

就说明这个幂指函数在x0这一点是连续的

在函数的运算里面

除了四则运算和复合运算之外

实际上有时候我们还会说

求反函数的运算

接下来我们就看一下

连续函数反函数的连续性问题

反函数的连续性

我们给一个结论

这个结论是这样子的

我们设f(x)在区间[a,b]上单增 就写成单调

单调连续 则它的值域是一个闭区间[c,d]

且它的反函数在反函数的定义域

也就是原来函数的值域上是连续的

这是我们关于反函数连续性一个具体的结论

首先我们在这里说一下

就是说 这个单调连续函数的值域是个闭区间

譬如说 这个函数是单调递增的

那我们知道 它单调递增的时候

那么f(a)是最小的 f(b)是最大的

因为对这个c等于f(a)和d等于f(b)来说

它任何一点的函数值

自然是都在[c,d]这个闭区间里面

同时 因为它是连续函数

所以说 对这个区间中的任何一个值

利用连续函数的介值定理

我们就知道

这里面的每一个值

都是某一点的函数值

所以关于值域是个闭区间

具体的证明 请大家写出来

就主要是利用了单调性

和连续函数的介值定理

接下来 我们只证一下

它的反函数 在反函数的定义域上

是每一点都连续的

我们在证明的时候

为了书写方便

我就不妨设f(x)是单增的

而且 我为了写起来方便

我还不妨设 就是

这个y0是属于(c,d)这个开区间中的任何一点

接下来我们就是要证明

这个反函数在y0这一点连续就行了

因为它是这里面的任意一点

证明了在这点的连续性

自然就知道了它在开区间上的连续性

而端点的连续性

证明方法是一样的

那我们先看一下它这个图

这个图我们在它单增的情况下

我们可以这样说

假设这是我的y等于f(x)的图像

那这个地方是x等于a

这个地方是x等于b

这对应地这应该是f(a) 也就是c

这个是f(b) 是d

现在 我们要做一下

在这个地方任给了一个y0

这是它反函数定义域中的一点

我们来证明 它在这一点连续

首先 反函数在y0这点的值

我们记成是x0

我们要证什么

对任意的ε大于0来说

这个是x0减掉ε

这个应该是x0加上ε

大家看一下 因为它是单调的

所以说 这个点 这就是f(x0减掉ε)

而这个点 这就是f(x0加上ε)

那我把这个图一画

大家看一下

你任给一个ε大于0

为了使得它的反函数的值

落在x0的这个ε领域里面

因为它是单调递增的

是不是只要使得y

它的取值落在我们这个范围里面就可以了

因为x0是确定的 ε是给出的

那么f(x0减掉ε) 那么以及f(x0加上ε)

是不是就是取定了

取定之后 大家看一下

从y0到下面这个点的距离我知道

y0到上面这个点的距离我们也知道

这两个距离里面

你取一个小的

是不是就是我们连续定义里面要找的δ

现在 我们只要把这个几何上的现象

用代数关系式给它表示出来

就应该是 我们这个反函数连续性的一个证明

所以说 我不妨设y0是这里面的任意一点

我就记x0就等于它的反函数在y0这点的值

然后 我任给ε大于0

我要使得 也就是 这个东西

就是f它的反函数在y这一点的值

减掉f 它的反函数在y0这点的值

要使得这个绝对值小于ε

根据绝对值的定义

就是 只要使 这个地方 也就是

f反函数在y这点的值

小于f反函数在y0这点的值加ε

大于f在y0这一点的反函数值减ε

而我们已经把反函数在y0这点的值记成了x0

那么这一点也就是x0减掉ε

而这边自然就是x0加上ε

因为函数f是单调递增的

所以说 我们有了这三个数的大小关系之后

我们利用f是单增这个条件

我们就推出 这个不等式就等价于

f(x0减ε)小于 就是y 小于f(x0加ε)

然后这样我们也就等价于

f(x0减ε)减掉y0小于y减y0小于f(x0加上ε)再减掉y0

那大家就问 为什么你减y0

以为你想到反函数的连续性

实际上我是要找

当y到y0的距离小于多少时

能够保证反函数在y这点的值

和y0这点的值非常接近

所以说 我取到这里之后

大家看一下

在这里面 这应该是个定值

这应该是个定值

所以说 我就取我的δ就等于

这个值是负的

所以说我取它的负值

也就是y0减f(x0减掉ε)

这个值是正的

就取它本身f(x0加ε)减掉y0

在这两个大于0的数里面

我取一个小的

那么 则当就是y减掉y0的绝对值小于δ时

那么 这个不等式一定对

这个不等式就对

从而这个不等式就是正确的

那这样反推出来

就是这个不等式就是成立的

也就是在这个时候

我们有 f反函数在y这一点的值

减掉f反函数在y0这一点的值

是小于ε的

那现在我们看一下

我们证明了什么结论

也就是任给ε大于0

我们确确实实找到了一个δ大于0

当这个不等式成立时

下面这个不等式成立

我们想 这是不是反函数在y0这一点连续的定义

这样我们就证明了

反函数在y0这点的连续性

那因为y0是任意的

自然就证明了

我们反函数在它定义域上的连续性

这是我们在假设函数是单调递增函数时

那个连续性的证明

类似的方法

我们自然也可以证明

函数单调递减时

它这个连续性的证明

我们介绍了连续函数的运算性质之后

接下来我们来看一下

在我们微积分课程中

我们碰到的函数

是不是大部分都是连续的

也就是说我们要解释一下

为什么所谓的初等函数是连续函数

所以初等函数它的连续性问题

首先我们来看一下

基本初等函数的连续性

基本初等函数包括

常函数 常函数的连续性

这个用定义直接就得到了

所以常函数在它定义域区间内

每一点都是连续的

第二个 我们来看一下

就是指数函数它的连续性

这个连续性 我们可以用定义来证明

这个函数譬如说在0点的连续性

证明了这个函数在0点的连续性之后

我们自然就可以证明

它在任何一点的连续性

从而把这个函数处理成e的x乘上lna

就是这个函数就处理成复合函数连续性就可以了

所以说 指数函数的连续性

从理论上讲

我们可以从最简单的以e为底的指数连续性出发

再通过指数和对数互为反函数

在最后利用复合函数的连续性

得到一搬指数函数的连续性

那接下来 对数函数

对数函数 一般的对数函数

我们也是通过这个自然对数的连续性来讨论

而自然对数的连续性

我们可以利用它与这个指数函数是互为反函数

从而得到它的连续性结论

而这个一般以a为底的

我们可以用简单的换底公式

给它处理成lnx除上lna

这样就得到了一般对数函数的连续性

接下来是三角函数y等于sinx

这个连续性我们用定义已经证过了

那y等于cosx 大家可以写成sin(二分之π减掉x)

这个利用复合函数连续性就可以得到了

有了正弦余弦函数的连续性

那么利用除法函数的连续性

我们自然就会得到

正切余切 它的连续性

另外 我们利用 就是

除法运算也会得到正割函数

和余割函数在定义域区间上

它是连续函数

然后还有一个函数

就是所谓的幂函数

幂函数就是y等于x的α次方

这个函数我们处理成e的(α倍lnx)

因为前面我们已经说了

对数函数连续性我们解决了

那么指数函数连续性也知道

利用复合函数运算

我们就会得到

这个一般的幂函数的连续性

最后一个 当然是关于y等于arcsinx

或者是y等于arctanx

刚才我们刚介绍过

就是 关于反函数的连续性结论

因为sinx是连续的

所以说它的反函数也是连续函数

类似的道理 就是因为正切函数

在其定义域区间上是连续的

所以说 它的反函数自然也是连续函数

这样 我们从理论上

就彻底解决了 我们所谓的

六类基本初等函数

在其定义域区间上的连续性问题

那所谓的初等函数是什么

因为初等函数

我们在介绍函数的有关内容的时候曾经说过

所谓的初等函数

是基本初等函数经过有限次的加减乘除运算

和有限次的函数复合运算所得到的函数

实际上 前面连续函数的加减乘除运算

和复合运算 它的连续性问题

我们已经解决了

所以说根据初等函数的概念

我们自然就得到了这个结论

这个结论我们写成一个定理

就是初等函数在其定义域区间上连续

请大家注意

它不是说初等函数在定义域上连续

它是说定义域区间上连续

它指的是这种情况

譬如说 f(x)等于根下(x乘上(x-1))再加上根下(x)

譬如说 这样的函数

这样的函数就是说它的定义域

我们知道 它是一个点{0}再并上

一个半无穷区间

那么我们关于初等函数的连续性结论

是保证了这个函数在这个半无穷区间内

任何一点都是连续的

当然在0这一点因为它是一个定义域的孤立点

我们是不谈函数在这一点连续性的

因为连续说的是

它这一点的函数值

与这点附近其它点函数值之间的关系

因为它是一个定义域的孤立点

在这一点附近

其它点上没有函数值

当然就不用谈连续性

我想 这是关于我们在微积分里面

经常碰到的函数

一般来说 都是初等函数

那有了这个结论之后

大家知道 对初等函数来说

如果我们要求

初等函数在其定义域区间中

某一点x0处的极限值的时候

自然就可以直接写成它的函数值

它的函数值就可以了

所以这也是

我们大家做简单函数极限运算时

你会发现 好多时候

都是说 你要求的极限值

就是函数在那一点的值

为什么 因为我们已经从理论上解决了

初等函数在其定义域区间上

每一点的极限值就应该是它的函数值

我想 这是关于我们讨论的连续函数的运算性质