幂级数的分析性质在线视频

好 我们下面来讨论一下 幂级数

特殊的函数项级数它的分析性质

连续性 可积性 可导性

我们先讲第一个 连续问题

我们有这么一个定理

幂级数在收敛域的内部

(-R,R)构成的开区间一定是个连续函数

好 我们证一下 非常简单

我画一下图

假如说这是x轴 这是原点

那么这是(-R,R)开区间

对于任意的x0属于(-R,R)

随便找一个x0

实际上这个x0

可以和端点靠的很近很近

但是它不能在端点

所以总是有一个距离在那

我可以在这里面插一个数叫做r

插一个数叫做-r

我们原来已经证过了

这个幂级数在[-r,r]上是一致收敛

x0是在[-r,r]的内部

所以一致收敛的

当然幂级数每一项都是幂函数

都是连续函数

连续函数所构成的函数项级数一致收敛的

所以Σanx^n n从零到正无穷在x0这一点

一定是连续

一致收敛的连续函数构成的幂级数

它是一个连续函数

所以在x0一定连续

这是关于和函数的连续性

下面那个定理

是关于和函数可积性的问题

我们也有一个定理

如果幂级数的收敛半径为R

则对于任意的x属于(-R,R)这个开区间

幂级数的和函数st从零到x的积分

就可以写成

n从零到正无穷an除以n+1

乘上x的n+1次方

也就是说逐项积分

而这个逐项积分所构成的新的

也是一个幂级数

它的收敛半径

如果我们把它记成R1的话

我们可以知道R1是大于等于R的

积分的定理的证明实际上

跟连续性的证明是一样的

对于任意的x来讲

在正负R里面 我可以找一个小r

使得[-r,r]这么一个闭区间

包含了x点 这是可以做到的

而这个幂级数又在这个闭区间上一致收敛

既然一致收敛的

就可以逐项积分

所以我们根据逐项积分的定理

我们可以知道

幂级数和函数的积分最后逐项积分之后

就得到了它是等于n从零到正无穷

n+1分之an x的n+1次方这么一个新的幂级数

而这个新的幂级数

对于任意的x在正负r上都是收敛的

所以新的幂级数的收敛半径我不知道

但是我知道这个收敛半径

一点是大于等于R

我们对于这个幂级数来讲还有一个定理

就是求导问题

那么我们有下面这个定理

如果Σanx^n这么一个幂级数的收敛半径为R

那么我们可以得到第一个结论

就是它的和函数在(-R,R)这个开区间

是任意阶可导的

并且对于任意的正整数k

和函数的k阶导数可以写成一个新的级数

k的阶乘ak加上1的阶乘分之k+1的阶乘ak+1乘上x

一直加 加到n的阶乘分之k+n的阶乘

ak+n乘上x^n一直加下去

那么新的幂级数如果我们假设它的收敛半径是R2的话

那么我们同样可以得到R2大于等于R

好 我们现在证明一下

我们只证k等于一的情况

至于k等于2 3 4更高阶的导数的话

证明方法完全是一样

所以我们不再去证了

我们也就要证明

就是S和函数的导数应该是等于

可以交换次序

n从零到正无穷anx^n 的导数

也就等于Σn从一到正无穷nanx^n-1

要证这件事情

这是上面的

也就要证逐项可导

那么关于函数项级数的逐项可导

在三个条件下我们可以知道

它是逐项可导的

第一个条件 所有每一项要连续

幂级数当然每一项都是幂函数所以连续

第二项 要在某一点收敛

现在我们看这个幂级数不光是在这一点收敛

而且这个幂级数在(-R,R)上点点收敛

所以这个也对

第三件事情要证明

它的导函数构成的幂级数

n从一到正无穷nanx^n-1是一致收敛的

要证明导函数构成的幂级数是一致收敛的

那么我们下面要证的事情

就是要证这个一致收敛性

我们来看看对于任意的x属于(-R,R)

我一定可以找到两个常数

一个叫r1 一个叫r2

是大于零的常数

使得x的绝对值小于r1小于r2小于R

我们如果画下图

这个是零 这个是R 这个是-R

我随便找一个x在里面

这个x可以跟两个端点很接近

但是中间总是有距离的

既然这样的话 我可以插一个数叫做r1的数

再插一个数叫做r2的数

使得x的绝对值小于r1小于r2

然后还小于那个收敛半径

这总是可以做到的

因为原来那个幂级数anx^n

在r2这一点 收敛半径内是收敛的

所以anr2^n这是一个有界的

因为收敛的级数通项都趋于零

所以作为数列 这是一个收敛到零的数列

所以它一定有界

所以我们把这个上界叫做M有界的

好 那么我们来看一看

nanx^n-1它一定小于等于nanr1^n-1

因为x的绝对值小于等于r1

所以它就等于n|an|r2^n-1

乘上(r1/r2)^n-1

也就等于|an|r2^n除以r2

乘上n(r1/r2)^n-1

小于等于 用一下界

M是一个常数 r2也是一个常数

再乘上n(r1/r2)^n-1

所以这么一个逐项求导之后

所形成的函数项级数的每一项

被一个常数项级数所控制

而这个常数项级数

前面那项是常数 所以无所谓

后面那个因为r1除上r2

是一个大于零小于一的一个数

所以n乘上小于一的一个常数的n次幂

所构成的常数项级数

它本身是一个收敛的

所以我们可以知道

M除以r2乘上n(r1/r2)^n-1

n从一到正无穷

这是一个收敛的常数项级数

一个函数项级数的每一项

被一个收敛的常数项级数所控制

那么控制收敛定理公式我们

这个函数项级数

它确确实实是一致收敛的

那么我们现在看一下

我们原来讲的逐项求导定理的三个条件

第一它本身每一项都是连续函数

第二在某一点是收敛的

第三逐项求完导之后构成的新的函数项级数

它是一致收敛的

所以可以逐项求导

所以这个公式就对了

逐项求导就对了

那么我们再来看看

逐项求导之后

所形成的一个新的收敛半径

我们知道在(-R,R)内部的任意一点

都可以逐项求导

也就意味着逐项求导之后的

新的级数在(-R,R)上内部是点点收敛

既然是点点收敛的

那么逐项求导之后的新的级数的

收敛半径一定大于等于R

至于大多少我不知道

但是大于等于一定是可以保证的

好我们再来完整的看一下

一个幂级数可以做两次事情

逐项积分之后收敛半径也大于等于R

逐项求导之后收敛半径也大于等于R

结论是什么呢

结论就是逐项积分也好

逐项求导也好

最后R1等于R2就等于R

因为你看 一个幂级数

我先经过一项逐项积分

变成一个新的收敛半径

我再逐项积分之后

再逐项求导是不是就变回来了

所以既然是R1也大于等于R

R2也大于等于R

最后你看 一个幂级数

逐项积分之后收敛半径变大了

然后呢 逐项积分之后再逐项求导

回来收敛半径又变大了

变了两次变大之后

又回到了收敛半径R本身

那只能说两次都没有变大

所以幂级数逐项求导逐项积分

随后构成的新的级数的收敛半径

仍然是原来幂级数的收敛半径

所以这就是我们要介绍的

幂级数的分析性质

我们知道幂级数有一个收敛半径

在收敛半径内部的任意一个闭区间上

都是一致收敛的

所以幂级数和函数是一个连续函数

它在收敛半径内部可以逐项求积分

它在收敛半径内部可以逐项求导数

而且可以求任意阶的导数

所以幂级数的和函数应该是

任意阶可导的函数

而每次做完这些操作

收敛半径都是不变的

好 我们来看一道例题

很简单的一个例题

收敛半径我们已经算过了

R是等于1的

收敛域是在[-1,1)

那么我们再来看一看

从(-1,1)收敛半径的内部

逐项求导可以知道

构成的Σn从1到正无穷x^n-1

那么这个幂级数 当然我们可以算一下

收敛半径仍然是等于1

逐项积分

构成一个新的幂级数

n从1到正无穷

这个新的幂级数(收敛半径)任然是等于1

所以原来那个幂级数收敛半径是1

逐项求导之后构成的幂级数收敛半径仍然是1

那么逐项积分之后收敛半径还是1

但是要注意收敛半径

收敛域的话是不是就都不一样了

原来的幂级数收敛域是[-1,1)

这是原来的幂级数

逐项求导之后

它的幂级数是(-1,1)

逐项积分之后

幂级数就是[-1,1]

你可以发现 在端点的性质可能发生改变

但是有一点是不变的

就是收敛半径的大小永远是一样