区间套定理与Bolzano定理在线视频

下面我们介绍一下

极限理论里面的一个很重要的结论

就是所谓的区间套定理

区间套定理也叫康托尔准则

区间套定理

首先我们先说一下什么叫区间套

区间套的定义是这样子的

也就是说我们假设

an bn是一个闭区间序列

所谓闭区间序列也是

一系列的闭区间

我给它编上号

按它的编号从小到大放在一起

就构成了一个闭区间序列

如果它满足这么两个条件

第一个条件是

an+1,bn+1包含在an,bn中

也就后一个闭区间

被前一个闭区间包含

第二个是

且bn减an这个极限值是等于0的

这个条件指的是

它的每一个区间的长度

构成了一个数列

这个数列是极限为0的

那么这个时候就是

则称这个闭区间序列是一个区间套

这是区间套的定义

有了这个区间套的定义之后

我们的区间套定理指的是这一个结论

也就是说

若这个闭区间序列an,bn是一个区间套

则存在唯一的实数ξ

满足就是说an小于等于ξ小于等于bn

实际上这个区间套定理

就告诉了我们一个数的存在性

也就是说存在唯一的一个实数

它应该是属于所有的闭区间

所以说用它介于an和bn之间来表示

所以在我们后面要碰到处理

找一个点满足什么性质的时候

实际上区间套就是个可用的结论

它就告诉我们存在这么一个点

满足这样的性质

接下来我们证一下这个区间套定理

实际上根据这个条件

因为这是一个区间套

我们马上就知道它的左端点构成的这个数列

应该是个单调上升而且有上界的数列

譬如说它都小于第一个区间的右端点

同时它的右端点构成的这个数列

一定是个单调下降且有下界的数列

那么根据我们前面介绍过的单调有界收敛定理

那么我们就知道这个数列它是有极限的

我们记成A

而这个数列也是有极限的

我们把它记成B

还有我们知道

这个数列这个极限应该是这个数列的上确界

而bn这个数列的极限应该是它的下确界

也就是说我们的an一定是小于等于A的

而我们的B一定是小于等于bn的

上确界下确界就出来了

另外一个因为我们知道an是小于bn的

根据数列极限的保号性

我们知道an的极限一定是小于等于bn的极限

所以说我们利用前面学过的东西

很容易就得到这个不等关系

有了这个不等关系之后我们自然就知道

B减A应该是大于等于0

小于等于bn减an

而这个区间套的第二个条件

就是说长度趋向于0

这个条件之后我们自然就得到了A等于B

这样我们就取ξ就等于A

当然它也等于B

那么ξ就是属于这个所有区间中的一个实数

而且从A和B相等这个证明我们知道

这样的ξ是唯一的

因为你随便再给一个满足这个条件的比如说η

我们知道很容易就证明ξ减η这个长度

因为它是在每一个闭区间里面

它要小于等于bn减an

而根据区间套的定义这个是趋向于0的

所以ξ跟η一定是相等的

这样我们就证明了这个区间套定理

有了区间套定理之后

接下来我们介绍一个例题

这个例题也是咱们实数理论里面很重要的一个结果

就是说我们利用区间套定理

来证明确界存在公理

就是利用区间套定理来证明一下确界存在定理

要证明这个结论

现在就是说

我们假设A是一个非空的实数集

而且A是有上界的

然后我们就把它上界记成M

在这个条件下我们利用区间套定理来证明

它是有上确界的

现在我们怎么处理这个事情

我们要先构造一个区间套

就是你构造什么样的区间套

我们就这样就是说

设b1是A的一个上界

然后a1不是A的上界

这我总能做得到的

因为它有上界所以说它当然有无穷多个上界

在这无穷多个上界里面

我们随便拿出一个来作b1

那就是b1找到了

a1不是它的上界这个我们更容易做到

比如说A如果有几个元素的时候

我们在里面取一个小的它就不是它的上界

也就是说第一个这个a1 b1

我们取到是没问题的

接下来我就令c1等于2分之一乘上（a1加上b1）

也就是取它的平均值

则当c1是A的上界时

我就取［a2，b2］这个区间就等于［a1，c1］

就这样取这样取完之后

a2当然还不是上界

b2这时候自然还是上界

就是如果c1不是集合A的上界

也就是否则我就取［a2，b2］等于［c1，b1］

也就是当c1不是集合A的上界时

我第二个区间就取成［c1，b1］

这样取完之后

我第二个区间的左端点仍然不是集合A的上界

而右端点还是它的上界

这个第二个区间取出来

我们就按照取第二个区间的方法

我就可以取出一个区间套来

这个区间套我们取的过程中就保证或者保持

它的左端点不是集合A的上界

而右端点总是集合A的上界

这样取完之后根据区间套定理

我们就知道就是这个存在一个实数

它应该是左端点和右端点这两个数列的极限

接下来我们就证明一下

这个实数ξ就是这个集合A的上确界

那要证明是它的上确界

一方面要证明它是上界

是上界应该是容易的

因为任给x属于A

我们有x是小于等于bn的

因为bn是集合A的上界

所以有了这个东西利用极限的保号性

我们自然知道x是小于等于bn的极限

所以ξ是上界这个就证出来了

接下来我们还应该说清楚

ξ是A的最小上界

也就是说它再小一点就不行了

好我们来说一下再小一点不行

也就是说我任给一个ε大于0

我要来说清楚ξ减掉ε它不是上界

因为这个ξ是这个数列｛an｝的极限

也是这个数列｛an｝的上确界

所以说根据它是｛an｝的上确界

我们知道它一定存在这个数列中的某一项

譬如说我用an0来表示

它要大于它的上确界减掉一个正数

这样一做的时候

因为这个an0本身并不是集合A的上界

ξ减掉ε比它还小

所以这样就推出了ξ减掉ε就不是A的上界

不是A的上界的意思也就是说至少你能找到

一个x0属于A比它来得大

这样我们就证明了

这个ξ确确实实是这个集合A的最小上界

也就是上确界

这样我们就利用区间套定理证明了确界存在定理

实际上在极限理论里面

我们经常有这么三个定理

一个就是确界存在定理

一个是单调有界收敛定理

一个是区间套定理

到现在为止我们相当于有

确界存在定理证明了单调有界收敛定理

利用单调有界收敛定理证明了区间套定理

而这个例题又用区间套定理

证明了确界存在定理

这说明这三个定理是等价的

好在介绍了区间套定理之后

我们就可以来介绍一下Bolzano定理了

Bolzano定理它说的是这个内容

也就是说如果数列｛an｝是有界

则存在一个子列是收敛的

所以说通俗地说就是有界数列必有收敛子列

因为我们知道

数列有界并不意味着它本身是收敛的

这个定理就是说尽管它本身可以不收敛

但是它一定存在收敛的子列

那我们接下来就利用区间套定理

给出这个定理的一个证明

这证明我们可以这样来考虑

说因为它是有界数列

不妨假设就是存在一个b1一个c1

使得就是an是大于b1小于c1的

实际上也就是我找到了一个闭区间

把这个数列中的所有项

都涵盖在这个闭区间里面

接下来我就要令d1等于2分一b1加上c1

也就我要取［b1，c1］这个闭区间的中点作为d1

若就是［b1,d1］这个闭区间

包含这个数列中｛an｝中的无穷多项

也就是说如果［b1，c1］

这个区间的左半部分

包含了这个数列中的无穷多项

我就取我们的［b2，c2］就等于［b1，d1］

也就我把这个取成第二个闭区间

否则也就是说如果这里面没有它的无穷多项

那么它的右半部分一定有它的无穷多项

也就否则我就取［b2，c2］等于［d1，c1］

实际上通过这个取法我们应该知道

我们这个区间主要是要取的

每一个区间里面都应该有这个数列中的无穷多项

那有了第二个区间之后

我按照这样的方法我就取第三个区间

取第四个区间

所以这样我就会得到一个区间套

这区间套左端点我用bn来表示

右端点用cn来表示

得到一个区间套之后

这个区间套它满足的性质是

每一个区间里面

都有原来这个数列｛an｝的无穷多项

根据区间套定理我们知道

存在一个ξ

使得这个ξ是这个区间套左端点｛bn｝的极限

也是这个区间套右端点｛cn｝的极限

那有了这个ξ之后我们来看看

怎么样来找数列｛an｝的一个子列使得它是收敛的

实际上在［b1，c1］里面

我们当然可以随便找出一个an1来

找出来an1之后我们接下来在［b2，c2］里面

因为这里面有数列的无穷多项

那我当然可以在数列的第n1项后面

再找一项出来

所以这样我就可以再找一个an2

我能保证这个就n2是大于n1的

类似地我把第二项找完之后

因为我们这个区间里面

也就是［b3，c3］这个区间里面

有｛an｝的无穷多项

当然在这个｛an｝数列的第n2项后面

自然还有无穷多项在这里面

所以说我能找到一个an3

这个是在这里面同时n3是一定大于n2的

那这样我可以一直找下去

我就能找到ank它是属于［bk，ck］的

这就是我们要找的那个子列

因为它在这里面

所以说ank是小于等于ck大于等于bk的

那刚才我们说了根据区间套定理

这个是收敛到ξ的

这个也是收敛到ξ的

再根据前面我们介绍过的夹逼定理

我们自然知道中间这个数列的极限也是ξ

这样我们就证明了

对一个有界数列来说确确实实是存在一个子列

它是收敛的

这是有界数列必有收敛子列这个定理的证明

关于这个Bolzano定理是我们微积分里面

很重要的一个结果

在我们讨论连续函数有关性质的时候

我们经常会用到这个结论

接下来我们再做一个例题

这个例题是这样子的

如果数列｛an｝｛bn｝是两个有界列

那问一问我们能不能找到一个共同的下标集

使得｛ank｝与｛bnk｝它都是收敛的

如果我们利用Bolzano定理

｛an｝是有界的

我们自然可以找到它的一个收敛子列

｛bn｝也是有界的

我们仍然可以找到它的一个收敛子列

但是如果分别对｛an｝和｛bn｝

用Bolzano定理的时候

我们不能保证这个下标集是一样的

那么我们为了保证这个下标集是一样的

我们该怎么用Bolzano定理

实际上我们用的时候

因为｛an｝是有界

所以根据Bolzano定理

我们能找到它的一个收敛子列

我这个下标集用n一杠k来表示

它是收敛的

又这个｛bn｝是有界的

特别的它的子列也就是｛bn一杠k｝也是有界的

由于这个是有界的

我们对这个｛bn一杠k｝用Bolzano定理

我们就知道它存在一个收敛的子列

这个子列下标集我用nk来表示

它是收敛的

因为这个｛bnk｝这个是收敛的

那么我们来看一下｛ank｝是什么

｛ank｝应该是这个收敛数列的一个子列

因为它是在这个下标集里面又取了一个下标集

而我们前面说过了

如果这个数列收敛的时候

它的任何一个子列也是收敛的

所以说由于这个东西

它是这个数列的一个子列

且这个数列是收敛的

我们就推出了这个数列也是收敛的

那到此我们就证明了确确实实是

存在这么一个共同的下标集

不仅使得｛ank｝是收敛的

同时｛bnk｝也是收敛的

实际上这个例题的处理方法

也是在我们处理一些问题时

你怎么样去用有关的结论去处理一个具体的问题

并不是说我直接把有关的结论套用到

相应的数列或相应的函数上去

一定要注意它们就是在用的时候

怎么样把它们联系起来

这个主要就是说

先从有界出发得到一个收敛子列

再利用有界列它的子列收敛

再得到另外一个收敛子列

应该是有一个递进的关系