函数极限的概念在线视频

前面我们把有关数列极限的内容介绍了一下

接下来我们把数列极限的概念

我们推广到函数极限

在数列极限

推广到函数极限时

请大家注意

我们函数极限讨论的问题是什么

我们函数极限讨论的问题是说

当自变量x在某种情况下变化时

它对应的函数值如何变化

相对于数列来说

函数的自变量的变化情况

应该更为丰富一些

我们可以有这样的变化

也就是x趋向于x0

指的是x到x0的距离趋向于0

当然我们还可以说

有这样的变化 加一个上标正号

我们就说x是大于x0趋向于x0

这个也就是x在x0的右侧趋向于x0

还有 x趋向于x0负 自然指的是

x小于x0趋向于x0

这是在x趋向于一个固定点时它的变化情况

除此之外我们还有x趋向无穷

这个指的是x它的绝对值趋向于正无穷

或者说x这个点到原点的距离 趋向于正无穷

当然我们也可以说

x趋向于正无穷

这指的是x沿着x轴的正向趋向于无穷

x趋向于负无穷

这自然指的是

x沿着x轴的负向趋向于无穷

也就是说在讨论函数极限时

我们一定要注意

我们说的极限过程是什么

接下来我们就一一地解释一下

这些极限的定义

这是我们第四节的内容

就是函数极限

主要讲它的概念

第一个我们就先强调一下

x趋向于一个确定点时的情况

这个地方我们先直接给出一个定义

这个定义是这样子的

我们就假设函数f(x)在x0

它的一个去心邻域上有定义

或者说在x0附近有定义

然后A是一个实数

如果我们有下面这些性质

也就是任给ε大于0

我能找到一个δ大于0

就是当x到x0的距离不超过δ

也不等于0时

我们就有f(x)减掉A的绝对值小于ε成立

如果是这样子的时候

我们就说这个A

是这个函数f(x)在x趋向于x0时的极限

然后记作limx趋向于x0f(x)的极限是A

这时候就是说

我们用严格的数学语言

来描述什么叫x趋向于x0时

f(x)的极限是A

实际上我们前面介绍过数列的极限

你可以把它与数列极限联系起来理解

直观地讲就是说

当x趋向于x0时

它对应的函数值f(x)

是可以充分接近这个常数A的

而且可以无限接近

因为就是说数列极限介绍过了

在这儿我们就不作展开了

但是在这里需要给大家强调的一点是

就是在这个地方我们说

x到x0的距离是不等于0的

言外之意就是说

函数在一点地极限

与函数在这一点的函数值

是没有任何关系的

所以说我们在讨论在一点极限的时候

无论函数在这一点是否有定义

它的函数值趋于什么样的值

都不会影响到

我们讨论函数在这一点的极限情况

这一点请大家一定要注意

这是关于函数极限的定义

接下来我们可以通过两个简单的例题

来说一下这个极限到底是怎么回事

譬如说我考虑x趋向于1时

x的平方的极限

我来证明它是等于1的

证明它等于1

也就是说

你要证明

当x减掉1的绝对值充分小时

x平方减1的绝对值也充分小

那我们看一下

我们先分析一下x平方减1的绝对值

我当然可以写成是

x加1的绝对值乘上x减1的绝对值

那在这里面

x减1的绝对值

我知道表示的是x到1的距离

它当然可以充分小

那这个x加1的绝对值怎么办

实际上想到我们考虑的是1这一点的极限

我们只关心的是

在1这一点附近它的函数值

所以说我们做的时候

就是说一上来就可以这样写一下

不妨设我考虑在

譬如说x就属于0到2

也就是说我只考虑一个

包含着1这一点的一个小范围

然后这个时候就说

由这个东西等它

这时候我们就可以把这个给放大

放大到这是3倍的x减1的绝对值

到了这个时候

然后 接下来

我就说什么呢

解3倍的x减1的绝对值小于ε

我自然就得到

就是x减1的绝对值小于三分之ε就可以了

写到这儿之后

基本上这个证明中

需要的东西已经有了

那如果我把这个证明

完整地写出来怎么写

第一句话

我还是要的

不妨设x就属于0到2这个范围

那接下来我应该接到这儿来

说对任意的ε大于0

就是由这个东西小于ε得

得到什么呢 得到这个东西

接下来我就取我的δ就等于ε/3

那么则当x减1的绝对值小于δ时

我们的x方减1的绝对值自然是小于ε

当然这个地方我还是要加上

这个距离不等于0

也就是x减1的绝对值应该是大于0的

这样就给出了一个完整的证明

我想这是这个例题

接下来我们看另外一个例题

也就是证明一下x趋向于0

cos(x)极限是1

我想跟刚才一样

我们主要就是把

这个证明的过程分析一下

譬如说我们要证什么

1减cos(x)这个当然是大于等于0的

然后我们怎么样把x到0的距离

与这个差联系起来

实际上这个地方我们就用一下

一个三角关系式

实际上就是半角公式

或者叫倍角公式

1减cos(x)

可以写成2sin方二分之x

接下来我们再用一个关系式

也就是说

用一个sin(x)绝对值小于x绝对值

所以说这个地方就小于等于

2乘上二分之x的平方,应该是这样

这个最后

我们写成二分之一倍的x平方

实际上写到这儿

我们就把这个差

与x到原点的距离联系起来了

那要是把这个证明写出来

你可以这样说

任给ε大于0

有这个1减cos(x)大于等于0

小于等于二分之一x方

我就知道

要使1减cos(x)这个绝对值小于ε

只要使二分之一的x方小于ε就可以了

然后在这里面我就取我的δ

就是说这里面大家一解

|x|是小于根下(2ε)的

所以就取δ等于根下(2ε)

则当|x|小于δ时

当然可以写上大于0

这时候我就有1减cos(x)的绝对值小于ε

有了这一步也就证明了

这个极限等式

我们在讨论函数在一点的极限问题时

有时候会碰到一些分段函数

在分段点的极限问题

也会处理一些

就是在定义域区间端点的极限问题

而这个时候

无论是在分段点的情况

还是在定义域区间端点的情况

我们考虑的时候

函数的表达式在这些点的左右是不一样的

所以说这个时候

我们就有必要讨论

所谓的左极限和右极限的问题

那什么叫左极限

由于前面极限已经给出了

所以左右极限我们直接就写一个表达式

说x大于x0趋向于x0时

它的极限就叫它的右极限

而x小于x0趋向于x0时

它的极限就叫左极限

所以说这是所谓的右极限

这是左极限

那大家当然可以仿照前面

在一点极限的定义

严格地把什么叫A是它的右极限

B是它的左极限给表述清楚

在这儿我就给大家一起回忆一下就行了

就是说如果对任给的ε大于0

我总能找到一个δ大于0

当x属于x0到x0+δ这个范围时

那么f(x)减A的绝对值小于ε成立

那就说A是它的右极限

左极限是类似地这样给出

关于左右极限的记号

除了我们在这里

极限过程里面

加一个上标正号

和一个上标负号之外

还可以这样表示

说f(x0+0)

大家见到这个记号

这表示的应该就是

函数在x0这一点的右极限

而类似地说 f(x0-0)

这个表示的应该是它的左极限

我想这是关于左右极限的问题

有了极限和左右极限的关系之后

我们很容易就会得到这么一个结论

这个结论就是给的

极限和左右极限的关系

也就是函数在一点

它的极限等于A

它的充分必要条件是

它在这一点的左极限等于A

同时它在这一点的右极限也等于A

所以这是我们判断函数在一点

极限是否存在的根据

说如果函数在这一点

它的左右两侧都有定义

问函数在这一点

极限是否存在

你就看看它的左右极限

是不是同时存在

而且相等就可以了

然后接下来我们对这个定理

给一个简短的证明

这个证明

因为它证的是一个等价性

所以说我们也是要从两个方向证明必要性

必要性条件就是左边的

也就是任给ε大于0

因为我们这个极限是A

x趋向于x0时f(x)的极限是A

所以我们一定能找到一个δ大于0

就是当x到x0的距离

不超过δ也不等于0时

我们就有f(x)减A的绝对值小于ε

有了上面这个不等式

这就是说无论这个x

是在x0到x0+δ这个开区间内

还是x在x0-δ到x0这个开区间内

我们最后这个不等式

总是成立的

那也就是说

这个区间里面

这个不等式成立

那就说明它的右极限是A

而在这个区间里面

这个不等式成立

就说明它的左极限是A

所以说这个必要性

也就是我们重述了一下

极限和左右极限的定义

接下来我们说

它的充分性怎么证明

充分性是这样子的

任给ε大于0

因为它的左极限f(x0-0)等于A

然后右极限f(x0+0)等于A

所以根据左极限的定义

我们会找到一个δ1大于0

根据右极限的定义

我们找到一个δ2大于0

使得当x属于x0-δ1到x0时

这个时候 我们有这个不等式

f(x)减掉A的绝对值小于ε成立

根据右极限的定义

当x属于x0到x0+δ2时

我们这个不等式也是成立的

那有了这两个开区间

大家知道我们极限定义里面的那个δ

就可以找出来了

这是δ2

然后我就取我的δ就等于

这两个δ里面那个小的

这样取完之后 我们就知道

只要x满足x减x0的绝对值小于δ大于0

那么这个x就必须要么在这里面

要么在这里面

但是无论哪一个里面

我们这个不等式总是成立的

这样我们回过头来看一下

是不是就是证明了

任给ε大于0存在一个δ大于0

只要这个不等式成立

我们这个不等式就成立

这正好是函数在一点极限的定义

这是我们极限与左右极限的关系

你譬如说我们这样的函数

f(x)等于x加1这个是在x大于等于0时

x减1这个是在x小于0时

那么x等于0就是它的分段点

对这个函数来说

如果大家考虑

它在0这一点的右极限

就要考虑x+1这个表达式

所以这个函数在0这一点的右极限

应该是等于1的

我们如果考虑它在0这一点的左极限

应该是考虑x-1这个表达式

所以说这个函数在0这一点的左极限

应该是等于-1的

当然如果大家问

说这个函数在0这一点有没有极限

当然是没有极限的

原因就是说

尽管它左右极限都存在

但它的值是不相等的

再譬如说我们这个函数

就是f(x)等于arctan(x分之一)

这个函数在0是没有定义的

但是这并不妨碍

我们讨论它在0这一点的极限情况

这个函数要考虑0这一点的右极限的时候

因为x是大于0趋向于0的

x分之一是趋向于正无穷

所以说这个反正切函数

应该是趋向于π/2的

也就是说这个函数在0这一点的右极限

应该是等于二分之π

类似地如果x小于趋向于0

x分之一趋向于负无穷

那么这个反正切函数

这时候它应该是趋向于负二分之π的

也就是它的左极限应该是负二分之π

对这个函数来说

我们仍然能够得到

它在0这一点的极限不存在的结果

理由就是尽管左极限和右极限都存在

但是它们的值是不相等的

我想这是关于函数在一点极限的情况

类似地我们可以看一下

就是x趋向于无穷时

函数的极限情况

在这个地方大家自己看一下

什么叫x趋向于无穷时

f(x)的极限是A

实际上从数列极限

和前面咱们讨论的

函数在一点的极限出发

大家应该知道

这个反映的是这样的性质

也就是任给ε大于0

你可以找到一个N大于0

只要|x|大于N那么f(x)减掉A的绝对值小于ε

这是它的严格表述

再一个说什么叫

x趋向于正无穷时f(x)极限是A

当然指的是说

任给ε大于0

你能找到一个N大于0

只要x大于N

那么f(x)减掉A的绝对值小于ε

还有就是说什么叫x趋向于负无穷

它的极限是A

大家可以类似地给出它的定义

仿照极限与左右极限的关系

我们自然能够得到这个结论

这个结论也就是f(x)在x趋向于无穷时

极限等于A

它的充分必要条件是什么

充分必要条件是

f(x)在x趋向于正无穷的极限是A

同时f(x)在x趋向于负无穷时的极限也是A

所以说我们只要介绍了

函数在一点的极限情况之后

那么函数在x趋向于无穷和x趋向于正无穷

以及x趋向于负无穷时的极限情况

我们就应该能够接受了

你譬如说

对这个函数来说

就是f(x)等于x除上x的绝对值加1

这是一个简单的分式函数

里面带有绝对值运算

那我们可以看出来

这个函数如果x趋向于正无穷时

它的极限应该是1

而x趋向于负无穷时

它的极限应该是-1

那也就是说

这个函数

在x趋向于正无穷和负无穷时的极限

都是存在的

但因为它的极限值不相等

所以我们也可以说

这个函数在x趋向于无穷时的

极限是不存在的

我想这是关于函数极限概念的有关内容

实际上就是把我们前面

对数列极限介绍的有些东西

给它推广到了函数这个问题上来

实际上在这里面

特别需要强调的是

一个是需要大家注意

函数它自变量的变化过程

比那个数列的下标变化过程要丰富得多

另外一个要注意

讨论函数在一点极限的时候

它是与那一点的函数值没有任何关系的