单调有界收敛定理在线视频

好下面我们来介绍我们常用的

判断数列极限存在的第二个充分条件

也就是单调有界收敛定理

单调有界收敛定理

有时候也叫魏尔斯特拉斯准则

因为它是由19世纪的德国数学家

魏尔斯特拉斯给出的

单调有界收敛定理的具体内容

它是这样说的也就是说

如果一个数列{an}是单增的

而且是有上界的

则这个极限是存在的

或者说如果一个数列

它是单减的同时它又是有下界的

那么它也是收敛的

也就是说它的极限也是存在的

那我们就只来处理这种情况

关于单调递减有下界极限存在

与单调递增有上界极限存在

它的证明过程是类似的

所以我们只说这一个

接下来我们就先对这个定理作一个证明

这个证明是这样说的

因为它是有上界的

根据我们前面介绍的确界存在定理

有上界它就有上确界

所以说我们写的时候就是说

因为这个数列{an}有上界

所以有上确界

也就是有这么一个数

即存在一个数M它满足这个东西

满足an是小于等于M的

因为它是上确界

同时对任意ε大于0

我又是可以写成这个东西

任给ε大于0

我能找到一个an

或者我用an0来表示

使得这个M满足这个东西

这就是说因为M是它的上确界

当然右边不等号是非常好理解的

同时M又是最小的上界

所以再小一点它就不是上界了

所以我们不是上界的时候

肯定在这个数列里面至少能找到一项

使得它比它来得大

这实际上就是我们前面介绍的

数集上确界的等价定义

接下来以后大家看

我们除了有上界这个条件之外

还有个条件叫单增

就是又这个数列{an}是单增的

所以当这个n大于n0时我们有

有什么呢它应该是an大于等于an0

但它无论多大它总不能超过它的上确界

所以它应该小于等于M

而an0呢又是大于M减去ε的

我想写到这儿

我们回过头来看

我们整个证明过程

是不是证明了这么一件事情

任给ε大于0

我找到一个n0

只要n大于n0我就有

an小于等于M大于M减去ε

这样的时候也就是

正好证明了这个{an}的极限就等于M

所以说在单调递增且有上界的条件下

实际上我们不仅仅知道它的极限存在

而且我们还知道它的极限值不是别的

而是这个数列的上确界

所以这个证明呢就用了

上确界的概念和极限定义

以及单调性这个概念

这样我们就把什么呢

把单调有界收敛定理给出来了

那当然单调有界收敛定理

实际上在讨论数列极限存在性的问题里面

是比较常用的

尤其是当我们不知道数列的通项表达式

但是知道数列它是由递推关系给出的时候

这个时候利用这个定理

可能要比用其他的方法

来得更简单

同时有了单调有界收敛定理之后

我们可以得到

我们极限运算里面

一个很重要的结果

这就是我们要介绍的第一个例题

也就是我们来证一证

就是这个数列的极限是存在的

这个数列的极限存在

那这个数列我们要证明它极限存在

现在根据单调有界收敛定理

我只要证明两件事就行了

如果我能证明它是单调递增的

我就再说它有上界

如果我证明它是单调递减的

我只要再说它有下界就可以了

那对这个数列来说

我们来看一看

它是单调递增还是单调递减的

所以说我们的证明过程

我就记an等于1加n分之一的n次方

当然这时候我为了看得更清楚点

我给它作展开

展开就是二项式定理

是1加上1再加上2的阶乘分之n乘n减1

这边再乘上n方分之一

下面当然是再加上3的阶乘分之一

这地方是一个

n乘n减1

n减2

然后这边是n的三次方分之一

这样一直加

加到最后一项

我们写到这儿来

加到最后一项

应该是n的阶乘分之一

上面应该是n乘上n减1

然后一直到n减掉n减1

这面是一个n的n次方分之一

为了把它的规律看出来

所以说我们不做任何化简

就把它的展开的一般形式放在这儿

接下来我们处理一下

前面两个我们没什么好处理的

就写到这儿

第三项我们把n的平方分之一

跟这个作一下乘积

作一下乘积之后可以写成

2的阶乘分之一

这边是1乘上1减掉n分之一

而第四项这一项我们把n的三次方分之一

也跟它作一下乘积

作一下乘积之后，大家写出来应该是

3的阶乘分之一乘上这边是1减掉n分之一

再一个是乘上1减掉n分之二

实际上按照这个处理方法

我们最后一项也能处理

也就是把n的n次方分之一跟上面作乘积

所以这应该是

n的阶乘分之一

这面是1乘上1减去n分之一

再乘上1减去n分之二

一直乘到

乘到1减掉n分之n减1

这样处理完之后

我们可以照样去处理第n+1项

第n+1项写出来肯定是这个样子

前两项都是1

然后接下来当然

还是2的阶乘分之一

这边应该是1乘上1减掉n加1分之一

这是第三项

第四项当然处理过来应该是

3的阶乘分之一乘上1乘上1减掉n加1分之一

再乘上1减掉n加1分之二

然后一直往下写

写的时候因为这个的展开式里面

应该比这个展开式里面是多一项的

多出来的那一项肯定是正的

另外前面它的展开式里面的这n+1项

跟后面这个展开式里的前n+1项作比的时候

大家看一下

第一项第二项是一样的

实际上从第三项开始

因为这个括号要比这个括号来得大

所以从第三项开始

下面的项就比前面的要来得大

当然第四项类似地

这一项自然要比这一项来得大

那分析了这一些，大家就想

下面这n+2项里面

前两项跟上面前两项是一样的

从第三项到第n+1项都比它大

最后还多出一项大于0的项

所以说分析到这儿

大家就知道我们马上就得到了这个结果

这个结果就说明

这个数列是单调递增的

那如果是单调递增的时候

我们要证明它的极限存在

那只要证明它有上界就行了

当然

如果说它没有上界的时候

它极限也肯定不存在

所以说呢这个时候在

单调递增这个条件

我们得到了之后

实际上这个极限存在与否

就与它有没有上界等价了

那有没有上界

我们来处理一下

这个时候我们下面这个就不用它了

我们只用上面这个来处理

上面这个大家看一下

an等于1加1

这个是加到1乘2分之一2的阶乘分之一

然后把后面这个给它放大

1减n分之一我给它放大到1

就是这个地方我不是写等号

我应该就放大

就是说严格小于号

第四项我也是这样来处理

我把后面这些小于1的东西都放大到1

这个3的阶乘我给它写成

是一个2乘3分之一

那后面应该是

第五项我把4的阶乘后面

乘的那些小于1的项都放大到1

而4的阶乘我给它放大到3乘4

也就是说4的阶乘当然是大于3乘4的

把分母变小整个分数就变大

这样一直到最后一项

我们给它放大到n减1乘上n分之一

这样处理完之后

实际上我们就可以知道

这种形式的东西通过拆项来处理

也就是说这个写成1减2分之一

这个写成2分之一

而类似地最后这一项写成

n减掉1分之一减n分之一

这样我们一求和的时候

中间有些项一正一负正好消掉

所以我们最后的结果是

应该是一个2

这边剩下一个1

那边还剩下一个减n分之一

这样我们就知道

这个数列的通项应该是小于3的

那证明了它是单调递增

而且又说明它是有上界

那么根据单调有界收敛定理

我们自然就知道它的极限存在

实际上在微积分里面

我们这个极限值

就是说这就是我们平时用的那个无理数e

这就可以作为无理数e的一个定义

通过刚才的证明过程我们知道

它的通项应该是大于2小于3的

根据极限的保号性

我们自然也知道

它的极限值应该是介于2和3之间的一个数

当然这就是那个2.7几那个无理数

接下来我们来看一下第二个例题

第二个例题是这个题目

就是说an等于1加上2分之一加3分之一

一直加到n分之一减掉ln(n)

就是说我们来看

对这个数列来说

它的极限是否存在

当然现在尽管它有一个通项表达式

但是就是说这个通项表达式

也是一个用无穷多项加起来的这个东西

所以说我们没法用什么四则运算等等去讨论它

现在我们看看能不能用单调有界收敛定理去讨论

但讨论这个问题的单调性的时候

我们要用到一个结论

这个结论是关于对数的一个简单不等式

就是说对于对数函数来说

在x大于0时也就是

x除上1加x应该是小于ln(1+x)的

而ln(1+x)是小于x

这个是在x大于0时都对的一个关系式

实际上这是对数的一个基本不等式

当然如果大家不太清楚的时候

这个不等式在我们介绍了导数及其应用之后

我们可以利用导数它的正负号

与函数单调性的关系

很容易得到这个不等式

我们现在先拿过来用一下

如果有了这个不等式之后

我们来看一下

我们的a(n+1)减掉an

也就是等于(1+n)分之一

因为a(n+1)和an中的这些项

应该正好减掉了

剩下的是a(n+1)中的(n+1)分之一

所以写到这儿

再加上我们这儿有一个

对不起这是减掉(1+n)的自然对数

减掉它也就是再加上ln(n)

这个地方我们为了用上这个不等式

作一个变形后边这个变形是简单的

因为后边这个变形就是减掉ln(1+1/n)

这用的是什么呢

就是对数的运算性质

我们把这个负号提出来之后

两个对数的差

应该就等于这两个真数之商的对数

而前面这个我们为了用上这个关系式

我们给它变成1/n

所以这个应该写成(1/n)(1+1/n)

也就是我把这个n提出去之后放到分母上

写成这个样子

这样的时候利用这个关系

我们知道这个应该是小于0的

这样我们就证明了这个数列本身

应该是单调递减的

那我们为了说明它极限是否存在

这时候就看一看

它是不是有下界就行了

它是不是有下界

那我们回到这个通项上

这个地方是1加上2分之一

加上3分之一

一直加到n之一减掉ln(n)

再用一下我们这个对数不等式

里面的这个右边不等号

也就是1大于ln(1+1)

而1/2大于ln(1+1/2)

那当然1/3大于ln(1+1/3)

一直到1/n大于ln(1+1/n)

最后还有一个减掉ln(n)

这样写出来之后

我们来看一下

这些东西怎么处理

这是ln(2)这边是ln(3/2)

这两个一写利用对数的运算性质

也就是两个对数相加

等于它们真数乘积的对数

所以这两个一加起来就是ln(3)

然后这个是ln(4/3)

所以这两个一加

应该是ln(4)

这样一做的时候大家看一下

也就是我们利用对数的运算性质

前面这些应该就是ln(n+1)

后面减掉一个ln(n)

就是这个自然对数

它应该是单调递增的

所以说我们知道这个差应该是大于0的

这样我们就证明了

这个数列一方面是单调递减的

同时这个数列应该是有下界的

那么单调递减有下界

所以说这个极限应该是存在的

也就是n趋向于无穷时

an的极限应该是存在的

实际上这个极限值

我们一般就把它称作C

C就是欧拉数

也就是以18世纪

瑞士数学家的名字命名的欧拉数

就是这个极限的值

应该是0.7几

我想这是第二个例子

也是用单调有界收敛定理说的

最后一个例子，我们来看一下

就是说我们利用单调有界收敛定理

来说一下这个数列

它是不收敛的

这个数列就是说它单调递增

通过它的通项大家就知道

它显然是单调递增的

因为a(n+1)减掉an等于(1+n)分之一

当然是大于0的

那现在我们说要证明它是不收敛的

也就是说要说清楚它没有上界就可以了

而这个东西我们就利用

刚才那个对数不等式

1加上2分之一加上3分之一

一直加到n分之一

刚才我们说了

它应该是大于ln(1+1)加上ln(1+1/2)

一直加到1/n是大于ln(1+1/n)

那后面这个表达式

我们利用对数的运算性质

也就是对数之和应该等于真数乘积的对数

这个应该是等于ln(n+1)

这个ln(n+1)大家知道

当n趋向于无穷时

它应该是个正无穷大量

这说明这个数列它是不可能有上界的

它没有上界所以它一定是发散的

当然我们也顺便说了

这应该是个正无穷大量

我想这是关于我们利用单调有界收敛定理

说的三个例题

这三个例题

第一个例题是我们微积分里面的

在极限运算里面

常用的一个很重要的极限结果

第二个实际上就是给出了

所谓的欧拉数

也是一个数列的极限

而第三个例子

我们更多地是强调了

在单调的前提下

数列是否收敛

应该与它有界与否是等价的

关于最后这个问题

给大家留一个练习

这个练习是这样子的

an等于一个k从1到nk的p次方分之一

这个p是大于0的

现在我们的问题是这样子的

问这个p的取值范围与这个数列的收敛性之间

到底是什么关系

结论我可以告诉大家

这个p大于0小于等于1它是发散的

这个p大于1它就是收敛的

你能不能给出证明