函数极限的四则运算与复合函数的极限在线视频

下面我们来介绍一下有关函数极限的运算问题

关于函数极限的运算

我们主要介绍一下它的四则运算

还有复合函数的极限运算

以及函数极限的夹逼定理

单调有界收敛定理

当然有了夹逼定理之后

我们给出了在极限运算中

常用的两个重要极限

这是我们这一节要介绍的内容

我们先看一下四则运算

因为在数列极限部分

我们已经介绍过数列极限的四则运算

实际上函数极限的四则运算

与数列极限的四则运算是完全一样的

所以我们来复习一下原来给出的结论

当然现在是以函数极限的形式给出的

也就是若在一个极限过程下f（x）的极限是A

然后在同一个极限过程下g（x）极限是B

则我们有这个结论

x趋向x0时 f（x）加上g（x）

它的极限是存在的

而且它的极限值就等于

f（x）的极限值加上g（x）的极限值

第二个也就是说在x趋向于x0时

f（x）乘上g（x）的极限也是存在的

而且它的极限值就等于

f（x）的极限值再乘上g（x）的极限值

在g（x）的极限不等于0的前提下

那么在x趋向于x0时 f（x）除上g（x）

它的极限也是存在的

它的极限值就等于f（x）的极限值

除上g（x）的极限值

这个是需要B不等于0的这个条件的

这个大家看起来在叙述的过程中

我只是在这个地方强调了一下

说在同一个极限过程中

因为我们前面说过

函数因为它自变量的变化过程是非常丰富的

所以你在强调这些极限之间的关系的时候

一定要注意都是在同一个极限过程中

除此之外它就与数列极限的四则运算完全一样了

所以说关于它的证明以及它的注意事项

我们在这就不再强调了

这是第一个就是关于四则运算

有了四则运算之后我们可以做两个简单的题目

譬如说x趋向于正无穷时

我们五倍的a的x次方减掉三倍的b的x次方

再除一个五倍的a的x次方

再加上三倍的b的x次方

当然ab都是大于0的

a大于0 b大于0

我们求这个极限

当然大家注意我们做这个极限的时候

这里面应该除了极限变量x之外

a和b的大小关系

应该是对我们这个结果有影响的

所以我们做这个问题的时候

我们就分这么几种情况

譬如说最简单的就是a等于b的情况

如果ab相等的时候

当然大家知道这个就是个常数了

这是这个地方ab相等它就是个常数

上面就是一个二倍的a的x次方

下面应该是个八倍的a的x次方

所以这个结果自然应该最后是

2除上8 也就是等于四分之一

这是这个东西

接下来我们就是说a大于b

当然它是大于0的

这个问题我们处理成这个样子

也就是x趋向于正无穷时

我们上下同除于a的x次方

这时候应该是5减掉三倍的a分之b的x次方

再除上5加上三倍的a分之b的x次方

因为在a大于b都大于0的前提下

a分之b是大于0小于1的

所以说在x趋向于正无穷时

我们a分之b的x次方是趋向于0的

这样分子的极限应该是趋向于5减掉3乘0

分母的极限应该是趋向于5加上3乘0

这样你就知道上面是5下面是5

所以结果应该是等于1的

当然还有一种情况

也就是我们的b大于a时

这时候我们上下同给它除以b的x次方

给它处理成这个样子

也就是5倍的b分之ax次方减掉3再除上

5倍的b分之ax次方再加上3

跟刚才分析的理由一样

这个时候b分之a的x次方

在x趋向正无穷时它是趋向于0的

所以说这个分子的极限

应该是趋向于5乘上0减掉3

也就是－3

而分母的极限应该是趋向于5乘上0加上3

也就是3

所以应该是－3除上3等－1

这样我们就根据这个ab的相互关系

讨论了它最后极限值的情况

而这是一个利用四则运算处理的极限运算问题

再譬如说我们这个问题

就是x趋向于2

上面是x的平方加上x减掉6

底下应该是根下x减掉根下4减x

就是这个极限咱们看一下

在x趋向于2时分子是趋向于4加2减6是0

分母是趋向于根下2再减掉根下2还是0

那当然它分母的极限是0

我们就不能直接用除法运算

但是大家能够想清楚

为什么分子分母在x趋向2时都趋向0

这说明无论是分子还是分母

都应该有趋向于0的因子

也就是都应该有x减2这个因子

那我们看一下能不能把这个因子找出来

x趋向于2

上面这一个我们可以给它写成这个样子

写成x减2乘上x加3

所以说上面这一个做一个简单的因式分解

就把趋向于0的因子找出来了

而分母上这个我们做一个简单的有理化

就是乘上根下x加上根下4减x

这样一做的时候

它应该是x减掉括号里面4减x

这个地方当然要乘上一个根下x

再加上根下4减x

就做了一个有理化

而这个分母大家看一下

相当于是两倍x减4

两倍x减4当然就是二倍的括号里面x减2

因为在极限过程中x减2是不会等0的

所以我们可以把这个x减2给它消掉

消掉完之后就处理这个极限

就是x趋向于2

底下应该就是个2

上面就是x加3

这面再乘上根下x加上根下4减x

那到了这一步x趋向2时

分子就趋向于这个是趋向于5的

这个是根下2再加根下2是二倍的根下2

所以分子应该趋向于十倍的根下2

再除上2

所以最后的结果应该就是五倍的根下2

这也是我们在极限运算时

经常需要处理的一个问题

也就是说如果一个分式函数

在你的过程下分子分母都趋向于0了

如果你能够把分子分母中

趋向于0的因子找出来

给它消掉之后

就有可能转化成能直接用四则运算的问题

我想这是关于函数极限的四则运算

下面我们来介绍一下复合函数的极限运算

我们给出一个定理

这定理是这样说的

若x趋向于x0时 g（x）的极限是u0

然后u趋向于u0时 f（u）的极限是A

且x不等于x0时 g（x）这个函数值不会等于u0

则我们这个复合函数f（g（x））

在x趋向于x0时的极限

应该是等A的

关于复合函数极限这个结论

实际大家掌握也并不困难

因为咱们复合函数求值的时候

就是由内及外求

所以大家看这个极限过程

肯定应该是这样看的

说当x趋向于x0时

我要看一看g（x）趋向于什么

好 第一个条件说g（x）是趋向于u0的

接下来你就看f（u）在u趋向于u0时

它趋向于什么

第二个条件说它趋向于A

这样直接就把这个结论看出来了

当然这个地方我们加的这个条件

这个条件在我们平时极限运算的问题里面

倒不是经常碰到

但是作为一个数学定理来说

这个条件是一定要加的

原因是这样子的

因为我们最后尽管考虑的是x趋向x0

x不等于x0的这个过程

但是如果没有这个条件的时候

就有可能会出现在x趋向x0时

某一个x对应的g（x）等于u0了

等于u0的时候我们这个条件里面

它只给了f（u）在u0点的极限是什么

它并没有告诉我们

f这个函数在u0这点有没有定义

所以说你如果不加这个条件的时候

就可能在最后的复合函数极限运算过程中

用到这个条件没有给出的东西

另外一个

一会我们可以通过两个具体的函数来强调一下

这个条件是不能省掉的

我们先对这个定理给出一个证明

这证明想想我们要证什么

我们要证任给ε大于0

能否找到一个δ大于0

只要x减x0的绝对值小于δ大于0

那么f（g（x））减A的绝对值

是不是就可以小于ε

就是说在写这个证明之前

大家一定要心中想清楚

我们要证的结论是什么

那接下来我们的已知条件是什么

已知条件我们应该是从外往内说

也就是说任给ε大于0

我们首先用上这个外层条件

就是u趋向于u0时

f（u）它极限是A

那因为这个东西

所以我们能找到一个δ1大于0

只要u减u0小于δ1大于0

我们就有f（u）减掉A小于ε

我想这是我们第二个条件告诉我们的结果

接下来大家看一下我们能不能使得

这个g（x）的值与u0的值接近到这个程度

能不能我们第一个条件是可以说

这个接近程度是可能的

也就是说因为

又因为就是我们第一个条件x趋向x0时

g（x）它极限是u0

所以对于刚才我们找出来的δ1大于0

我一定存在一个δ大于0

只要x到x0的距离小于δ大于0

我就能保证

g（x）减掉u0这个绝对值是小于δ1的

而且考虑到我们这个条件

在x不等于x0时 g（x）是不等于u0的

所以说这个绝对值不仅能小于δ1

我还能保证它同时大于0

这样出来之后那么大家看一下

这个g（x）它就落在了

以u0为中心半长是δ1的这么一个开区间内

那这时候当然它对应的f的函数值减掉A

这个绝对值就应该小于ε

也就是说g（x）已经落在了这个范围里面

所以它对应的函数值

自然应该满足这个不等式

写到这我们看一下我们需要的东西有没有

任给ε大于0我找到了一个δ大于0

只要x到x0的距离不超过δ且大于0时

我就有这个不等式

而这四个框框

框出来的东西

正好是我们这个极限等于A的定义

所以这样我们就证明了这个复合极限的结论

接下来我们举一个例子来说一下

为什么这个条件不能省掉

请大家看这两个函数

一个函数就是f（u）

譬如说在u不等于0时我取1

在u等于0时再把它函数值取成0

再一个函数是g（x）

我们给它取成如果x是有理数它的值就是x

如果x是无理数它的值就是0

那先看一下第一个函数

就是在u趋向于0时它的极限

因为除了u等于0这点之外

函数值都等于1

所以它的极限肯定是等于1的

我们再来看一下第二个函数

g（x）在x趋向于0时

无论它是以有理点的方式趋向于0

还是以无理点的方式趋向于0

它的函数值都应该是趋向于0的

也就是x趋向于0时它的极限应该等0

那接下来我们来看一下x趋向于0时

f（g（x））这个极限情况

如果按照刚才我们的分析

我们要看在x趋向于0时

g（x）趋向于什么

g（x）趋向于0

那么接下来再来看在u趋向于0时

f（u）趋向于什么

那f（u）趋向于1

所以你就写出来说等于1

那它是不是等于1

那我们看一下这个函数表达式是什么

这个函数是这样子的

大家看一下就是说只要x不是有理数

g（x）就都等0

g（x）都等0的时候

那么f（g（x））应该就等0

所以它的这个地方它在无理数时是等0的

然后接下来只要x是有理数

而且不等0的时候

那么g（x）就不等0

而g（x）不等0时 f（g（x））应该是等1的

所以这个呢

是x属于有理数但是x不等于0的情况

这样一写的时候我想大家应该看的很清楚

对这个复合函数来说x趋向于0时

如果它是以有理点的方式往0跑

它应该是趋向于1的

而如果它是以无理点的方式往0跑

它应该是趋向于0的

那么根据函数极限与数列极限的关系

我们在这个形式下是推出了

就是这个复合函数在x趋向于0时

这个极限是不存在的

那它不存在

自然就说明你上面这个等于1是错的

那为什么是错的

大家注意在这两个函数里面

实际上它就不满足x不等于0时

那个g（x）不等于0

在这里面因为x只要是无理数g（x）就都是0

而0是那个f（u）的极限点

所以说这个条件是不能省掉的

有了复合函数的极限之后

那大家看一下我们这个极限过程该等什么

f（x）的g（x）次方

这是所谓的幂指函数

作为一个思考问题留给大家

问题是这样子的

如果f（x）的极限是a大于0

g（x）的极限是b

你能不能证明一下

这个极限应该是a的b次方

当然结论是对的

就利用咱们前面介绍的四则运算

跟复合函数的极限就可以证明这个结果

这也是在咱们极限运算里面

碰到幂指函数极限时

我们常用的一个结论