高阶导数在线视频

好接下来我们来介绍一下导数部分的最后一个内容

就是有关函数的高阶导数

高阶导数无论是从概念还是从运算来说

都与一阶导数有关

所以说我们就把这部分内容放到我们最后的一节中的第二个问题

就是高阶导数

譬如说我们知道有了导数概念之后

我们知道速度关于时间的导数

就是距离关于时间的导数应该是物体的运动速度

然后接下来如果我们说要求这个运动物体的加速度怎么去求

实际上加速度a(t)应该是速度关于时间的导数

而速度关于时间的导数

也就是原来距离关于时间的导数我们再求导

那实际上这样就会碰到

距离关于时间的二阶导数的问题

再譬如说我们知道一阶导数

它的正负号最后是与函数的单调性有关的

也就是说如果从图上看

这两段曲线它函数关系它的一阶导数的正负号是一致的

应该都是大于0

但是我们为了刻画这两条曲线它那个不同的凹凸情况

也就是它的凸性的不同

那我们仅仅用一阶导数实际是解释不了的

这个时候我们也会用到函数的二阶导数的性质

也就是说高阶导数也是在我们处理一些

常见问题时需要用到的东西

那我们看一下高阶导数的概念是什么

高阶导数的概念是归纳性定义

也就是说如果我假设函数在一个区间上每一点导数都存在

那么它在每一点的导数当然是唯一的

这样我就得到了一个新的函数关系

对这个新的函数关系我们自然还可以问

它有没有导数

也就是我们要问一下

这个一阶导数它有没有导数

如果这个函数有导数

我们就把这个导数的导数称为原来函数的二阶导数

我们记作f两撇(x)

实际上也就是这个等号就是二阶导数的定义

类似的如果一个函数在一个区间上每一点二阶导数值都存在

那么我们又得到了一个新的函数关系

我自然还可以问二阶导数它的导数有没有

如果二阶导数的导数也是存在的

那么它的导数我们就称为原来函数的三阶导数

当然大家知道有了三阶导数之后你自然还有同样的问题

那就会引出四阶导数的概念

但是从记号上大家注意到了

如果我们仅仅用这个'来表示导数运算的时候

我想表示到三阶导数离我距离远的同学可能就看不清楚

到底这是几撇了

所以一般导数的表示是这样子的

说如果有了n－1阶导数之后

我的n阶导数应该就是n－1阶的导的导数

这时候我们加一个上标括号里面n来表示

是求n阶导那么它的定义是f的n－1阶导再求导

这样我们就给出了一般的n阶导数的概念

请注意这个表示是微积分里面专用的

也就是说你要表示n阶导数的时候

上标部分一定是一个括号里面一个正整数

如果漏掉括号那表示的是n次方

关于n阶导数的表示除了这个记号之外

我们有时候还这样表示

说d^n就是fdx^n

注意分子分母中这个n的位置的不同

这个也是表示n阶导数

如果用这个记号表示的时候

它就表示的是对它的n－1阶导再求导

当然为了体现它是x的函数

你可以在这个地方标上x

我想这样我们就利用归纳的想法

就从导数出发定义二阶导数定义三阶导数

所谓高阶导数指的是二阶和二阶以上的导数

我们都称为高阶导数

我想这样我们就有了高阶导数的定义

接下来我们来看一下高阶导数的运算

也就是怎么样求高阶导数

实际上因为高阶导数就是利用导数定义的

所以高阶导数的运算法则自然就是导数的运算法则

然后在这个地方有个特殊情况我们要说一下

就是说如果两个函数相乘我们来求它的n阶导数

就是这个地方我们有一个结论

这个结论是这样子的

你可以写成k从0到n

Cnk这就是从n个数里面拿出k个来的组合数

然后这面是f的k阶导

再乘上g(x)的n－k阶导

然后k从0到n取值加起来

也就是说两个函数相乘的n阶导数

它一共由n＋1项构成

每一项的系数是Cnk

然后这项的构成是f对x求k阶导

再乘上g(x)对x求n－k阶导

我想这个公式的右端这个形式

大家并不陌生

因为我们在中学学二项式定理的时候

我们曾经得到了这么一个公式

k从0到nCnka的k次方乘上b的n－k次方

也就是说我们只要把这个相应的方次变成相应的导数的阶数

这两个公式的右端是一样的

所以大家可以借助于二项式定理来记住

这个乘积函数n阶导数的计算公式

这个公式我们有一个专用的名字

这就是所谓的高阶导数运算里面的Leibniz公式

关于这个公式的证明感兴趣的同学可以在课下进行证明

它就用数学归纳法进行证明

主要用到了组合数的运算性质

在这我们就不再做证明了

但是在后面高阶导数运算时我们可以直接用这个结果

我想这是关于运算我们需要强调的一点

说如果两个函数做加法运算那求n阶导数等什么

我想你一想就能想出来

f(x)加上g(x)的n阶导数

自然应该是等于f(x)的n阶导数加上g(x)的n阶导数

这些我们都不再一一提到了

接下来在运算里面我们经常用的几个结论

也就是几个函数的n阶导数

这个是我们微积分里面常用的几个高阶导数公式

我们看是哪几个函数

第一个函数就是y等于a的x次方指数函数

大家想指数函数求导每求一次

在原有的基础上乘上一个因子

这因子就是a的自然对数

那么再求二阶导又出来一个

所以说你就知道我要是求n阶导自然出来n个因子

也就是lna括起来的n次方

这就是它的n阶导数的公式

接下来第二个例子

第二个例子就是说y等于1加x分之1

这是一个特殊的幂函数

也就是负一次方

那对这个函数来说我们求它的导数

一阶导应该等于负的1加x平方分之1

然后二阶导大家注意这是个简单的复合求导

也就等于－1乘上这负二次方负2

然后接下来变成了1+x的三次方在分母上

然后你如果觉得两个导数还看不出规律来

我们就再求一次

－1乘上－2 这是负三次方

所以再求导应该乘上－3

指数就是负四次方

所以放到分母上应该是四次方

我想求到三阶导数我们怎么样也能把它的变化规律看出来了

实际上我们可以归纳出它的n阶导数应该就等于

－1它的n次方

这面是1乘2乘3一直乘到n

底下是个1加x的n加1次方

归纳出来之后为了确保它是正确的

请大家用数学归纳法再证一下

在这个归纳假设承认的前提下

你来求它的n＋1阶导数是什么

当然很容易就会验证这个结论是对的

接下来我们看第三个函数

也就是y等于ln(1加x)

那么它的一阶导

y'等于1加x分之1

那大家看一下我们第二个函数

第二个函数正好是这个函数的一阶导数

那么我们第三个函数的n阶导

实际就变成了我们第二个函数的n－1阶导

那么根据前面我们得到的这个关系

我们自然知道这个函数的n阶导数

应该等于－1的n－1次方乘上n－1的阶乘

再除上分母上是1+x的n次方

我想这是第三个函数

接下来我们看第四个函数

第四个函数是y等于sinx是正弦函数

正弦函数我们的一阶导数大家知道是cosx

当然你可以求它的二阶导数

应该是负的sinx

但是这样做的时候就是说

它实际前面一方面是正弦余弦互相交换

同时正负号要互相交替的

那当然你要是仔细分析

即使这样我们照样还是可以把它的一般表达形式写的出来

只是写的时候不是太漂亮而已

利用三角函数的关系大家知道

cosx利用所谓的诱导公式

它应该就是sin(x加上二分之π)

那么如果sin(x加上二分之π)我们再求导的时候

用一个简单复合函数求导

它的导数应该是等于cos(x加上二分之π)

那我们再对这个东西用一个诱导公式

也就是sin(x加上二分之π加上二分之π)

也就是加上二倍的二分之π

这就是二阶导数

那按照就是说我们这个求的思路

大家知道我们很容易就会归纳出来

它的n阶导数应该是sin(x加上n倍的二分之π)

这样来表示正弦函数的n阶导数的时候

那么导数的阶数与我们后面加的二分之π的倍数之间的关系

就一目了然了

我想这是这个

最后一个函数我们经常会用到

y等于cosx的n阶导数

与y等于sinx的n阶导数的推导一样

我们一阶导应该是负的sinx

负的sinx利用诱导公式

它就是cos(x加上二分之π)

那么二阶导也就是对这个东西关于x求导

应该是负的sin(x加上二分之π)

我们再用一次诱导公式

就是cos(x加上二分之π加上二分之π)

也就是加上两倍的二分之π

所以我们最后归纳出来它的n阶导数

应该就是cos(x＋n倍的二分之π)

这是我们常用的五个函数的n阶导数

实际上不仅在这一章里面用

在整个微积分课程里面我们都会用到这五个简单函数的n阶导数

接下来我们介绍几个与高阶导数运算有关的例题

第一个例题也就是说如果我们知道

y等于x除上1加x平方

我们来求这个函数的高阶导数满足的递推关系

也就是要求它的n阶导数与n－1阶导数

或者与n－2阶导数等等之间的关系

那我们看这个问题怎么处理

实际我们在解这个问题时我们把这个分母乘过来

就变成1加x平方乘上y等于x

然后接下来我们求n阶导

只要n是大于等于2的时候

我们知道右端的导数应该就等0

而左端的导数我们给它理解成是两个因子的乘积

而其中一个因子是个二次多项式

那么根据Leibniz公式我们知道

左边求n阶导的时候最多出现三项

这三项分别是对y求n阶导 对这个因子不求导

还有一项是对y求n－1阶导 对这个因子求一阶导

再一项应该就是对y求n－2阶导

对这个因子要求二阶导

然后接下来其他的因子或其他的项里面

都有这个二次多项式因子的三阶和三阶以上的导数

它是等于0的

这样分析完之后我们两边求n阶导

这面也就得到了1＋x平方乘上y的n阶导

再加上一个Cn1

然后1加上x平方它的一阶导乘上y的n－1阶导再加上Cn2

然后这面是1加上x平方的两阶导

再乘上y的n－2阶导

其他的因为都是0我们就不再写了

这面应该等0

我们简单整理一下

这就是1加上x平方乘上y的n阶导

这面是一个加上一个两倍的nx y的n－1阶导

而这面应该是再加上一个n乘上n－1倍的y的n－2阶导

这面是等0

这就是我们要求的这个函数的高阶导数满足的递推关系

通过递推关系我们会发现它的n阶导数不仅与n－1阶导数有关

而且与n－2阶导数也有关

如果从递推公式的角度来讲

这应该是一个两步的递推公式

换句话说你要求n阶导数

必须要同时知道它前面比它低一阶和二阶的两个导数

也就是说我们做这个问题的时候

假设我们的函数表示成的是0阶导数

也就是说0阶导数就是不求导

然后我们需要还要求它的一阶导

一阶导大家自己算一下应该是分子的导数乘上分母

再减掉分子不动乘上分母的导数再除上分母的平方

所以这样也就是等于1减x平方除上1加上x平方括起来平方

所以作为一个递推公式我们补上0阶导一阶导

再写上这个东西

这就是一个完整的递推关系

这样我们就可以从递推关系得到二阶导

进而得到三阶导等等高阶导就得到了

我想这是这个问题

我们用的是高阶导数的Leibniz公式

接下来我们来看第二个例题

第二个例题就是y等于

这个地方就是

1加x乘上2加上3x分之1

我们求它的n阶导数

对这个东西因为分母是一个二次多项式

但是它已经能分解成两个一次因子乘积

我们一般的做法是说我们给它写成1加x分之A

加上2加3倍x分之B这样做一个拆项运算

拆项完之后无论是第一项还是第二项

在做导数运算中我们很容易就会归纳出它的n阶导数是什么来

但问题是这个A和B怎么求出来

我们A和B的求法就是把这两项做通分运算

通分完之后与前面这个原来的表达式分母是一样的

那么分子也应该一样

分子就是多项式相等

那么对应项系数应该相等

就会得到AB满足的一次方程组

最后给它解出来就可以了

在这个具体例子里面具体求解过程我们不写了

我们得到A是等－1

B解出来应该是3

也就是给它拆项完之后就是这样

所以说我们的n阶导数就是这项的n阶导数加上这项的n阶导数

这项的n阶导数刚才我们已经做过

所以它应该是－1的n＋1次方n的阶乘

再除上1加x的n加1次方

这个n＋1次方因为原来就有个负号

所以说这是第一项就求完了

第二项求n阶导与刚才这项求的时候它不同的是说

每求一次导数应该出来一个因子3

所以它应该是一个－1的n次方乘上3的n+1次方

再乘上n的阶乘 再除上2加3倍x的n加1次方

希望大家就是知道这个求导与刚才这个求导的差别

所以说每一次出来一个3这个因子原来有一个3

所以说求了n阶导之后应该是3的n+1次方

这样我们对这个表达式就可以把它的n阶导数求出来了

这是我们在处理这类函数n阶导数时最常用的方法

就是把它拆成分母是一次因子的这样的分式的和

然后通过对它们求导之后

再得到原来函数的n阶导数

最后一个例题我们来看一下

y等于x的平方sinx求它的n阶导数

我想这个例子与刚才我们在这儿处理的这个例子有些类似

因为这个函数是两个因子乘积

而其中一个因子是二次多项式

所以我们可以用Leibniz公式直接去求

然后它在Leibniz公式里面最多有三项是不等于0的

所以它的n阶导数用Leibniz公式应该是

x平方不求导sinx求n阶导

就是sin(x加上n倍的二分之π)

然后再加上n倍的x平方的导数

也就是两倍的nx

再一个sinx求n－1阶导

也就是x加上n－1倍的二分之π

第三项也就是x平方求二阶导是2再乘上Cn2

就是写出来应该就是

n乘上n－1倍的sinx再加上n－2倍的二分之π

这样我们就利用Leibniz公式以及sinx的n阶导数公式

得到了这个函数的高阶导数

我想这是我们在高阶导数运算中常用的一些方法

当然最后一个问题是我们在做高阶导数运算时

我们有时候除了处理具体的表达式之外

还经常会处理这样的东西

说y等于f(g(x))求二阶导

或者说我们x等于y加上εsiny

ε大于0小于1

求y关于x的二阶导数

或者是说x等于x(t)y等于y(t)

然后我们求y关于x的二阶导数

那请大家注意复合函数 隐函数

参数方程确定的函数

求高阶导数时你应该注意的问题

譬如说在第一个复合函数求导里面

我们求二阶导数时会牵扯到对这个表达式再求导

在这个表达式求导过程中大家要注意这仍然还是个复合函数

所以应该还继续用复合函数的链导法则

当然在这个求导过程中

我们自然还会碰到这个记号

也就除了y之外还会碰到y'

那y当成中间变量

y'自然也是当成中间变量

所以说注意到这些之后再去处理就可以了

另外在这个的求导里面

因为我们知道dy/dx是等于y'(t)x'(t)的

那么我们再求导的时候

因为它是t的表达式所以说t应该是中间变量

也就是d方ydx平方应该等于y'(t)x'(t)关于t求导

再乘上t关于x的导数

也就是说最后这个因子大家一定不要忘掉

因为这是t的表达式

所以我是先关于t求导

求完之后再乘上t关于x的导数