当前课程知识点：微积分——极限理论与一元函数 > 第八章 级数 > 第一节 数项级数的概念与性质 > 8-6 正项级数的比较判别法
好 接下来我们来讨论一下
正项级数的一些判敛法
正项级数的判敛法
就是充分利用了
正项级数收敛的充分必要条件
是他的部分和数列有上界这个性质
我们先看正项级数的比较判敛法
好 我们把正项级数的比较判敛法
写成一个定理
我们设bn大于等于an
an大于等于0
我们的结论是
第一个
以bn为通项的级数收敛时
以an为通项的级数也收敛
第二个
以an为通项的级数发散时
那么以bn为通项的级数
也是发散的
实际上
从比较判敛法的结论
我们可以看出
直观的讲
也就是对正项级数来说
通项大的收敛
那么通项小的也收敛
而通项小的级数发散
那么通项大的级数也发散
这个判敛法的证明
就是利用了正项级数的
前n项和数列
是单调递增这个性质
那我们看一下
如果我就记An就是k从1到n
ak求和
bn就表示的是
k从1到n对bk求和
那么我们看一下
第一个条件是什么
条件是
这个正项级数是收敛的
那么bn应该是他的前n项和数列
它本身是单调递增的
他收敛的时候
也就是说这个Bn的极限存在
而Bn的极限
我们知道
就是收敛到它的最小上界
也就是上确界
所以说第一个
因为这个级数bn
n从1到无穷收敛
我们直接说
所以这个数列应该是有界的
所谓有界
也就是存在一个
正数M大于0
使得这个Bn对任意的n
他都小于M
因为我们的条件是
这个级数的通项
An小于等于这个级数通项Bn
我们就 故
或者是从而
我们这个An
应该是小于等Bn
小于等于M
这也就是说明
我们这个级数
他都前n 前n项和数列是有上界的
因为他是正项级数
所以说我们就得到了
这个级数是收敛的结论
这是第一个的证明
第二个结论
应该就是第一个结论的
一个直接推论
我们假设
这个结论是不对的
也就是在他发散的前提下
如果这个级数不是发散
当然就是收敛
如果这个级数收敛
我们根据第一个结论
我们马上就推出
这个级数也是收敛的
这与他的条件是矛盾的
所以说
第二个结论
是第一个结论的直接推论
我们就不再做证明了
这是关于比较判敛法
比较判敛法的这个形式
我们一般也给他称为是
比较判敛法的一般形式
我们用这个判敛法
来做一个简单的例题
也就是我们利用
比较判敛法来看一下
这个级数
这是n从1到无穷求和
这里面
应该是根下2
加上-1的n次方
括起来的n次方
底下是3的n次方
这就是一个级数
而且大家会注意到
这个级数的通项
都是大于0的
所以说他是正项级数
现在我们就来看一下
这个级数
他是收敛还是发散的
也就是讨论他的敛散性
我们可以这样说
因为这个级数的通项
我们写成根下2
加上-1的n次方
除上3括起来的n次方
他本身是大于0的
但是他应该是小于等于
3分之根下2加1
括起来的n次方
又这个级数
也就是n从1到无穷
3分之根下2加1
括起来的n次方
他应该是收敛的
因为这是一个
p大于0小于1的几何级数
他当然是收敛的
那么大家看一下
根据比较判敛法
我们就知道
这个级数
也就是
我们要讨论敛散性的这个级数
根下2加上-1的n次方
除上3括起来的n次方
他也是收敛的
那么对这个例子来说
用比较判敛法
判断他的敛散性是非常直接
而且书写也是非常简单的
在讨论一般的级数的敛散性时
因为有时候
我比较两个数的大小
可能写起来不是特别方便
比如说当这两个级数的通项
都是由多个因子
相乘相除的时候
你直接比较大小
可能就是说不是特别方便
这个时候
我们还可以利用
他们极限情况
来得到他们敛散性之间的结论
实际上也就是
关于正项级数的比
比较判敛法
我们除了一般形式外
还有所谓的极限形式
我们看一下
比较定理的极限定理是什么
如果我们假设an大于等于0
bn大于0
而且an比上bn在n趋向无穷时
极限存在等于c
或者是正无穷大量
那么我们得到的
第一个结果是
c大于0小于正无穷时
以an为通项的级数
和以bn为通项的级数
的敛散性时一样的
第二个结论是
当c等于0时
如果以bn为通项的级数收敛
那么以a
以an为通项的级数也是收敛的
如果an比上bn
在n趋向无穷时
是个正无穷大量
那么以bn为通项的级数发散时
以an为通项的级数也是发散的
也就是说
比较判敛法的极限形式
通过对两个正项级数
他的通项做比值
求极限的方法
得到了他的极限值
与这两个级数敛散性之间的关系
那我们看一下
他的证明
证明我们
先看第一种情况
第一种情况也就是说
我们的条件是
n趋向无穷时
an比上bn他极限等于c
c是大于0的一个正数
那根据极限的保号性质
我们就知道
在n充分大时
这个比值应该是
充分接近这个c
也就是说
我能得到下面这个结论
所以我们就能得到
存在一个N大于0
当n>N时
我就有
这个比值充分靠近c
充分靠近c
那么他一定能够
保证小于3c/2
也能够保证大于c/2
也就是说
他们都集中到
以y=z为中轴的一个带状区域里面
这个带子的宽度
应该就是c
当然上面是c/2
下面是c/2
那有了这个性质之后
在n>N时这个都是对的
所以说我就能推出
我的an是小于3c/2乘上bn
然后这面是大于c/2再乘上bn
他 接下来呢
我们就看
如果我们的bn是收敛的
我就看这个不等号
bn做通项的级数是收敛的时候
那么他乘上一个正数
得到的这个正项级数也是收敛的
这是收敛级数的数乘运算
如果他做通项的级数收敛
根据比较判敛法的一般形式
我们就得到了
以an做通项的级数也是收敛的
所以bn收敛
我们就知道an也是收敛的
如果bn为通项的级数发散
我们就来看这一边
bn为通项 的级数发散
那么他乘上一个大于0的数
构成的这个
级数也是发散的
那么根据比较判敛法的一般形式
那么以an为通项的级数
自然是发散的
所以这样我们就说清楚了
在这个条件下
这两个级数的敛散性是一样的
第二种情况
第三种情况的证明
应该跟第一种情况是类似的
我们简单说一下
这是第一种情况的证明
第二种情况
因为这个极限an/bn
n趋向无穷他是等0的 等0的
然后根据极限的定义
所以说我就存在一个N>0
就是当n>N时
那么an/bn他本身是非负的
他应该小于等于
比如说1/2
小于等于这个东西
那这样子的时候
我们自然就知道
在n>N时
我们的an是小于等于就是bn/2
这面是大于等于0
所以说如果bn为通项的级数收敛
那么bn/2为通项的级数自然也是收敛的
根据比较判敛法的一般形式
我们就得到了
以an为通项的级数收敛
第三种情况
如果我们知道的是
an/bn 他是一个正无穷大量
那么我们马上就推出
存在一个N>0
那么an比上 就是当n>N时
我们的an/bn
比如说是大于等于1的
也就是在n>N时
我们的an是大于等于bn的
根据比较判敛法的一般形式
以bn为通项的级数是发散时
以an为通项的级数自然是发散的
我想这是关于
比较判敛法的一般形式
和极限形式他的结论
极限形式相对于一般形式来说
它实际上就是把
比较两个数大小的初等运算
转化成了比较两个数的
就是求 两个数比值的极限问题
这在某种程度上
会把我们这个问题进行简化
特别地
如果我们把其中的bn
取成我们比较熟悉的p级数时
我们就会得到后面要介绍的
正项级数的比阶判敛法
-序言
--序言
-第一节 实数集的界与确界
--实数集的界
--实数集的确界
-第一节思考与练习
--思考题
--练习题
-第二节 函数的概念
--分段函数与隐函数
-第二节思考与练习
--思考题
--练习题
-第三节 函数的运算
--函数的反函数
-第三节思考与练习
--思考题
--练习题
-第四节 函数的初等性质
--函数的凸性
-第四节思考与练习
--思考题
--练习题
-第五节 初等函数
--初等函数
-第五节思考与练习
--思考题
--练习题
-第六节 极坐标方程与参数方程表示的几种曲线
-第一节 数列极限的概念与性质
--无穷大量
-第一节思考与练习
--思考题
--第二章 极限论--第一节思考与练习
-第二节 数列极限存在的充分条件
--单调有界收敛定理
-第二节思考与练习
--思考题
--第二章 极限论--第二节思考与练习
-第三节 Bolzano定理与Cauchy收敛准则
-第三节思考与练习
--思考题
--第二章 极限论--第三节思考与练习
-第四节 函数极限的概念与性质
--函数极限的概念
--函数极限的性质
-第四节思考与练习
--思考题
--第二章 极限论--第四节思考与练习
-第五节 函数极限的运算
-第五节思考与练习
--思考题
--第二章 极限论--第五节思考与练习
-第六节 无穷小量及其（阶的）比较
--无穷小量的比较
-第六节思考与练习
--思考题
--第二章 极限论--第六节思考与练习
-第一节 连续函数的概念与性质
--间断点的分类
--连续函数的性质
-第一节 思考与练习
--思考题
--第三章 连续函数--第一节 思考与练习
-第二节 闭区间上连续函数的性质
-第二节 思考与练习
--思考题
--第三章 连续函数--第二节 思考与练习
-第三节 函数的一致连续性
--一致连续的概念
-第三节 思考与练习
--思考题
--第三章 连续函数--第三节 思考与练习
-第一节 导数与微分的概念
--导数的概念
--导数的几何意义
--微分概念
-第一节 思考与练习
--思考题
--第四章 导数与微分--第一节 思考与练习
-第二节 导数与微分的运算
--导数的四则运算
--反函数求导法
-第二节 思考与练习
--思考题
--第四章 导数与微分--第二节 思考与练习
-第三节 几种特殊函数的求导法、高阶导数
--高阶导数
-第三节 思考与练习
--思考题
--第四章 导数与微分--第三节 思考与练习
-第一节 微分中值定理
--Fermat定理
--Rolle定理
-第一节 思考与练习
--思考题
--第五章 导数应用--第一节 思考与练习
-第二节 L'Hospital 法则
--0/0型不定式
--∞/∞型不定式
--其他形式的不定式
-第二节 思考与练习
--思考题
--第五章 导数应用--第二节 思考与练习
-第三节 函数的单调性与极值
--函数的单调性
--函数的极值
--函数最值的求法
-第三节 思考与练习
--思考题
--第五章 导数应用--第三节 思考与练习
-第四节 函数的凸性与拐点
--函数凸性的判别法
--拐点
--曲线的渐近性
-第四节 思考与练习
--思考题
--第五章 导数应用--第四节 思考与练习
-第五节 Taylor 公式
-第五节 思考与练习
--思考题
--第五章 导数应用--第五节 思考与练习
-第一节 概念与性质
--原函数的概念
--6-1视频纠正
-第一节思考与练习
--思考题
--第六章 原函数与不定积分--第一节思考与练习
-第二节 换元积分法
--第一换元法
--第二换元法
-第二节思考与练习
--思考题
--第六章 原函数与不定积分--第二节思考与练习
-第三节 分部积分法
--分步积分法
-第四节 有理函数的积分
--html
--第六章 原函数与不定积分--第四节思考与练习
-第五节 简单无理式的积分
--无理函数的有理化
--第六章 原函数与不定积分--第五节思考与练习
-第一节 积分概念与积分存在条件
--定积分的概念
-- 函数的可积性
--第七章 定积分--第一节思考与练习
-第二节 定积分的性质
--定积分的性质
--定积分性质的应用
-第三节 变上限积分与Newton—Leibniz公式
--变上限积分
--复合变限积分
--定积分的计算
--第七章 定积分--第三节思考与练习
-第四节 定积分的换元积分法与分部积分法
--第七章 定积分--第四节思考与练习
-第五节 定积分的几何应用
--平面区域的面积
--曲线的弧长
--平面曲线的曲率
--第七章 定积分--第五节思考与练习
-第六节 定积分的物理应用
--物理应用简介
-第七节 反常积分
--反常积分
--其他无穷积分
--第七章 定积分--第七节思考与练习
-第一节 数项级数的概念与性质
--第八章 级数--第一节 思考与练习
-第二节 正项级数的收敛判别法
--第八章 级数--第二节 思考与练习
-第三节 任意项级数
--交错项级数
--绝对值判敛法
--第八章 级数--第三节 思考与练习
-第四节 函数级数
--第八章 级数--第四节 思考与练习
-第五节 幂级数
--Abel判别法
--收敛半径与收敛域
--幂级数的分析性质
--幂级数求和
--第八章 级数--第五节思考与练习
-第六节 傅里叶级数
--三角函数的正交性
--第八章 级数--第六节思考与练习
