微分概念在线视频

前面我们介绍了导数的概念

接下来我们来说另外一个微分学概念就是微分

我们还是从两个简单的例子开始说起

说如果我有一条直线y等于kx加b

如果现在我知道

自变量的改变量是Δx

那我们一起来求一下

在自变量有了这个改变量之后

它的函数值的改变量是多大

也就是说这时候我们要求的Δy

应该就等于k倍的x加上Δx再加上b

这是在这点的函数值

再减掉一个就是k倍的x加上b

两点函数值之差

就是函数值的改变量

这样一减的时候

大家自然能写出来它就是k倍的Δx

所以说函数值的该变量与自变量的改变量

就是差一个常数倍

就是这应该两个值之间是一个所谓的线性关系

再一个我们比如说一个匀速运动物体

我来求它在Δt这个时间间隔之中走过的距离

走过的距离也是等于就是Δs

也就等于s(t加上Δt)再减掉S(t)

因为它是匀速的

所以说它的距离和时间的关系应该

就是速度乘上时间就是距离

然后我们代进来

这个地方也就是v乘上(t加Δt)再减掉v(t)

也就等于v乘上Δt

也就是说对于匀速的运动物体来说

它在一段时间内走过的距离

自然跟这段时间还是一个线性关系

那我们来考虑一个函数y等x平方

我们来求这个函数在自变量发生了改变量Δx之后

那么它函数值的改变量是什么

那我们就直接写Δy等于x加上Δx的平方再减掉x的平方

我们用一个两数和的平方公式把它展开

把x方减掉剩下的应该是2倍的Δx再加上Δx的平方

那么对这个函数来说

尽管它函数值的改变量

与自变量的改变量没有所谓的线性关系了

但是因为它是个简单函数

所以我们还是能够比较容易的

写出函数值的改变量到底是多大

接下来我们再来看这个函数

f（x）等于lnx

我们来看一看这个函数当自变量有了改变量之后

函数值的改变量是什么

也就是Δf(x)等于ln(x加上Δx)减掉lnx

这个我们利用对数的性质

可以给它做个简单的变形

也就是ln(1加上Δx除上x)

对于这个函数来说

函数值的改变量跟自变量的改变量关系也出来了

但是它需要用到对数运算

对数运算的时候尽管它是个基本初等函数

但是我们毕竟不能很直接的

看到Δx改变之后

它函数值到底改变了多少

接下来我们利用前面我们介绍重要极限时得到的一个结论

也就是ln(1加上Δx比上x)再除上Δx比上x

这个的极限在Δx趋近0时的极限应该是1

前面我们曾经介绍了

说如果这个极限表达式

在Δx趋近0时的极限是1

那么这个表达式就可以写成是1加上一个α（Δx)

其中这个α（Δx)它是满足在Δx趋近0时

它的极限是0的

然后我们写成这个表达式之后

大家看一下我们上面这个对数

自然就可以写成x分之Δx再加上x分之Δx再乘上α（Δx)

写到这样的时候

尽管函数值的改变量与自变量改变量的关系

我们还不是太清晰

因为这里还有一个α（Δx)

但是如果说我们只是要做一个非常大概的估计的时候

大家看一下大概的估计

后面这一项在Δx的绝对值充分小时

显然要比前面这一项来的小

而且小非常多非常多

如果从这个意义上讲

那么我只考虑前面这一项的时候

那么我就得到了函数值的改变量

与自变量改变的一个非常简单的线性关系

那回过头来大家看一下

我们这个y等于x的平方与刚才那么自然对数

实际在这方面是有些类似的

也就是说前面这部分

是自变量改变量的一次方部分

后面的这个在Δx的绝对值充分小时

是远远小于前面这一部分的

那接下来我们怎么来刻画这两个函数

所共有的这种性质

实际上我们不难证明Δx平方除上Δx

趋向0时极限还是0

这应该是Δx的高阶无穷小

也就是可以写成是前面不动

后面写成一个o（Δx）

接下来在对数函数这里面

后面这部分大家除上Δx之后

因为α（Δx)极限还是0

所以说你除上Δx之后

这个极限还是0

这说明后面这一部分也是Δx的高阶无穷小

那我们给它写成x分之一乘上Δx再加oΔx

那么写成这个形式之后

这个平方函数与这个对数函数

它函数值的改变量与自变量的改变量的关系

实际上从某种意义上讲是一样的

也就是说函数值的改变量可以写成两部分

第一部分是自变量改变量的线性部分

第二部分是自变量改变量的高阶无穷小部分

所谓函数在一点可微

我们主要就是说如果函数在一点函数值的改变量

能够表示成自变量改变量的线性部分

和自变量改变量的高阶无穷小部分之和

我们就说函数在这一点是可微的

而自变量改变量的线性部分应该就是

函数值改变量的主要部分

它的值的大小称为函数在这点的微分

这个定义我们写出来

微分定理也就是说

如果f（x）在x0及其附近有定义

若函数它在这一点的函数值的改变量

可以表示成自变量改变量的一次方部分

再加上自变量改变的高阶无穷小部分

就称这个函数在这点是可微的

而a（x0）乘上Δx也就是自变量的线性部分

称为这个函数f（x）在x0这点的微分

记作df（x0）等于a（x0）乘上Δx

我们这个a（x0）是强调这个系数它可以与这个点有关

但是它不能与自变量的改变量有关

这个系数也叫微分系数

我想这是函数在一点可微以及函数在一点微分的定义

用这个定义

从这个定义我们可以看出

微分值实际就是函数值改变量的一个近似值

这个近似是线性近似

线性近似

有了这个定义之后我们做一个例子

我们看f（x）等于x的三次方这个函数

我们问我们能否用定义讨论

这个函数在定义域中每一点是否可微

如果可微的时候

我们能不能求出它微分值的大小

因为这是个三次函数

我们可以这样来写

因为Δf(x)也就等于x加上Δx的三次方再减掉x的三次方

我们利用两数和的立方公式给它展开

x的三次方减掉剩下的应该就是3倍的x平方乘上Δx

再加上3倍的x乘上Δx的平方

还有最后一项是加上Δx的三次方

也就是说我们直接把它函数值的改变量写出来了

第一部分这就是自变量改变量的线性部分

后边两项因为分别是自变量改变量的平方和三次方的部分

它们自然都是自变量的改变量的

高阶无穷小

就是说对于三次函数来说

我们确确实实就在每一点把它函数值的改变量

写成了自变量改变量的线性部分

和自变量改变量的高阶无穷小部分之和

所以说它是可微的

而它的微分不是别的

就是dx三次方这个就应该等于三倍的x平方乘上Δx

这是我们要介绍的函数在一点可微

和函数微分值的大小这一概念

我们介绍了函数在一点可微的概念之后

我们一个很直接的问题就是问

说我有没有办法

就是说讨论一个具体函数在一点的可微性

为什么问这个问题

因为通过刚才我们对几个简单函数的讨论

我们知道实际上对于一般的函数来说

我们是没法总是从可微的定义出发

来讨论它的可微性的

因为对于一般的函数

我们很难把它在一点的函数值的改变量

给它分解开成为两部分

而其中一部分是自变量的线性部分

另外一部分是自变量改变量的高阶无穷小部分

实际上在微积分里面

我们把函数在一点可微与

函数在一点可导联系在一起来讨论

所以接下来我们就看一下

函数在一点可微与函数在一点可导

他们之间的关系

我们给写一个定理

这个定理就是说若f(x)在x0处可微

则f（x）在x0可导

且它在这点的微分值就等于它在这点的导数值乘上Δx

反过来也是对的

也就是说所谓反过来也是对的

就是若函数在这点可导

则它在这点可微

且微分值和导数值还是有这个关系

所以有时候我们就说

对一元函数来说

函数在一点可微的充分必要条件是它在这点可导

而这个公式我们习惯上一般称为是微分的计算公式

通过这个公式我们可以看出来

函数在可微的前提下

它在这点的微分系数

正好是函数在这点的导数值

接下来我们对这个定理做一个简短的证明

先证在可微的时候它为什么是可导的

也就是说因为f(x)在x0可微

根据定义也就是Δf(x0)等于a(x0)乘上Δx加上o(Δx)

所以我们Δf(x0)除上Δx等于a(x0)再加上o(Δx)

写到这个形式我们马上就知道

在Δx趋向于0时

这个比值的极限应该就等于a(x0)

而这个比值的极限存在

就意味着函数在这点可导

而且这个a(x0)不是别的

就是函数在这点的导数值

也就是说得到这个关系之后

故Δx趋向于0时Δf(x0)除上Δx这个极限应该就等于a(x0)

而这个也就是它在这点可导而且导数值等于a(x0)

根据微分定义

我们的微分df(x0)应该就等于a(x0)乘上Δx

那也就等于f一撇(x0)乘上Δx

所以这样在可微的前提下我们就证明了可导

而且证明了微分值和导数值之间的关系

接下来我们如果证明反过来也对

那就是我们要在可导的情况下

证明它可微

我就简单给大家说一下因为它是可导的

所以我们这个比值的极限是存在的

Δx趋向于0Δf(x0)除上Δx等于f一撇(x0)这是我们的条件

我们利用极限与无穷小的关系

这个表达式的极限是这个值

那么它就意味着

这个函数也就是Δf(x0)比上Δx应该就能写成

这个极限值加上一个无穷小量的形式

这个是在Δx趋向于0时极限是0的一个表达式

然后写成这样

两边通乘当然也就是Δf(x0)等于f一撇(x0)再乘上Δx

加上Δx乘上α（Δx)

我们关于后面这一项

应该是很清楚的看出

这一项除上Δx之后极限还是0

所以后面这一项我们自然可以给它表示成Δx的高阶无穷小

那么写成这个形式我们再想一想什么是可微

可微就是如果函数值的改变量能表示成自变量改变量的线性部分

和自变量改变量的高阶无穷小部分之和

那就叫可微

而线性部分就叫微分

所以说呢这样直接下结论

所以f是在这点可微的

而且它的微分值就等于f一撇(x0)乘上Δx

正反两个方面我们证完之后就证明了

一元在一点可微的充分必要条件是可导

而且给出了微分的计算公式

在这个计算公式里面

我们强调一点如果x是自变量时

我们知道这个Δx与它的微分应该是相等的

为什么因为x是自变量时

相当于我们考虑这个函数y=x

那么dy也就等于dx

根据我们刚介绍过的微分计算公式

它的微分也就应该等于y关于x的导数再乘上Δx

所以说对于自变量来说

改变量与微分是相等的

即使从几何上看

这个也是很显然的

也就是在直线y等于x上

问当自变量有了一个改变量Δx之后Δy改变了多少

Δy因为它斜率是1的直线

所以说Δy就跟Δx相等的

那当然根据微分定义

所以说Δx自然是Δy最好的近似值

当然就是它的微分

所以说这个记号有了之后

我们知道我们平时见到的一般微分计算公式

应该就是f一撇(x0)乘上dx

dx是自变量的微分

那大家知道在这个公式里面

这是三个数的一种关系

在dx不等于0的前提下

我们自然可以得到这个东西

就是dx等于f一撇(x0)

我们得到了这个结论

回忆一下我们在介绍导数概念时

我们曾经给出了导数的常用记号

其中我们就有这个记号

这个记号就是所谓莱布尼兹给的记号

而这个记号是拉格朗日给的记号

在当时我们说他们都可以来表示函数在x0这点的导数值

它自然是相等的

但现在有了微分计算公式之后

我们再来看这个等式

我们是不是有一点新的认识

实际上这个等式里面

这是真真正正的三个量之间的一个关系

所以说导数值等于什么

就等于函数值的微分

除上自变量的微分

这也就是导数为什么又叫微商的原因

因为导数可以看成是两个微分之商

我想这是通过这个计算公式我们得到的东西

接下来我们来看一下

微分的几何意义

这是我们的第三个问题

就是微分的几何意义

那我们怎么样来把微分与几何上的量联系起来

实际上我们回忆一下刚才介绍的导数的几何意义

导数的几何意义有了之后我们有这个关系式

y减掉f(x0)等于f一撇(x0)再乘上(x减掉x0)

这实际上就是曲线在（x0,f(x0)）这点的切线方程

现在我们有了微分计算公式

大家知道这个导数乘上自变量的改变量

我们现在叫他在这点的微分

这样一写的时候

你就看这个等式两端

右端是微分而左端表示的是什么

表示的是曲线在这点

切线上它的竖坐标的改变量

也就是说在切线上当横坐标有了改变时

它那些点纵坐标改变是多少

这实际就是微分的几何意义

那如果我们谈几何意义

从图上来看的时候应该是这样子的

这是y等于f(x)这条曲线

这是横坐标是x0对应的点

我们过这点做曲线的切线

然后当自变量有一个改变量Δx之后

那我们函数值的改变量应该是我现在画的这一个高度

而我们用来做它的近似值的微分

应该是画的这一个高度

也就是说从几何上讲

我们就用切线上竖坐标的改变量

来近似了它在曲线上竖坐标的改变量

从图上大家可以看出来

如果Δx绝对值足够小的时候

这两个改变量它的差也是很小的

这实际上这就是我们在处理数学问题时

所谓的线性化的思想

也就是把一个非线性函数

在一点附近用一个线性函数来近似

从几何上讲也就是所谓的以直代曲的思想

用直线代替曲线

也就是如果你只考虑这一点附近的性质的时候

你可以用曲线在这点的切线来近似这条曲线

这应该是在我们处理一些问题时很重要的一种想法

如果我们要求精度不是太高

而我们的问题又相对稳定的时候

线性化方法应该是一个非常重要的数学方法

就是说它不仅能够很好的刻画你原有的现象

更重要的是处理成线性问题之后

它在数学上应该是一个非常简单的数学问题

我们所谓的近似计算

实际上也是一个线性化想法

什么叫近似计算

也就是说利用f(x)减掉f(x0)应该

约等于f一撇(x0)乘上(x减x0)

也就是说我如果要算函数在一点函数值的时候

可能计算量很大

但是利用微分的概念

我知道这个函数值的改变量应该约等于这个微分

我们也可以把x这点函数值的计算问题

直接转化成x0这点的函数值和导数值的计算问题

就是这样的东西大家在做练习的时候

一定要注意为什么利用微分可以做近似计算

实际它就是说把难算的点的问题

给他转化成相对来说计算比较简单的点的问题

我想这是关于我们微分要介绍的内容