条件收敛级数的Riemann定理在线视频

前面我们介绍了

绝对收敛级数一个很重要的性质

就是说如果级数绝对收敛时

我们是可以把

有限个数加法中的交换律

直接推广到无穷多个数之和中去

接下来我们看一下

如果级数是条件收敛的时候

它是没有这个性质的

在这儿 我们给出一个定理

这个定理一般就称为是黎曼定理

关于条件收敛的黎曼定理

内容是这样说的

我设以an为通项的级数是条件收敛的

那么对任意的实数x

我总存在这个级数的一个重排级数

使得这个重排级数

收敛到我们给出的这个x的值

特别的 这个条件收敛的级数

存在发散的重排

也就是说 通过调整它一些项的次序

可以得到一个发散的级数

这个定理说明

如果级数仅仅是条件收敛的时候

你任给一个值x

我们总可以通过交换这个级数中

一些项的次序 使得新的级数

是收敛到我们给出的这个x的

而且对于一个条件收敛的级数来说

我们也可以经过交换它一些项的次序

使得它得到的新的级数是发散的

关于这个定理

我们只做一个简单的解释

这个解释 也就是说 是这样说的

为什么对条件收敛级数

我们可以做到有这样的结论

想一想 我们前面曾经给出一个结果

也就是说

如果这个级数是条件收敛的时候

我们知道它的必要条件

是它的非负项构成的级数

是一个正无穷大量

而它的非正项构成的级数

应该是一个负无穷大量

现在我们可以

这样来理解这个定理的结论

说我任给一个x

相当于就给了一条平面上的水平线

我现在就可以

通过把它的正项先加起来

就是说 我先把它前面的正项加起来

因为它所有的正项

加起来是个正无穷大量

所以说 我总能加到某些项之后

使得这些正项之和跑到这条线上方

接下来 我后面

我就把它前面的负项往上加

因为 它所有的负项构成的级数

是一个负无穷大量

所以我总可以加到一定程度

使得这个和又跑到这个x下方

跑到下方之后

我就再取后面的大于0的项

那么它就又跑到上方

这样还可以下来

那就是能上能下

为什么就说 它能够收敛到x

因为它是条件收敛的

所以说它通项应该是一个无穷小量

也就是通项是无穷小量的时候

我这样按照这个次序一直加下去

它会离这条线越来越近

那越来越近 也就是说

我通过交换这些项的次序

就达到了使得新的级数

是收敛到这个x的

那如果说是我要找到

一个级数是发散的 也是这样子的

你可以随便取一个值之后

总可以通过取它的正项使得它跑上去

跑上去之后

我们再取负项让它稍微下来一点

再给它取正项又往上跑

再取负项下来一点

也就是说 我在做的时候

我总是让非负项取的作用要大一点

这时候它加起来之后

它应该是可以越来越往上

实际上是可以跑到正无穷的

你要想让它跑到负无穷

那么你在加的时候 你就加负项的时候

让它起的作用大一点

我想这就是条件收敛级数

之所以有这个结果

主要就是在条件收敛时

这两个级数 一个是正无穷大量

一个是负无穷大量

关于这个结论

我们可以通过一个具体的例子

再来说明一下

比如说 我们这个级数

n从1到无穷 -1的n次方除上n

这个级数大家当然知道

它是莱布尼兹条件下的交错级数

这个级数是收敛的

而且是条件收敛的

如果我们记它的和是S

我们看它的前几项是什么

就是n等于1时 是-1

第二项是2分之1

第三项是负的3分之1

第四项 4分之1

5分之1 6分之1 等等

现在 我们这样来处理这个级数

首先我们两边同除2

也就是2分之1 S

这就变成了负的2分之1加上4分之1

减掉6分之1 加8分之1

减掉10分之1 后面 等等

我们对第二个等式做这么一个处理

也就是说在每一项前面

我们给它补上一个0

也就是0减2分之1

再加上0 加4分之1

再加上0 减6分之1

再加上0 加8分之1

再加上0 减掉10分之1

就是说 它肯定是不影响这个结果的

但现在我们把这个当成一个级数

这是个收敛级数 它收敛到2分之S

这是一个收敛级数它收敛到S

我们把它的对应项加起来

加起来之后 那么它应该还是收敛的

而且加起来之后 它级数的和

就是原来两个级数和求和

所以说 我们就推出了2分之3倍的S

这面就等于这个一加 是个-1

第二个一加 是0

当然我们就给它写到这儿

第三项一加是负的3分之1

然后 第四项一加 是两个4分之1一加

就是2分之1

接下来 再往下一加

应该就是个负的5分之1

这个6分之1减6分之1 加上0

后面这个地方应该是个

7分之1 加8分之1 等等

那再往下一加的时候

应该是负的7分之1

两个8分之1加起来 应该是加4分之1

这样我们一直加下去

我们会发现 它这规律是这样子的

这就是-1 这是负3分之1

这个是加上2分之1

这是负的5分之1 减掉7分之1

加上4分之1 再往下加

实际上我们看一下 这三项作为一组

它是不是把原来这个级数中

那个分母是奇数的那些项往前提了

-1在这儿 我把负3分之1提到这儿来

加上2分之1

接下来 我再提上两项分母是奇数的

负5分之1提过来 负7分之1也提过来

再加上4分之1

那么按照这个规律加下去

实际上最后这个级数

就是把原来这个条件收敛的级数

它的项交换了次序

实际上大家看 原来这个级数的和是S

但是通过交换这些项的次序

我们发现 这个新的级数的和

变成了原来和的2分之3倍

我想这个例子 大概就能说清楚

为什么条件收敛的级数

可以通过调整它项的次序

而让它收敛到任何指定的数

这是关于条件收敛 通过这个例子

也就进一步体会了

条件收敛是没有所谓的交换律的

我想作为数项级数的最后一点内容

我们简单说一下级数的乘法运算

说两个级数an n从1到无穷

bn n从1到无穷

我们说 它的乘积指的是什么

对两个级数来说 我们看它的乘积

当然有不同的定义方式

基本的想法是这样子的

如果我列一个表 a1 a2 a3 a4

这边是 b1 b2 b3 b4 等等

这样列一个表 咱们看一下

就是在这个表里面

我填的是a1b1

这个表填的是a1b2 a1b3 a1b4

这个是 a2b1 a2b2 a2b3 a2b4

这个填 a3b1 a3b2 a3b3 a3b4

最后这一行

我填的是a4b1 a4b2 a4b3 a4b4

实际上这个表格

我们可以做成一个半无穷表格

一直做下去

现在如果我定义这两个级数的乘积

我一个方法就是说

我可以按照所谓的正方形法则

也就是这个做第一项

这三项加起来做第二项

这五项加起来做第三项

接下来这七项加起来做第四项

这样 大家可以看到

我就可以把这两个级数通项

所有乘积的项都涵盖进来

这就是定义乘法的一个方法

这是所谓的按照正方形法则

还有一个定义方式

也就是说我把这个做第一项

这两项加起来做第二项

这三项加起来做第三项

而这四项加起来应该是做第四项

我们这样一直加下去

这是一个定义方式 就这种方式

也会把这个半无穷表格中

所有的项都牵扯到

而这个定义方式得到的级数

就称为是原来两个级数的柯西乘积

所以大家有时候看级数乘法

说两个级数的柯西乘积

实际就是按照这个方法

把它的第一项 第二项 第三项 第四项

这样一直写出来

如果我们用一个代数式子来表示

那么它的柯西乘积可以这样表示

n从1到无穷 那么第n项是

i从1到n 这面就是an+1-i 这边是bi

这就是它的第n项

应该是牵扯的这个运算

实际就是把对角线上的元素和

我们用一个连和号表示出来

关于这个柯西乘积

任何两个级数都可以做

但是 柯西乘积这个级数的收敛性

与原来级数收敛性之间的关系

如果原来两个级数是条件收敛的时候

那么它的乘积级数是否收敛

我们是没有什么结果的

但如果这两个级数是绝对收敛的时候

都是绝对收敛的

我们就知道它的柯西乘积这个级数

也是绝对收敛的

它也是绝对收敛

而且我们还知道这个柯西乘积

这个级数的和

就是原来这两个级数和的乘积

也就是说 而且就是这个结论是对的

n从1到无穷 i从1到n

an+1-i乘上bi

这个级数的和 应该等于

这个级数的和再乘上这个级数的和

这是关于绝对收敛级数

柯西乘积的收敛性的一个结论

也就是说 当级数绝对收敛时

它应该具有非常好的性质

当然在微积分课程里面

关于绝对收敛级数的性质

我们不做进一步地展开

我们只是简单地介绍了

绝对收敛级数它比条件收敛级数要好

好在什么地方

比如说 它有交换律

而条件收敛级数是没有的

它还有柯西乘积也是绝对收敛的

而且柯西乘积的级数的和