复合函数的求导法（链导法则）在线视频

前面我们介绍了函数四则运算的求导法则

在函数运算里面

除了加减乘除之外

我们常见的第二种运算

就是函数的复合运算

我们接下来介绍一下复合函数的求导法则

复合函数求导法

我们给出它的结论

也就是说若f(u)在u_0可微或者是可导

然后g(x)在x_0可导

然后且u_0等于g(x_0)

则复合函数就是y等于f(g(x))在x_0可导

且复合函数的导数也就是dy/dx在x_0这一点

导数值应该等于f'(u_0)再乘上g'(x_0)

这是复合函数的求导法则

这个求导法则我们一般也叫链导法

或者叫链导法则

然后我们来看一下

最后它相当于说可导函数做完复合之后

复合函数在相应的点也是可导的

那复合函数的导数该怎么求

从这个公式大家可以看出来

相当于就说我外层函数

它的导数在相应的点取值

再乘上内层函数对于自变量的函数在相应的点取值

如果我这个复合函数是这样子的

我f(g)我里面还有复合

实际上只要我们这三个函数在相应点都是可导的

实际上这个函数的导数也是有的

应该仍然是外层函数的导数在相应的点取值

这相应的点是在这点

再乘上第二层函数它的导数在相应的点取值

应该在这个点取值

再乘上内层函数关于自变量的导数

我想如果有三个函数做复合的时候

大家可能对这个链导法则四个字

是不是能够有比较清楚的理解

因为大家看一下它就是由外及内

一层一层的一直求到自变量

就是相当于一个链条似的一个环节扣一个环节

所以说复合函数的求导公式掌握起来

如果掌握了这个所谓的链条法则

它应该并不难掌握

但是要用好复合函数的求导公式

就是希望大家能够把一个函数的复合关系一定要搞清楚

在具体用链导法则的过程中

不要丢掉某个因子

接下来我们来对这个定理给出一个证明

证明的时候因为我们前面说过

一元函数在一点可导跟可微是等价的

所以说我们就来看一下我们要做的事情

跟条件之间怎么联系起来

首先我们看一下在这个函数里面

就说它的函数值之所以有改变

是因为我们的x

从x_0变到了x_0加Δx

x有了改变之后

首先引起的应该是g(x)的改变

也就是引起的u的改变

u是从g(x_0)也就是u_0

它变到了u_0加Δu

那么u有了改变之后

才引起了f(u)的改变

说f(u)的改变也就是从y_0变到了y_0加上Δy

这是我们这个

复合函数中函数值的改变

首先是由自变量的改变

从而导致了中间变量的改变

最后引起了函数值的变化

我们要证的东西

就是要证Δy比上Δx极限是否存在

存在的时候极限值是什么

而我们知道的条件大家看一下

首先f(u)在相应的点u_0处是可微的

你就知道Δy应该等于

f'(u_0)再乘上Δu再加上α(Δu)再乘上Δu

说为什么它在那个地方可导

也就是可微就能写出这个东西

实际上在前面我们证明函数可导就可微的过程中

我们曾经就推出了这个关系

说我们在这直接拿过来用一下

好这是一个

接下来因为g(x)在x_0时可导也就是可微的

说我们的Δu也就是g(x)的改变量

应该就等于g'(x_0)乘上Δx再加上β(Δx)再乘Δx

在下面的β(Δx)在Δx趋向0时极限是0

在上面的α(Δu)在Δu趋向0时极限是0

这是它们满足的性质

接下来我们就把下面这个公式中的Δu代到上面的公式中来

所以这样我们就得到了Δy应该等于

f'(u_0)乘上g'(x_0)乘上Δx再加上β(Δx)再乘Δx

再加上一个α(Δu)再乘上Δu

也就是再乘上括号里g'(x_0)Δx加上β(Δx)再乘Δx

然后写到这样之后

我们给它做一个整理

那么这两项写出来f'(u_0)g'(x_0)再乘Δx

再加上这面应该就是f'(u_0)乘上β(Δx)再乘Δx

这面就是再加上α(Δu)乘上g'(x_0)再加上β(Δx)再乘Δx

我们整理成这样

这样子的时候大家看一下

在这个等式两端我们同除Δx

那么这个Δx就除掉了这个Δx也除掉了

最后这个Δx也消掉了

那我们就问Δx趋向0时

这面的极限是什么

这是与Δx无关的量所以极限就是它

而这个部分β(Δx)极限是0这是个常数

所以这部分的极限是0

在这一部分这一个中括号的极限

应该就是g'(x_0)

现在我们只有一件事情需要解决

也就是我们要说清楚α(Δu)在Δx趋向0时

它是趋向0的

也就是要说清楚Δx趋向0时α(Δu)它极限是0

这个怎么去说

因为我们知道Δu趋向于0时

α(Δu)它是极限是0

你只要说清楚在Δx趋向于0时

你的Δu必须趋向于0就可以了

这个正好用了g(x)在x那点是可导的

所以说它一定是连续的

那么当自变量改变量趋向于0时

g(x)的改变量自然是趋向于0

所以说有了这个东西

我们自然就能推出这个是没问题的

这样的时候这个是个常数这个趋向0

所以这个部分极限也是0

这样我们就得到了Δy比上Δx

Δx趋向于0时的极限

就是这个第一项这个值

而这个关系式就是我们要证的

复合函数的链导法则的结论

我想这是关于这个链导法则的证明

就在这里面我想大家做的时候

因为导数是个点性质

在具体用的时候一定要清楚

所谓在相应点的可导性

也就是说g(x)在x_0这点可导

相应的f就应该是在g(x_0)对应的值处可导

那有了这个法则之后我们看

几个简单的例子

第一个

说y等于一个x的α次方α是任意实数

实际这就是所谓的幂函数

然后我们来求导

这个求导的时候我们给它写成这样子

e的lnx的α次方

也就是e的α倍的lnx次方

那我们写成这样之后

我们知道指数函数的导数

和对数函数的导数我们都知道了

所以说我们y的导数应该等于e的u次方的导数在u那点取值

当然还是e的u次方

再乘上u关于x求导

也就是α再乘上对数的导数是x分之一

所以最后这个我们整理一下就是α然后x分之一

这个还是我们的x的α次方

也就是α乘上x(α-1)次方

实际上在前面我们用导数定义曾经对α是正整数

利用导数定义得到了它的导数公式

现在我们利用复合函数以及指数函数和对数函数的导数公式

大家知道幂函数的求导公式应该都是α乘上x的α-1次方

然后接下来我们来看第二个例题y等于一个双曲正弦函数

那大家知道我们的双曲正弦函数是

二分之一的e的x次方减掉e的负x次方

那我们这个y的导数二分之一放到这儿

第一个的导数是e的x次方不动

第二项这是一个简单的复合函数

它的导数应该等于e的u次方的导数在u那边取值

再乘上u关于x求导应该是负1

所以说我们本来是减号

但是在复合函数求导里面又出来一个-1

这个地方就变成了加号

那这个表达式大家也并不陌生

这正好是双曲余弦函数

所以说双曲正弦的导数是双曲余弦

那类似的大家自己可以做一下

双曲余弦的导数应该正好等于双曲正弦

那么双曲函数的这个导数关系与正弦余弦的导数关系有些类似

但也有不同因为cos的导数是负的sin

但是双曲余弦的导数是正的双曲正弦

然后我们再看第三个例题

也就是y等于ln(x加上根下x的平方加1)

这个函数当然它既有复合又有加法

所以我们做的时候他的导数

首先我们给它理解成lnu的导数

那也就是自然对数的导数

自然在u的地方取值

u就是这个括号里面这个表达式

再乘上u关于x求导

这应该是两项加起来求导

第一个导数是1

第二个又是一个简单复合函数求导

我们可以理解成是v的二分之一次方

v的二分之一次方求导就是二分之一倍的v的负二分之一次方

v是谁v是x方加1

负二分之一次方也就是放到分母上

是这个东西最后还要乘上v关于x的导数

v关于x的导数是2倍x所以在这个地方我们乘上2倍x

这样做完之后大家给他通通分

通通分发现这个分母正好跟通分完的分子是消掉的

所以说最后我们的导数表达式应该是根下x方加1分之1

这个也是我们在整个微积分里面

无论是导数运算

还是后面我们介绍的积分运算里面

经常见到的一个东西

大家在学积分的时候就知道积分是什么

积分相当于是你知道了它的导数来求这个函数

换句话说如果我知道了根下x方加1分之一

让大家来求那个函数的时候

那个函数这就是一个

这实际上就是我们前面介绍过的反双曲正弦函数的导数

接下来我们介绍一下复合函数的微分公式

在前面我们介绍导数的四则运算法则的时候

我们没有提到微分的四则运算法则

因为有了微分的计算公式和导数的计算公式之后

大家自然就能够把微分计算问题转化成导数计算问题

最后在导数的基础上

乘上自变量的微分就可以了

那为什么在复合函数这一部分

我们要介绍一下复合函数的微分公式

那我们先看一下

如果y等于f(u)假设f是个可导函数

我们来求它的微分的时候

也就是dy应该等于f'(u)乘上du

所以这是一个简单的微分计算公式

现在我们提这个问题

如果我还是y等于f(u)

但是u等于g(x)的时候

那么由这两个函数我可以得到一个简单的复合函数

就是y等f(g(x))

接下来我对这个复合函数来求它的微分

它应该就等于这个函数的导数

也就是f'(g(x))再乘上g'(x)再乘dx

这也是一个微分的计算公式

但是大家注意一下

这个g'(x)乘上dx

自然是g(x)的微分

也就是这个公式我们可以写成用u来代替g(x)的时候

这就是f'(u)这一个就是du

那最后我们发现这么一个现象

也就是说

无论我这个函数中的u是自变量还是这个函数中的u是中间变量

我如果求微分的时候

我得到的微分都是f'(u)du

也就是说这个形式与u是自变量还是中间变量没有关系

那这一个我们就叫一阶微分形式的不变性

也就是说从形式上看无论u是中间变量还是自变量

它的形式都是一样的

我们之所以要介绍复合函数的微分公式

我想我们更多的是要强调一下

一阶微分运算中这个特殊的性质

当然大家说你这个u在这里是自变量

在这是中间变量它在中间应该有不同的地方

那这个不同体现在哪儿

大家知道如果u是自变量的时候

我的du自然可以直接写成u的改变量

但如果在这个问题里面

我的u是中间变量的时候

你自然不能再这样去写这个等式了

也就du你写成Δu这显然是错的

因为我们知道如果u是x的函数的时候

那么du只能是这个函数值改变量的近似值

这两者之间应该还差一个Δx的高阶无穷小

也就是说这个时候我们的Δu

不能直接写成du

但我们可以写成du加上o(Δx)

也就是说它本质上当然还是有差别的

只是这个差别在微分计算这个形式上是体现不出来的

所以我们就强调这是形式不变性

这个希望大家能够了解

那么有了形式不变性之后

在我们做导数运算时

有时候我们可以利用微分和导数的关系

以及微分形式的不变性来做

这样在做计算过程中

应该能够对我们的计算过程显得比较简练一些

比如说我们举个简单的例子

说y等于e的sinx分之一次方

然后我们来求一求y关于x的导数

那我们做这个问题的时候我们就可以这样写了

因为dy就等于e的u次方求微分

e的u次方求微分就是e的u次方的导数乘上du

而我们这个u就是sinx分之一

所以这个等号是对的

那么接下来e的u次方

当然就是sinx分之一了

然后这个我们可以看成是sinv求微分

sinv求微分应该是它的导数cosv再乘上dv

我们的v是x分之一这也是对的

然后接下来我们把u是sinx分之一先代进来

把v就是x分之一也带进来

这一个x分之一求微分当然就是它的导数负的x方分之一再乘dx

这个等号还是对的

写到这儿大家注意我们这个微分应该等于什么

应该等于y关于x的导数乘上dx

所以说这样写出来之后最后我们要求的这个导数

就是负的x方分之一cos(x分之一) 再乘上e的(sinx分之一)次方

我想如果你知道了一阶微分形式的不变性

那么在这个导数运算过程中

每一个等号为什么这样写

你自然是很清楚的

那么在计算过程中就是说我们的思路

以及我们的计算应该都是非常有层次的

我想这是关于复合函数求导法

以及复合函数一阶微分形式不变性所介绍的内容

当然这里有一个问题

说你强调一阶微分形式

那是不是还有不是一阶的微分

它的形式怎么样

关于这个问题在后面我们介绍到高阶导数时

我会给大家一起做一个简单的讨论