当前课程知识点：微积分——极限理论与一元函数 > 第七章 定积分 > 第七节 反常积分 > 一般函数无穷积分的收敛性
好我们现在来讨论
一般函数的无穷积分的收敛性
所谓一般函数
就对应于刚才我们讲过的非负函数
也就说可正可负的函数
经常变号的正负号经常改变的函数
第一概念我们回过头去再来看一看
如果f(x)在我们所讨论的范围内是可正可负的
也就不是我们原来所讨论的非负函数
那么我们来看一看
所谓无穷积分的收敛性
指的是a到Af(x)dx
A趋于正无穷
这个极限要存在
我们知道极限存在
可以用定义来证明
实际上来讲对于极限存在的判断法则
还有一个所谓的柯西准则
我们回忆一下
我们的柯西准则实际上是这么讲的
如果说对于任意的ε>0
存在着一个很大的一个数M是大于a的
使得对于任意的A一撇和A两撇大于M
都有从A一撇到A两撇f(x)dx这个定积分小于ε
则limA趋于正无穷
这是充分必要的
从a到Af(x)dx极限存在
也就是说从a到正无穷f(x)dx这么一个反常积分是收敛的
那么柯西准则
实际上就给反常积分的收敛性
找了一个充分必要条件
我们来看看从这么一个充分必要条件
我们来看看
一般的一个函数的反常积分的收敛性
这个定理告诉我们
如果说从a到正无穷
f(x)取了绝对值之后构成的反常积分收敛
则原来的a到正无穷f(x)这么一个反常积分
一定也收敛
也就是说我把被积函数f(x)取了绝对值之后
构成的反常积分如果是收敛的话
那么原来那个反常积分本身一定是收敛的
证明我们来看看
因为取了绝对值之后
反常积分是收敛的
由柯西准则告诉我们
上面那句话
对于任意的ε>0
存在着一个M是大于a的常数
使得对于任意的A一撇A两撇大于M
都有从A一撇到A两撇绝对值f(x)这个函数的定积分
是小于ε的
这是绝对值f这么一个反常积分收敛性的柯西准则
因为从A一撇到A两撇f(x)dx
根据定积分的保序关系
它是小于等于从A一撇到A两撇
绝对值f(x)dx的积分
那这样的话我们知道
它一定是小于ε的
也就是说我们从头到尾捋一下
我们可以知道对于任意的ε>0
存在着一个M是大于a的一个实数
使得只要A一撇A两撇都大于M的话
我们从A一撇到A两撇f(x)这么一个定积分的绝对值
一定小于ε
这就是a到正无穷f(x)dx这个函数
反常积分收敛性的柯西准则
所以一定是收敛的
那现在我们可以知道
对于一个可正可负的函数的反常积分的收敛性
如果说我们可以判断出它绝对值之后构成的非负函数
如果反常积分是收敛的
那么它本身一定是收敛的
那么我们就可以给出定义
如果说从a到正无穷
我加上绝对值之后构成的反常积分是收敛的
刚才那个定理告诉我们
不加绝对值本身的一个反常积分一定收敛
我们把本身那个反常积分的收敛性
我们把它称之为绝对收敛
则称a到正无穷f(x)dx绝对收敛
就称它就称原来那个反常积分
把它称之为绝对收敛的这是第一个
第二件事情的话
如果说从a到正无穷
取了绝对值之后这个反常积分是发散的
但是原来a到正无穷f(x)dx
原来那个反常积分是收敛的
我们把这种收敛性
称为a到正无穷
原来那个反常积分
我们把它称为条件收敛
所以我们现在就可以知道
对于一个可正可负的一个一般的函数
那么它的收敛性就分成两类
一类是更强的一种收敛性
就是加上绝对值也收敛
定理保证它本身一定收敛
我们把它称之为绝对收敛
另外一类加上绝对值之后发散了
但它本身是收敛的
那么我们把这类
叫作条件收敛
所以可正可负的函数
它有绝对收敛条件收敛
以及最最糟糕的情况
他就是发散
那么这三种情况
都有可能出现
我们留一个问题
这个问题我们将在下一章讲
这个问题是这么一个问题
是否存在这么一种函数
使得这个函数
它的反常积分是条件收敛
我们讲了半天
我们讲绝对收敛讲条件收敛
那么我们必须要给出这么一个例子
告诉大家条件收敛的反常积分
确确实实是存在的
好刚才我们讲了
有对一般的一个函数来讲
我们把反常积分分为绝对收敛和条件收敛
那么我们必须要给出一个例子
例我们讨论这么一个函数的反常积分
sinx除以x的dx
我们先来看这个函数
x分之sinx
xinx当x从1到正无穷的时候
它是正负交替的
所以这个函数是一个交替
正负交错的这么一个函数
那么先来看看这个函数的反常积分的收敛性
好根据反常积分的定义
它就等于limA趋于正无穷
从1到Asinx除以x
这么一个积分的极限形式
我们再来看看sinx除以x
从1到A这么一个定积分
我们用一下分部积分
等于负的从1到A
dcosx除以x
就等于负的cosx除以x
上限下限是1
上限是A再加上cosx
x分之1的导数
是负的x平方
从1到Adx
我们来看看分别来看这两个极限
第一个极限limA趋于正无穷
负的cosx除以x
下限是1上限是A
就等于limA趋于正无穷
cos1减去cosA除以A就等于cos1
这个极限是存在的
我们再来看看第二个
从1到Acosx除以负的x平方的dx
那么我们来看一看
因为cosx除以负的x的平方的绝对值
是小于等于x平方分之1的
而从1到正无穷x平方分之1
这个反常积分是收敛的
所以我们根据刚才我们讲过的
反常积分的条件收敛和绝对收敛的知识
我们可以知道
这么一个从1到正无穷
cosx除以负的x平方的dx
这么一个反常积分是绝对收敛的
因为它加上绝对值之后
小于等于x平方分之1是收敛的
所以它是一个绝对收敛的
绝对收敛的本身一定收敛
所以第一项当A趋于正无穷的时候
它是有极限的
第二项当A趋于正无穷的时候
我们讲绝对收敛
它本身一定收敛也有极限
所以我们可以知道
我们原来讲的这么一个反常积分
它是一个收敛的
那么我们加上绝对值看一下
讨论它的绝对收敛性
sinx绝对值除以x从1到正无穷dx
我们知道sinx的绝对值除以x
它本身大于等于sin的平方x除以x
sin平方x除以x从三角函数的角度上来讲
就可以写成二分之一的括弧x分之一
减去cos的两倍的x除以x
那么我们来看一下这么一件事情
从1到正无穷二分之一x分之一减去cos两倍的x除以x
这么一个等号右边的反常积分
我们跟我们这个例题一样
sinx除以x的反常积分是收敛的
同样的方法我们可以证明
cosx除以x的反常积分它也是收敛的
所以我们可以知道
在这个反常积分里面
cos两倍的x除以x
从1到正无穷
这个反常积分是一个收敛的
但是从1到正无穷
前面那一项它的反常积分是发散的
一个收敛的反常积分
加上一个发散的反常积分
它必然是一个发散的
所以我们可以得到结论就是
从1到正无穷sinx的绝对值除以xdx
这个反常积分是发散的
这也就是给了我们一个例子
告诉我们原来我们sinx除以x
从1到正无穷
这么一个反常积分本身是收敛的
但是加上绝对值之后是发散的
那么我们把这个收敛
就叫作条件收敛
所以我们可以知道
条件收敛的反常积分
确确实实是存在的
那么我们再来看一看
一般函数的反常积分的收敛性的一个例子
从1到正无穷e的-x次方
负的x平方次方sinxdx
e的负x平方
前面那个函数一定是一个正的函数
sinx从1到正无穷
它是一个正负交错的这么一个函数
所以这么一个构成的函数
它本身是可正可负的一个交错的函数
我们来讨论这么一个函数的
一般函数的反常积分的收敛性
好我们知道e的负x的平方次方sinx绝对值
一定小于等于e的负x平方
而且我们也知道
从1到正无穷e的负x平方这个反常积分一定收敛
原因很简单我们找一个尺度来比较一下
e的负x平方除以x平方分之1
我们讨论这个极限
x趋于正无穷
它就等于limx趋于正无穷
x平方除以e的x平方
这个极限一定是等于0
所以我们可以知道
e的负x平方
作为一个非负函数
远远小于x平方分之1
而x平方分之1
这么一个非负函数的反常积分
已经收敛了
所以原来那个e的负x平方
根据比阶的原则构成的反常积分
它一定收敛
既然是收敛
加上绝对值之后还收敛
那么我们原来这个
本题目要算的
e的负x平方sinx这么一个反常积分
一定是绝对收敛的反常积分
所以绝对收敛的判断
又回到了我们原来刚才讲过的
非负函数的反常积分的收敛性的判断
那么这一套东西
我们可以有我们的办法
比大比小比阶这一套办法
-序言
--序言
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--实数集的界
--实数集的确界
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--思考题
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--分段函数与隐函数
-第二节思考与练习
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-第三节 函数的运算
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-第三节思考与练习
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--函数的凸性
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-第五节 初等函数
--初等函数
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-第一节 数列极限的概念与性质
--无穷大量
-第一节思考与练习
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-第二节 数列极限存在的充分条件
--单调有界收敛定理
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-第四节 函数极限的概念与性质
--函数极限的概念
--函数极限的性质
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--无穷小量的比较
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--间断点的分类
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--导数的概念
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--第七章 定积分--第七节思考与练习
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-第二节 正项级数的收敛判别法
--第八章 级数--第二节 思考与练习
-第三节 任意项级数
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--第八章 级数--第三节 思考与练习
-第四节 函数级数
--第八章 级数--第四节 思考与练习
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--收敛半径与收敛域
--幂级数的分析性质
--幂级数求和
--第八章 级数--第五节思考与练习
-第六节 傅里叶级数
--三角函数的正交性
--第八章 级数--第六节思考与练习
