当前课程知识点：微积分——极限理论与一元函数 > 第一章 实数与函数 > 第四节 函数的初等性质 > 函数的周期性，单调性
下面我们来介绍
函数的第三个简单性质
也就是
函数的周期性
函数周期性
或者是基于周期性的现象
我们并不陌生
比如说我们太阳升起落下还会升起
比如说我们一年的四季
甚至我们平时的代步工具自行车的车轮
实际上它都是周期性运动的
那对于函数来说
所谓函数的周期性
主要指的是
函数值经过一段时间
或者说经过一段距离之后
重复出现这个性质
所以我们函数周期的定义
一般是这样说的
说我假设f(x)它是在负无穷到正无穷上有定义
若存在一个大于0的实数T
使得
对任意的x
我都有f(x+T)=f(x)成立
这时候
我们就说函数f(x)是个周期函数
这个大于0的实数T
我们把它称为是函数f(x)的周期
这是我们函数周期性它的定义
或者说函数周期定义
当然在我们平时用到的函数里面
最常见的周期函数
应该就是我中学学过的三角函数
大家都知道
我们平时说
正弦函数余弦函数
它的周期是2π
而正切函数的周期是π
但是大家也知道
我这个等式肯定是没有问题的
也就是x+4π它的正弦值
应该等于sinx
或者说我写成sin(x+6π)
它应该还是等于sin(x)
那我们为什么说
正弦函数的周期是2π
而不说它的周期是4π或者是6π
这个就是我们一个约定
我们说对周期函数来说
如果它存在最小正周期
我们平时说的周期主要指的就是
它的最小正周期
当然我们马上一个问题就是问
是不是所有的周期函数都存在最小正周期
我们来看一下
前面我们曾经说到的一个函数
就是所谓的狄利克雷函数
也就是说
在有理数的时候函数值取1
在无理数的时候函数值取-1
这个函数
因为它只有两个函数值
所以说
它的函数值肯定是重复出现的
而且我们很容易可以证明这个事情
也就是
对任意的T属于有理数
而且T大于0
我都有这个结论
就是对任意的x属于实数
我有f(x+T)应该就等于f(x)
为什么有这个结论
因为我们如果x是有理数时
根据有理数的运算性质
我们知道x+T也会是有理数
这个时候
f在x和x+T的函数值
都应该是+1
它自然应该是相等的
类似的
如果咱们的x是无理数
那么我们知道无理数x加上有理数T
自然应该还是无理数
所以这个时候
函数f在x+T和x的值都应该是-1
所以说它也是相等的
这样我们就根据周期的定义
证明了
对任意的大于0的有理数
它都满足这个关系式
它自然应该是周期
而我们也知道在大于0的有理数里面
是不会有最小值的
所以T是最小的有理数
你自然就说T/2也是有理数
而且比T还来的小
所以说T不可能是最小的正有理数
这个例子就说明
从周期函数定义
我们知道
就是说并不是
所有的周期函数都存在最小正周期
我想这是需要我们特别注意的
因为我们一谈到周期函数
容易受到三角函数的影响
我想这是关于函数周期性的概念
作为一个简单的练习
请大家自己课下做一下这个题目
也就是说
如果f(x）是一个周期为2的函数
而g(x)是由f(x)通过简单的复合得到的一个函数
那么
我们来问一问
g(x)是不是周期函数
如果是周期函数
它的周期应该是几
请大家自己做一下这道题目
接下来我们来看一下函数的第四个简单性质
就是关于函数的单调性问题
单调性也是我们中学学习函数时
讨论的比较多的一种函数的简单性质
从它的定义来说
它主要是这样说的
说如果对任意的x1小于x2
都在函数的定义域里面
如果我们都有f(x1) 这时候我们就说 这个函数在D上 是单调递增函数 或者是单调增函数 如果对任意的x1 我们都有f(x1)是大于f(x2)的 也就是说函数值的大小关系 与自变量的大小关系 正好是相反的 这时候 我们就说这个函数在D上是单调递减的 或者是叫单调减函数 这是我们在中学学了函数单调性时 给出的一般定义 当然如果从对应关系这个角度来讲 大家想 x1x2对应的是实轴上的两个点 x1 通过一个函数对应 对应到实轴上的另外两个点 如果它是单调递增函数 说明原来在左面的点 或者在左侧的点 仍然还在左侧 所以说从对应的角度来讲 单调性实际上是某种保序性 保持原来点之间左右位置关系的这么一个性质 当然在我们利用单调性这个定义 去讨论有关问题时 有时候我们也说对一个定义在D上的函数来说 对任意的x1 如果x1-x2乘上f(x1)-f(x2) 这个总是大于0的 这说明它是单调递增的 因为这个不等式成立 意味着 函数值的大小关系 与自变量的大小关系是一致的 如果这个表达式它是小于0的 那就说明它是单减的 所以关于单调性 从概念上讲 你既可以用简单的不等关系去刻画 函数随着自变量变大 函数值越来越大这个单调递增的性质 也可以用 这样的代数不等式去刻画 一个函数到底是单调递增还是单调递减 当然也可以从映射的角度 来谈一谈单调性本质上是 一种保序性质 我们最后来做一个简单的题目 也就是说 我们证明一下函数f(x)=x三次方 在它的定义域上是单调递增的 那现在我们来证明 这个函数它是单调递增函数 也就是说 我们要做这件事情 对任意的x1 我们来证一证 f(x2)-f(x1)它是不是确实是大于0的 实际上 这个也就是来看一下 x2^3-x1^3是不是在x2>x1的前提下是大于0的 大家用一个初等的代数公式 可以把这个两数立方差公式 写成(x2-x1)乘上另外一个因子 就是(x2^2+x2x1+x1^2) 因为在给定条件下 这是一个大于0的因子 如果x2x1同号的时候 这个也是一个大于0的因子 所以它的乘积大于0是没问题的 但是如果在x2和x1异号的情况下 我们这个还是大于0的因子 这个时候 我们能不能证明这个也是大于0的 实际上 在它两异号的前提下 大家可以这样去做这个问题 也就是 这个就给它写成(x2+x1)它的平方 也就相当于我给它加一个乘积、减一个乘积 减掉x2乘上x1 因为两个值是异号的 前面完全平方数是大于0的 这个它的负值是大于0的 所以在这个形式下 我们仍然可以判定在异号的时候 第二个因子也是大于0的 这样我们就证明了 在x2>x1的前提下 f(x2)-f(x1)永远是严格大于0的 所以说 三次函数在它的定义域上是个单调递增函数 我想最后给大家讨论这个例题 说明这个函数的单调性 并不是我们的主要目的 我只是想告诉大家一件事情 尽管单调性的概念大家理解起来没有问题 表述也很清楚 但是我们能不能只用单调性的定义 去讨论所有函数的单调性问题 实际上通过这个例子大家知道 即使这么简单的函数 讨论起来也是非常复杂的 何况我们还会碰到更一般的函数 所以说定义并不是我们讨论函数单调性的方法 在微积分里面 我们在后边 会介绍 讨论单调性的更一般的方法
-序言
--序言
-第一节 实数集的界与确界
--实数集的界
--实数集的确界
-第一节思考与练习
--思考题
--练习题
-第二节 函数的概念
--分段函数与隐函数
-第二节思考与练习
--思考题
--练习题
-第三节 函数的运算
--函数的反函数
-第三节思考与练习
--思考题
--练习题
-第四节 函数的初等性质
--函数的凸性
-第四节思考与练习
--思考题
--练习题
-第五节 初等函数
--初等函数
-第五节思考与练习
--思考题
--练习题
-第六节 极坐标方程与参数方程表示的几种曲线
-第一节 数列极限的概念与性质
--无穷大量
-第一节思考与练习
--思考题
--第二章 极限论--第一节思考与练习
-第二节 数列极限存在的充分条件
--单调有界收敛定理
-第二节思考与练习
--思考题
--第二章 极限论--第二节思考与练习
-第三节 Bolzano定理与Cauchy收敛准则
-第三节思考与练习
--思考题
--第二章 极限论--第三节思考与练习
-第四节 函数极限的概念与性质
--函数极限的概念
--函数极限的性质
-第四节思考与练习
--思考题
--第二章 极限论--第四节思考与练习
-第五节 函数极限的运算
-第五节思考与练习
--思考题
--第二章 极限论--第五节思考与练习
-第六节 无穷小量及其（阶的）比较
--无穷小量的比较
-第六节思考与练习
--思考题
--第二章 极限论--第六节思考与练习
-第一节 连续函数的概念与性质
--间断点的分类
--连续函数的性质
-第一节 思考与练习
--思考题
--第三章 连续函数--第一节 思考与练习
-第二节 闭区间上连续函数的性质
-第二节 思考与练习
--思考题
--第三章 连续函数--第二节 思考与练习
-第三节 函数的一致连续性
--一致连续的概念
-第三节 思考与练习
--思考题
--第三章 连续函数--第三节 思考与练习
-第一节 导数与微分的概念
--导数的概念
--导数的几何意义
--微分概念
-第一节 思考与练习
--思考题
--第四章 导数与微分--第一节 思考与练习
-第二节 导数与微分的运算
--导数的四则运算
--反函数求导法
-第二节 思考与练习
--思考题
--第四章 导数与微分--第二节 思考与练习
-第三节 几种特殊函数的求导法、高阶导数
--高阶导数
-第三节 思考与练习
--思考题
--第四章 导数与微分--第三节 思考与练习
-第一节 微分中值定理
--Fermat定理
--Rolle定理
-第一节 思考与练习
--思考题
--第五章 导数应用--第一节 思考与练习
-第二节 L'Hospital 法则
--0/0型不定式
--∞/∞型不定式
--其他形式的不定式
-第二节 思考与练习
--思考题
--第五章 导数应用--第二节 思考与练习
-第三节 函数的单调性与极值
--函数的单调性
--函数的极值
--函数最值的求法
-第三节 思考与练习
--思考题
--第五章 导数应用--第三节 思考与练习
-第四节 函数的凸性与拐点
--函数凸性的判别法
--拐点
--曲线的渐近性
-第四节 思考与练习
--思考题
--第五章 导数应用--第四节 思考与练习
-第五节 Taylor 公式
-第五节 思考与练习
--思考题
--第五章 导数应用--第五节 思考与练习
-第一节 概念与性质
--原函数的概念
--6-1视频纠正
-第一节思考与练习
--思考题
--第六章 原函数与不定积分--第一节思考与练习
-第二节 换元积分法
--第一换元法
--第二换元法
-第二节思考与练习
--思考题
--第六章 原函数与不定积分--第二节思考与练习
-第三节 分部积分法
--分步积分法
-第四节 有理函数的积分
--html
--第六章 原函数与不定积分--第四节思考与练习
-第五节 简单无理式的积分
--无理函数的有理化
--第六章 原函数与不定积分--第五节思考与练习
-第一节 积分概念与积分存在条件
--定积分的概念
-- 函数的可积性
--第七章 定积分--第一节思考与练习
-第二节 定积分的性质
--定积分的性质
--定积分性质的应用
-第三节 变上限积分与Newton—Leibniz公式
--变上限积分
--复合变限积分
--定积分的计算
--第七章 定积分--第三节思考与练习
-第四节 定积分的换元积分法与分部积分法
--第七章 定积分--第四节思考与练习
-第五节 定积分的几何应用
--平面区域的面积
--曲线的弧长
--平面曲线的曲率
--第七章 定积分--第五节思考与练习
-第六节 定积分的物理应用
--物理应用简介
-第七节 反常积分
--反常积分
--其他无穷积分
--第七章 定积分--第七节思考与练习
-第一节 数项级数的概念与性质
--第八章 级数--第一节 思考与练习
-第二节 正项级数的收敛判别法
--第八章 级数--第二节 思考与练习
-第三节 任意项级数
--交错项级数
--绝对值判敛法
--第八章 级数--第三节 思考与练习
-第四节 函数级数
--第八章 级数--第四节 思考与练习
-第五节 幂级数
--Abel判别法
--收敛半径与收敛域
--幂级数的分析性质
--幂级数求和
--第八章 级数--第五节思考与练习
-第六节 傅里叶级数
--三角函数的正交性
--第八章 级数--第六节思考与练习
