当前课程知识点：微积分——极限理论与一元函数 > 第八章 级数 > 第三节 任意项级数 > 绝对值判敛法
前面我们介绍了 交错项级数
我们知道交错项级数
由于它正负号的特点 我们给出了
一个所谓的莱布尼兹判敛法
接下来我们看一看
对一般的任意项级数
我们如何判断它们的敛散性
为了判断任意项级数的敛散性
我们先给出两个概念
一个就是所谓的 条件收敛
条件收敛指的是这样子的
就是如果这个级数
n从1到无穷 an 本身它是收敛的
但是它的通项的绝对值
构成的级数是发散的
在这两个条件下
我们就称原来这个级数
它是条件收敛的
所以说条件收敛不仅要求它自己收敛
同时它还不让它的绝对值级数是收敛的
这时候是所谓的条件收敛
第二个概念
我们引进来的 是绝对收敛
绝对收敛 它指的是
如果一个级数它的绝对值级数
也就是通项取完绝对值之后
得到的级数 它是收敛的
我们这个时候就称原来这个级数
是绝对收敛的
这是条件收敛和绝对收敛的概念
有了这两个概念之后
对一般的任意项级数
我们就得到了一个
判断它们收敛的方法
这个就是所谓的绝对值判敛法
它是说 如果 一个级数
它的通项取完绝对值之后是收敛的
那么这个级数本身它应该也是收敛的
这就是我们平时说的
对任意项级数来说 绝对收敛必收敛
所以说 对一个任意项级数
我们可以先看一看它的绝对值级数
这就是一个正项级数
如果我们有办法
能够判断这个正项级数是收敛的
那么这个定理就告诉我们
这时候这个级数本身也是收敛的
我们先看一下这个定理的证明
这个定理的证明 我们可以
用前面介绍过的正项级数的判敛法
和收敛级数的有关性质进行证明
因为根据绝对值的性质
我们知道 就是说
an加上an的绝对值
这应该是大于等于0的
但是它应该是小于等于
2倍的an的绝对值
这是利用绝对值的简单性质
得到的一个不等式
在我们这个定理里面 条件说
以它为通项的级数收敛
那么根据正项级数的比较判敛法
我们就知道以这个表达式
做通项的级数也是收敛的
所以我们这个以an做通项的级数
我们可以给它表示成
an加上an的绝对值
再减掉an的绝对值
现在我们的条件是
这个绝对值做通项的级数收敛
而这个表达式做通项的级数
也是收敛的
那么根据收敛级数的加减运算
我们就知道
以an做通项的级数也是收敛的
这就是我们这个
绝对值判敛法的证明过程
这是利用正向级数的比较判敛法 和
收敛级数的加减运算得到的这个结论
当然对这个绝对值判敛法
我们也可以用级数收敛的
柯西充要条件给出证明
如果利用柯西充要条件给出证明的时候
我们主要就是看k从n+1到n+p
那么对ak求和 这个绝对值
根据绝对值的三角不等式
这一个自然就小于等于一个k从n+1加到n+p
这就是ak的绝对值求和
因为级数本身这一个是收敛的
那么对任意的ε大于0
我们自然能够找到一个N
当n大于N时 对任意的p大于0
我们这个表达式是小于ε的
从而 这个表达式自然也小于ε
而这个表达式小于ε
正好是我们这个级数
它收敛的柯西充要条件
所以利用柯西充要条件
来证明这个绝对值判敛法也是可以的
接下来我们来看两个例子
第一个例子 我们来讨论一下
n从1到无穷n分之p的n次方
这个级数 它的敛散性
当然 因为这个级数 这个p 可正可负
所以说它应该是一个
就是说 变号的级数
对这个级数 我们把它处理成
一般的任意项级数
我们考虑 它的通项的绝对值
在p等于0时 这个特殊情况
通项都是0
所以说它是收敛的
在p不等于0时
它的后n项跟前n项绝对值之比
应该就是n+1分之p的n+1次方的绝对值
再乘上p的n次方分之n的绝对值
在这个 让n趋向无穷时
我们可以看到 这个绝对值之比的极限
是p的绝对值
根据正项级数的比值判敛法
我们就知道 当p的绝对值小于1时
这个级数 应该是绝对收敛的
根据绝对值判敛法
它这个级数本身也是收敛的
如果 这个p绝对值大于1
这个时候
我们知道这个绝对值级数的通项
也就是n趋向无穷时
pn除上n 这个绝对值
它是个正无穷大量
所以说原来级数的通项
不是无穷小量
不满足收敛的必要条件
因此原来的级数是发散的
如果 p的绝对值等于1
我们就看 p等于1时
p等于1时
原来的级数就变成了调和级数
它当然是发散的
如果p等于-1的时候
原来的级数变成了
一个满足莱布尼兹条件的交错项级数
也就是说它通项的绝对值是单减
而且通项是趋向于0的
根据交错级数的莱布尼兹判敛法
它是收敛的
这样 我们就根据p的取值
给出了相应的级数的敛散性
这是第一个例题
接下来我们来看第二个例题
n从1到无穷 n的a次方乘上b的n次方
其中这个b是大于0的
我们来看一下这个级数
因为这个级数 这个b是可正可负的
所以说
我们也把它处理成一个任意项级数
那我要是讨论它们的收敛性
我们就看一下 如果b是等于0的
级数显然是收敛的
如果b不等于0时
我们考虑它的绝对值级数
后一项跟前一项这个之比
也就考虑这个比值
这个时候
也注意到它应该极限是b的绝对值
所以说 当b的绝对值小于1时
这个级数 它是绝对收敛的
从而级数本身也是收敛的
这是绝对判敛法
如果b的绝对值大于1
这个时候
我们知道这个数列是一个正无穷大量
它是个正无穷大量
也就是原来的数列
通项并不是无穷小量
不满足收敛的必要条件
所以说级数是发散的
如果这个b它是等于1的
b等于1的时候
原来的级数就变成了n的a次方
这个如果大家 可以
给它转化一下的时候
就转化成了p级数的形式
n的负a次方分之一
那么对p级数 我们自然知道
如果-a它是大于1的时候
也就是a小于-1时
它应该是收敛的
其他情况 也就是-a小于等于1时
它是发散的
同样 在b等于-1时
我们原来这个级数
就变成了-1的n次方
再除上n的-a次方
实际上 只要这个-a 它是大于0的
它就是莱布尼兹条件下的交错级数
它自然应该是收敛的
如果我们进一步问
这个交错项级数
是条件收敛还是绝对收敛
我们自然就这样说
-a如果是大于1的时候
这个级数应该是绝对收敛的
但是 如果-a它是
大于0小于等于1的时候
这个级数应该是条件收敛的
也就是说 这个时候它本身是收敛的
但是它的绝对值级数 是发散的
这两个例题 就是我们利用绝对值判敛法
如何讨论具体的
任意项级数的敛散性的具体过程
实际上 在这两个例题中
我们可以看出
我们用绝对值判敛法 主要就是考虑
原来这个任意项级数的绝对值级数
对这个绝对值级数
我们用比值判敛法
或者是说有时候我们用根式判敛法
如果我们能判断绝对值级数是收敛的
原来级数当然是收敛的
如果我们用的是判敛法
或者是根式判敛法
我们知道那个极限大于1的时候
这时候它的绝对值级数的通项
是正无穷大量 它就说明
原来的级数的通项不是无穷小量
它不符合收敛的必要条件
所以说原来级数也是发散的
我们最后推出原来级数发散
并不是因为它的绝对值级数发散
说原来的级数发散 是因为
它绝对值级数的通项是正无穷大量
-序言
--序言
-第一节 实数集的界与确界
--实数集的界
--实数集的确界
-第一节思考与练习
--思考题
--练习题
-第二节 函数的概念
--分段函数与隐函数
-第二节思考与练习
--思考题
--练习题
-第三节 函数的运算
--函数的反函数
-第三节思考与练习
--思考题
--练习题
-第四节 函数的初等性质
--函数的凸性
-第四节思考与练习
--思考题
--练习题
-第五节 初等函数
--初等函数
-第五节思考与练习
--思考题
--练习题
-第六节 极坐标方程与参数方程表示的几种曲线
-第一节 数列极限的概念与性质
--无穷大量
-第一节思考与练习
--思考题
--第二章 极限论--第一节思考与练习
-第二节 数列极限存在的充分条件
--单调有界收敛定理
-第二节思考与练习
--思考题
--第二章 极限论--第二节思考与练习
-第三节 Bolzano定理与Cauchy收敛准则
-第三节思考与练习
--思考题
--第二章 极限论--第三节思考与练习
-第四节 函数极限的概念与性质
--函数极限的概念
--函数极限的性质
-第四节思考与练习
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--第二章 极限论--第四节思考与练习
-第五节 函数极限的运算
-第五节思考与练习
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--第二章 极限论--第五节思考与练习
-第六节 无穷小量及其（阶的）比较
--无穷小量的比较
-第六节思考与练习
--思考题
--第二章 极限论--第六节思考与练习
-第一节 连续函数的概念与性质
--间断点的分类
--连续函数的性质
-第一节 思考与练习
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--第三章 连续函数--第一节 思考与练习
-第二节 闭区间上连续函数的性质
-第二节 思考与练习
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--第三章 连续函数--第二节 思考与练习
-第三节 函数的一致连续性
--一致连续的概念
-第三节 思考与练习
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-第一节 导数与微分的概念
--导数的概念
--导数的几何意义
--微分概念
-第一节 思考与练习
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-第二节 导数与微分的运算
--导数的四则运算
--反函数求导法
-第二节 思考与练习
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--第四章 导数与微分--第二节 思考与练习
-第三节 几种特殊函数的求导法、高阶导数
--高阶导数
-第三节 思考与练习
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-第一节 微分中值定理
--Fermat定理
--Rolle定理
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--第五章 导数应用--第一节 思考与练习
-第二节 L'Hospital 法则
--0/0型不定式
--∞/∞型不定式
--其他形式的不定式
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--第五章 导数应用--第二节 思考与练习
-第三节 函数的单调性与极值
--函数的单调性
--函数的极值
--函数最值的求法
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--函数凸性的判别法
--拐点
--曲线的渐近性
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--第一换元法
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-第三节 分部积分法
--分步积分法
-第四节 有理函数的积分
--html
--第六章 原函数与不定积分--第四节思考与练习
-第五节 简单无理式的积分
--无理函数的有理化
--第六章 原函数与不定积分--第五节思考与练习
-第一节 积分概念与积分存在条件
--定积分的概念
-- 函数的可积性
--第七章 定积分--第一节思考与练习
-第二节 定积分的性质
--定积分的性质
--定积分性质的应用
-第三节 变上限积分与Newton—Leibniz公式
--变上限积分
--复合变限积分
--定积分的计算
--第七章 定积分--第三节思考与练习
-第四节 定积分的换元积分法与分部积分法
--第七章 定积分--第四节思考与练习
-第五节 定积分的几何应用
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--曲线的弧长
--平面曲线的曲率
--第七章 定积分--第五节思考与练习
-第六节 定积分的物理应用
--物理应用简介
-第七节 反常积分
--反常积分
--其他无穷积分
--第七章 定积分--第七节思考与练习
-第一节 数项级数的概念与性质
--第八章 级数--第一节 思考与练习
-第二节 正项级数的收敛判别法
--第八章 级数--第二节 思考与练习
-第三节 任意项级数
--交错项级数
--绝对值判敛法
--第八章 级数--第三节 思考与练习
-第四节 函数级数
--第八章 级数--第四节 思考与练习
-第五节 幂级数
--Abel判别法
--收敛半径与收敛域
--幂级数的分析性质
--幂级数求和
--第八章 级数--第五节思考与练习
-第六节 傅里叶级数
--三角函数的正交性
--第八章 级数--第六节思考与练习
