三角函数的正交性在线视频

好 我们今天开始讲一类

新的函数项级数

傅里叶级数

傅里叶级数是函数项级数

它的每一项都是三阶级数组成的

一般的情况下的一个傅里叶级数

Σn从1到正无穷

ancosnx加上bnsinnx

前面有一个常数项

那么由这个三角函数所构成的

我们把它叫三角级数

或者说傅里叶级数

那么我们现在碰到的问题就是

一个函数f(x)

是不是可以展开成拿这个傅里叶级数

作为和函数

我们的问题是这样

什么样的f(x)可以做展开

如果可以做展开的话

那些an bn都是什么样的一些数

或者说等价的条件下

在an和bn取什么样的数的时候

这个三角函数所构成的函数项级数收敛

并且收敛到我们想要的f(x)上去

我们可以发现

这个三角函数所构成的每一个分项

都是以2π为周期的

所以如果说可以展开

对于f(x)来讲

也必须是以2π为周期的函数

所以我们先讨论2π为周期的周期函数

它的三角级数展开

或者说傅里叶展开

在讨论展开之前

我们先讨论第一件事情

就是关于三角函数系

1 cosx sinx cos2x sin2x cosnx sinnx

这是一系列函数

这一系列函数满足的重要性质

就是它的正交性

两个函数正交

我们还从来没有定义过

我们先来定义一下

什么叫两个函数是正交的

如果说在这么一个区间上[-π,π]

这么一个区间上定义的两个函数

一个是f(x) 一个是g(x)

都是简单一点 就是都是连续函数

如果从-π到πf(x)乘上g(x)的积分等于0

非零的函数

如果两个函数乘积的积分等于0

那么我们则称

f(x)和g(x)两个函数

在这个区间上是正交的函数

所以我们给出两个函数正交的定义

那么现在我们要证明

我们刚才所给出来的一系列

由常数项 正弦函数 余弦函数

所组成的函数列 彼此都是正交的

我们要证明彼此都是正交的

我们就要来证明这么一件事情

我们来证明这件事情

我们来看看

先证明1和所有的正弦函数

以及所有的余弦函数都是正交的

我们来看看

从-π到π 1乘上cosnx dx

我们把它积分积出来

根据Newton-Leibniz公式

把上限下限朝里面一代

我们发现它一定是等于0的

我们再来看看

1这个函数和所有的正弦函数

sinnx dx积分

最后发现也是等于0的

所以我们可以知道

1和余弦函数都是正交的

1和所有的正弦函数也都是正交的

第二件事情我们再来看看

余弦函数彼此之间是不是正交的

那么n和m是两个正整数

我们来看看-π到π

cosmx乘上cosnx的dx

我们来看看这个积分

我们根据两个函数乘积化和差的公式

它就等于二分之一从-π到π

cos(m+n)x+cos(m-n)x这个函数的积分

就分成两种情况

第一种情况

当m不等于n m和n是不同的正整数的时候

这个积分你可以算一下

一定是等于0的

当m和n是两个相同的正整数的时候

这个积分是等于π的

同样我们也可以来算一下

正弦函数彼此之间的

sinmx乘上sinnx的dx

同样可以得到相同的结果

等于π 当m等于n的时候

等于0 当m不等于n的时候

最后我们要来看一下

正弦函数和余弦函数彼此之间的正交性

从-π到π sinmx乘上cosnx dx

我们知道根据积化和差公式

就等于二分之一从-π到π

sin(m+n)x-sin(m-n)x

这个函数的积分

一定都是等于0的

所以我们可以知道

这个我们现在得到三角函数列里面

彼此都是正交的

所以我们把这个三角函数列

叫正交函数族

这是我们知道的第一个结果

然后我们再来看看

如果说有一个函数f(x)

可以用这一列三角函数的和函数来表示

我们再假设

这个函数列可以逐项积分

那么我们来看看

这些系数都应该是什么样的数

那么我们两边同时乘上1

乘上f(x)dx从-π到π积分

就应该是等于-π到π

1乘上二分之a0dx

逐项积分 加上Σn从1到正无穷

an乘上-π到π

1乘上cosnx的积分

加上bn乘上-π到π

1乘上sinnx的积分

根据正交性 我们知道

1乘上cosnx在正负π上的积分是等于0的

所以所有的an都不会有的

系数全是0

同样根据正交性 我们可以知道

sinnx乘上1的积分也等于0

所以后面的和式全部是等于0

也就是等于二分之a0乘上2π

就是π乘上a0

所以我们可以发现

a0就等于π分之一从-π到π

f(x)的乘上1的积分

这就是这个三角级数

所应该出现的数值

这件事情我们还可以再做

怎么做呢

如果说我举一个例子

我两边-π到πcosnx的乘上f(x)的积分

那么相当于二分之a0乘上cosnx的积分是等于0

后面一大堆的和式里面一大堆东西

除了cosnx和cosnx自己本身的

乘积的积分不等于0之外

其余的都等于0

cosnx和cosmx如果m不等于n的话

在正负π上的积分一定是等于0

那么cosnx和sinmx的积分

同样由于正交性 全部是等于0

所以这个积分最后算出来

就是等于只有一个系数剩下了

再乘上cosnx的平方的积分等于π

所以所有的an就等于

π分之一从-π到π积分

f(x)cosnx dx

同样所有的bn就等于

π分之一从-π到π

f(x)sinnx dx

这样的话我们得到的结论就是

假如说f(x)可以由三角级数来做展开

假如说f(x)的三角级数的展开

具有逐项可积分的性质

那么我们这些三角级数前面的系数

a0一定要写成π分之一

从-π到π的积分f(x)的积分

an一定可以写成π分之一

从-π到π的积分f(x)cosnx的积分

bn一定可以写成π分之一

从-π到π的积分f(x)sinnx的积分

其中这个n是可以等于1 2一直下去

我们把这一堆系数

我们给一个名字

叫做傅里叶系数

我们把它称之为傅里叶系数

那么现在我们又碰到一个新的问题

如果说f这个函数可以用三角级数表示

如果说这个三角级数具有逐项可积分的性质

那么f它的三角级数表示的an和bn

一定要满足它是傅里叶系数

但是问题就是说

什么样的函数f(x)

可以用这个三角级数来表示

什么样的函数f(x)

最后得到的三角级数可以逐项积分

那我们还不知道

所以在我们研究

什么样的函数才能满足我们的要求之前

我们对这个三角级数

我们不能写成相等

因为我们知道

an和bn所以的都是傅里叶系数

但是构成的这么一个函数项级数

是不是收敛我不知道

如果收敛的话

是不是收敛到f(x)

我也不知道

那么我们做一点点的修正

我们不能写等号

一写等号表示相等

我们写这么一个符号

我们把这个级数

当an和bn取傅里叶系数的时候

把这个级数就叫做形式傅里叶级数

我们也知道

对于f这个函数

实际上只要f是一个可积的函数

2π为周期的可积函数

那么我们就可以算出an和bn

这些傅里叶系数

从而我们可以得到f的

形式傅里叶级数它的样子

所以得到形式傅里叶级数

对f这个函数的要求

只要是可积就可以了

好我们下面来看一看

给几个例子来看一下

形式傅里叶级数是如何来计算的

好我们来看第一个例子

f(x)是2π为周期的周期函数

f(x)等于x 当x属于(-π,π]的时候

我们画一下图 这个f大概是什么样子

就是这么一个周期函数

朝左右分别可以拷贝的

那么我们来看看这么一个周期函数

它的傅里叶级数

我们可以知道

a0就等于π分之一从-π到π xdx

是等于0的

所有an就等于π分之一从-π到π

x乘上cosnx dx

都是等于0的

所有的bn等于π分之一从-π到π

x乘上sinnx 积分

我们可以最后算出来结果

它就等于(-1)^n-1 n分之2

n可以是等于1 2 ...

所以f(x)这个函数

它的形式傅里叶级数

就是Σn从1到正无穷

(-1)^n-1 2/nsinnx

这就是f这个函数的形式傅里叶级数

我们可以观察到一点

很特别的地方

就是f这个函数

所有的cos前面的系数an

和常数项a0都是等于0的

剩下的只有sin前面的系数

那么这个现象也不是偶然的现象

因为f(x)在正负π上是个奇函数

一个奇函数乘上 cos是个偶函数

在对称的区间上积分一定是等于0的

所以 实际上我们后面也会讲到一点

如果f(x)是个奇函数

那么f(x)这个函数的形式傅里叶级数

只剩下跟sin有关系前面的项

其余的都不会有

我们把这个级数 我们后面会讲到

叫做正弦傅里叶级数

我们强调这个是一个形式傅里叶级数

因为我们从来没有证过

这个三角级数收敛不收敛

即便是收敛的

它到底收敛到什么地方去

到目前为止 我们统统没有说过

所以我们不能写等号

只能写这么一个符号

表示它只是形式上的傅里叶级数

但是等不等我们不知道

好 我们再来看一道例题

f(x)仍然是一个2π为周期的周期函数

当x在正负π的时候

f(x)就等于e的-x

我们画一下图

这是-π 这是π f(x)就是这么一个曲线

-π是要的

π这点是开区间

它是一个周期函数

所以有一个周期开拓

f(x)大概形状就是这么一个2π的周期函数

我们要求f等于e的-x的形式傅里叶级数

我们来算一算

a0就等于π分之一从-π到π

e的-x的dx

也就等于π分之一

e的π次方减去e的-π次方

这是a0

那么an我们也可以算一下

就等于π分之一从-π到π

e的-xcosnx dx

这是一个e的-x和三角函数cosnx

乘积的积分

那么通过分部积分两次

可以把它变回到这个积分本身

然后我们可以算出来

结果就等于(-1)^n除以π

e的π次方减去e的-π次方除以1+n的平方

这是an

bn我们也可以算一下

就等于π分之一从-π到π

e的-xsinnx的积分

就等于(-1)^nπ再乘上n 除以

e的π次方减去e的-π次方除以1+n的平方

我们可以算出形式傅里叶级数的系数

这里n可以等于1 2 3一直下去

那么f(x)的形式傅里叶级数

它只是形式傅里叶级数

等于2π分之一e的π次方减去e的-π次方

2分之a0

加上Σn从1到正无穷

(-1)^n e的π减去e的-π

除以π乘上1+n的平方 cosnx

再加上(-1)^n乘上n

e的π次方减去e的-π次方

除以π乘上1+n的平方 sinnx

加一个括弧

所以f(x)的形式傅里叶级数

可以写成写成

下面这个级数的三角级数的形式

那么要注意

我们这里面仅仅讲的是

形式上的傅里叶级数

我们还没有谈到收敛性

更没有谈到收敛到哪去了