Maclaurin公式在线视频

好前面我们给出了函数带有Peano型余项

和带有Lagrange型余项Taylor公式的概念

并给出了有关的结论

接下来我们来看一下

在一个特殊点处Taylor公式

这个我们也就是所谓的Maclaurin公式

Maclaurin是英国十八世纪初的数学家

应该是大名鼎鼎的牛顿的学生

现在所谓的Maclaurin公式指的是什么

实际上大家看一下也就是说

x0等0处的Taylor公式

我们就称为函数的Maclaurin公式

所以说如果函数在0那点具有n阶导数时

那么我们可以写出k从0到n

k的阶乘分之f的k阶导在0那点的值

再乘上x减0

也就是x的k次方

再加上o(x的n次方)

这就是如果函数在0那点具有n阶导数时

我们写出的0那点的

带有Peano型余项的Taylor公式

也就是所谓的Maclaurin公式

如果函数它在包含原点的某个区间上

具有n加1阶导数

那么对于这个区间中的任何一个点x来说

我们还有下面这个Taylor公式

也就是k从0到n求和

k的阶乘分之一它的k阶导在0点的值

再乘上x的k次方

再加上n加1的阶乘分之它的n加1阶导

在某一点ξ处的值

再乘上x的n加1次方

其中这个ξ是介于0和x之间的一个数

这就是说如果函数在包含原点的某个区间上

具有n加1阶导数时

在这个区间内

对每一个点x来说这个公式是成立的

这自然就是n阶带有Lagrange型余项的Taylor公式

这个就因为是在0这一点的

这个时候我们也把它称为是

带有Lagrange型余项的Maclaurin公式

所以说Maclaurin公式并不是一个新的公式

只是说特殊点的Taylor公式

那接下来你可能要问

我有了一般点的为什么要讨论特殊点的

因为就是说特殊点的Taylor公式

我们一旦讨论清楚了

实际上我们做一个平移

就会得到一般点的Taylor公式的情况

所以说我们就把一个一般的Taylor公式问题

放到特殊点来讨论

这对我们来说当然会引进好多简单的计算

或者说会给我们造成一些方便

这也是数学上常用的一个方法

如果说能够把具体的情况讨论清楚

很容易推广到一般的情况的时候

你自然没有必要一上来讨论一般的

只要把具体的搞明白就行了

我想Maclaurin跟Taylor公式的关系

应该就是这么一个关系

接下来我们在微积分里面

经常用到几个简单函数的Maclaurin公式

所以我就说几个函数的Maclaurin公式

第一个譬如说f(x)等于e的x次方

对这个函数来说大家知道

它的各阶导数应该是它自己

那么它的各阶导数在0这点的值应该都等于1

我们把这个各阶导数的表达式

以及它在0这点的各阶导数的值

往上面一放你自然就会得到

这个函数f(x)也就是e的x次方

它就应该等于k从0到n

k的阶乘分之一乘上x的k次方

如果写的是Peano型余项就是o(x的n次方)

如果我们写的是Lagrange型余项

自然就是写成这个样子

加上一个n加1的阶乘分之一

e的x次方在某一点ξ处的值

再乘上x的n加1次方

其中这这个ξ是介于x和x0之间的某一个点

我想关于这个特殊指数函数的Maclaurin公式

应该是在微积分里面我们最常用的几个Taylor公式之一

这是第一个

第二个譬如说就是sinx

也就是f(x)等于sinx

我们知道sin的k阶导数应该就等于

sin(x加上k倍的二分之π)

那么它的k阶导数在0这点的值

也就是sin二分之kπ

那这个时候大家知道当k如果是偶数时

譬如说等于两倍m时

这个时候应该是等0的

当k是奇数时

譬如说等于两倍m加1时

这个时候我只知道这个sin的绝对值是等1的

但是这个sin有时候是等正1

有时候是等负1

那大家做一个简单的归纳就行了

k等1时它自然是等正1

k等3时应该就是负1

k等5时又是正1

你马上就知道也就是说在这个时候

m等0时它是正的

m等1是负

m等2是正

m等3又是负

那就这样可以写成是负1的就是m次方

这样我们就把这个正弦函数

在0点的各阶导数值表示出来了

那么如果我们写它的Taylor公式

也就是说我们的sinx应该等于

譬如m从0到n

然后这个时候我们就可以这样写啦

就是说这底下是2m加1它的阶乘

上面应该是负1的m次方

然后这个地方乘上的是x的2m加1次方

如果写Peano型余项

就是o(x的2m加1次方)高阶无穷小

应该写成这样

当然一般来说我们表示这个下标的时候

有时候也可以用k也可以用n

但是用什么我觉得并不重要

大家只是看我们现在写的

并不是它的n次Taylor多项式

而我们写出来的应该是2n加1次Taylor多项式

在这里面因为正弦函数是个奇函数

所以说在这个0处的Taylor公式

也就是Maclaurin公式里面

多项式是不会出现偶数次方项的

另外大家知道如果我来写它的2m加2次多项式

应该跟2m加1次是一样的

也就是说最后这个m取成n的时候

2n加1次Taylor多项式跟2n加2次应该是一样的

因为后面的x的2n加2次方应该系数是0

换句话说如果我写余项的时候写成这样也是对的

m等0到n然后这是负1的m次方除上2m加1这是阶乘

x的2m加1

这个写成o(x的2m加2)也是一样的

我想这是正弦函数带有Peano余项的Maclaurin公式

类似的大家可以看一下我们的余弦函数

也就是f(x)等于cosx

大家知道它的k阶导数应该就等于

cos(x加上一个k倍的二分之π)

那与前面这个函数一样我们也可以把它在0那点的

各阶导数值给表示出来

表示出来当然它会奇数阶导数值是等0的

偶数阶导数值有时候是等正1

有时候是等负1

大家简单做一个归纳

你会得到这个结论

也就是cosx应该等于m从0到n

这个是一个2m括起来的阶乘

这个是负1的m次方

这个乘上的是x的2m次方

这个一般我们写成是o(x的2n加1次方)

这个地方应该是2n加1和2n加2

因为我们最后是求到n的

那这个地方我直接就写到了

2n加1次方的高阶无穷小

我们没有写x的2n次方的高阶无穷小

大家自然应该也知道理由是什么

因为cosx本身是个偶函数

那么它的Taylor多项式里面

应该不会出现奇数次方项

不出现奇数次方项的时候

言外之意就是它的2n次Taylor多项式

和它的2n加1次Taylor多项式是一样的

所以说我们用带有Peano型余项的Taylor公式的时候

我可以把前面这个2n次Taylor多项式理解成

它的2n加1次Taylor多项式

自然余项形式可以写成这样

这是第三个例子

接下来第四个例子

也就是第四个简单函数

我们一般是写f(x)等于1加上x的α次方

我想这一个它的k阶导数大家都能求的出来

求出来之后它k阶导数在0点的值

大家自然也能够做的出来

所以说这个地方我就直接写结果

1加x的α次方应该等于k从0到n

底下是k的阶乘

上面是α乘上α减1

一直乘到α减k加1

应该是这样

这面乘上x的k次方

这面加上o(x的n次方)

这就是它在原点的带有Peano型余项的Taylor公式

或者说这就是它带有Peano型余项的Maclaurin公式

在这个公式里面实际上我们经常用的是这两种形式

一个是1加x分之一

也就是1加x的负1次方

就是α等负1的情况

大家代进去给它写一下

这应该就是k从0到n

这应该是一个负1的k次方

x的k次方

然后再加上o(x的n次方)

应该就是这个样子

因为这时候大家注意α是负1的时候

也就是负1负2负3

这样一直乘下去

乘下去之后正好给我那个Taylor多项式里面

那个k的阶乘给消掉了

但是呢上面那个k个负1乘起来还要放在这

所以负1的k次方写成这样

大家注意实际上这个关系式

如果当x绝对值小于1时后面这个东西是趋向于0的

趋向于0

请大家回忆一下你在中学是不是学过几何级数

或者说在中学你是不是学过等比数列

那我就问大家

首项为1 公比是负x的那个等比数列

那个前n项的和是什么

另外当x的绝对值小于1时

这个所有项的和是什么

大家想一想就会与我们这个等式联系起来

当然在这里面如果我们把x变成负x时

这也是常用的一个公式

变成负x这出来一个负1的k次方

跟负1的k次方做乘积

所以这时候自然就是k从0到n

这是x的k次方加上o(x的n次方)

我们常用的最后一个函数应该是

f(x)等于ln(1加x)

这个在讲高阶导数时我们曾经说过

因为这个函数的k阶导数

相当于是这个函数的k减1阶导数

那大家把它的k阶导数求出来

把它在0那点的k阶导数值算出来

算出来之后往Taylor多项式里面那个定义一代

我们是不是可以直接写

ln(1加x)实际上就等于k从1到n

大家注意k是从1开始的

这面是负1的k减1次方 底下是k

这面是x的k次方

再加上o(x的n次方)

也就是说我们利用它高阶导数的表达式

以及Taylor多项式的定义

我们很容易就把我们常见的几个函数

至少它带有Peano型余项的Taylor公式

就是一下子可以写的出来

我想这几个结论如果大家能够记住

对我们处理一些做Taylor展开的问题

自然是有很大帮助

即使大家记不住也没关系

你一定要清楚我怎么得来的

实际上我就利用了这几个函数的高阶导数的表达式

以及Maclaurin公式的定义直接就推出来的

接下来我们讨论一个具体的例子

我们f(x)是等于x平方加上三倍x加上2

这是分母 分子是1

我们求这个函数

在x0等1这点的n阶带有Peano型余项的Taylor公式

那么对这个函数来说从理论上讲

我们自然清楚你让我求的是什么

你不就是要让我求这个函数在x0等1这点的各阶导数值

利用它的各阶导数值

我把它的n次Taylor多项式写出来

它自然就应该出来的是Peano型余项

但是大家求一求

你如果直接求这个函数的各阶导数值

当然你求几阶之后你会发现 越求越复杂

实际上我们来处理这个问题

大家看下面的方法是不是一个一般的方法

也就是说这个函数我自然可以写成

x加1乘上x加2分之一

分母是两个一次因子了

我自然可以给它拆项

拆项我们原来说过主要就是拆成

1加x分之A 再加上一个2加x分之B

应该写成这个样子

那么在这个问题里面大家看一下

我们该怎么处理这个东西

我们给它通分完之后让分子相等

也就得到对应项系数相等

得到AB它满足的二元一次方程组

这样我们解出来

解的过程我们不再在这里解释了

解出来以后应该A是等于1的

然后B应该是等－1的

那大家一通分会发现这就是我们这个结果

这样出来之后那一个做法就是说

因为这个的各阶导数大家能求

这个各阶导数大家也可以求

这样我就可以得到它的各阶导数

自然能得到它各阶导数在1那点的值

这当然是一个思路

变形到这个地方之后就可以做了

当然接下来我再偷点懒

因为刚才我们给出了几个特殊函数的Maclaurin公式

大家看一下我能不能把这个问题

与我们已知的Maclaurin公式联系起来

说在x0等于1那点

也就是我要出现这个东西

2加上x减1

我要出现x减1这个因子

这面我就减掉3加上x减1

我们这个变形就是依靠于我们

要把它展开成什么样的多项式

这样做完之后大家看这个可以写成二分之一倍的

1加上二分之x减1分之一

再减掉三分之一倍的这个是1加上三分之x减1分之一

写到这我们在x等1那点做展开

相当于对这两个因子在它等于0的地方做展开

如果我们把它看成一个变量的时候

正好可以用上刚才我们得到的1加x分之一的Maclaurin公式

所以我就直接写

它就应该等于二分之一

它的Maclaurin公式是k从0到n

然后这面是负1的k次方

这面应该是二分之x减1它的k次方

这是那个整体变量

当然再加上o 我放到最后

然后再减掉一个三分之一倍的k从0到n

－1的k次方

然后三分之x减1的k次方

最后加上o(x减1的n次方)

因为两个o加起来我只能认为它还是一个o

所以说就写到这

写到这之后

这个地方大家做不做整理

从道理上讲我们这个问题已经做完了

我已经把这个函数表示成了x减1的n次多项式

与一个这个形式的无差之和

当然在这个题目里面

我们为了表示的漂亮一点

也可以这样写一下

k从0到n大家把它乘进来这也就是

负1的k次方然后这面呢就是

一个2的k加1次方分之一

减掉3的k加1次方分之一

这面乘上x减1的k次方

这面加o(x减1的n次方)

如果写成这样看起来大概会比上面那个形式略微舒服一点

而且我们也没有付出太多的计算代价

所以这样就直接按照定义展开成了

x减1的n次多项式

这个做展开的方式我们姑且把它称为是

利用间接法来求Taylor多项式

利用间接法求也就是说你要知道你求什么

另外我们一定要记住我们知道的几个Maclaurin公式

也就是刚才之所以把那五个函数的Maclaurin公式写出来

就是在我们处理Taylor多项式展开时

好多时候我们都可以通过变形把它转化成

那五个函数的Maclaurin公式去处理