数列的概念，数列极限的概念（1）在线视频

前面我们介绍了我们微积分课程

研究的对象

也就是介绍了函数的有关内容

接下里我们开始介绍

我们讨论函数性质所需要的主要工具

也就是说我们接下来的一章

要介绍极限的有关理论

我们在这儿会介绍

数列的极限以及数列极限的性质、运算

还会介绍实数理论的有关连续性问题

当然也会介绍到函数极限以及函数极限的性质、运算

就是关于极限理论

应该说是我们讨论函数微分学和积分学性质的

最主要的基础

极限理论尽管它完全建立起来

应该是十九世纪

就是波尔扎诺、柯西还有魏尔斯特拉斯

这几个人为代表的工作

就是标志了极限理论的建立

但是极限思想的出现

应该可以追溯到两千多年前

实际上在公元前400年

我们曾经就有这样的说法

说一尺之棰，日取其半，万世不竭

实际这里面应该就蕴含了

很丰富的就是极限思想

当然到了公元后200年左右

我们就出现了所谓的割圆术

割圆术有一种描述

就是说割之弥细

所失弥少，割之又割

以至于不可割

则与圆周合体而无所失矣

就是这种表述

应该可以把它认为是比较朴素的极限概念

尽管极限思想出现的比较早

但由于极限要刻画的是无穷运算

所以说真正完全把极限理论建立起来

是到了十九世纪

就是由刚才提到的三个人

他利用初等数学或者是初等运算里面的不等式

把我们这种无穷运算给刻画清楚了

接下来我们先从数列极限介绍

接下来我们要介绍一下数列极限的概念

那我们在介绍数列极限的概念之前

我们先回顾一下数列的概念是什么

就是关于数列的概念

实际上数列我们在中学就接触过

数列是什么

数列就是说

把一些编上号的数

按他的编号从小到大放到一起

就构成了一个数列

所以说数列的定义应该是这样说的

把一些编上号的数

按它的编号从小到大放到一起

就构成了一个数列

其中的a1、a2、a3这就是这个数列中的项

一般来说

我们如果写出an

这表示的当然是这个数列中的第n项

也叫这个数列的通项

我想这就是数列的定义

当然我们数列的记号

除了这样排在这儿之外

我们还可以这样表示

说an加上一个大括号

这也表示的是数列

这其中an自然指的是它的通项

你比如说我们这样的东西

说{1/n}这自然表示的就是数列

所以第一项应该是1

第二项是1/2

第三项是1/3等等

再比如说我们这样写

这应该表示的也是一个数列

这个无非就是强调它每一项都是等于1的数列

或者是说{1+( (-1)^n/n )}等等

这都是数列

那数列我们有时候也把它称为整标函数

也就是说所谓整标函数指的是

f(n)实际上就等于an

也就是说这个函数它的定义域应该是正整数集

那就是说但是所谓整标函数

数列并不是说是整标函数的函数值

因为它这里一定要强调一个顺序问题

这只是一个称呼

那因为你把数列当成整标函数

函数时有图像的

所以说如果我们从平面上来看

数列实际上也是有图像的

也就是说我们横坐标分别是123

这个地方有一个点

这个点的纵坐标就是a1

比如说这个地方对应着一个点

这个点的纵坐标是a2

然后在这个地方对应着一个点

这个点的纵坐标是a3

等等这样画出来之后

我们就可以想象一下

数列在平面上表示出来

是自左到右的一系列点

我想这是就是说

关于这个数列它的概念以及它的几何表述

接下来我们来看一下

所谓数列的子列

所谓数列的子列指的是什么

子列是这样说的

说我把数列中的某些项取出来

按照原来的顺序

重新排成一个数列

这个数列就称为是原来这个数列的子列

所以子列的概念应该是

这样给出

就是将原来数列an中的某些项取出

按原来顺序排成一个新的数列

那么这个新的数列

我们就把它称为是原来那个数列的子列

如果用记号来表示

说原来数列我用{an}表示

一般我用{ank}来表示它的子列

其中这个下标集

它应该是满足nk大于等于k

也就是说子列中的第k项

在原来数列里面

一定是在第k项后面

当然就是n(k+1)自然是大于nk的

也就是说子列中的第k+1项

在原来数列里面

一定是在子列中的第k项之后

就是这个只是它的数学表示

就是说我怎么样用数学语言

把一个数列是另外一个数列的子列

这个性质给表示出来

接下来我们介绍数列的极限

首先我们看我们为什么介绍数列极限

因为我们现在碰到的数列

一般说都是所谓的无穷列

也就是说数列中有无穷多项

那我们现在关心的是说

当这个数列的项它的编号越来越大时

它对应的值它怎么变化

实际上所谓数列极限

我们主要就是要介绍一下

随着下标越来越大

它对应的项的值

它的变化趋势是什么

你比如说我们前面介绍的

说这个数列{1/n}

这个大家可以看出来

当这个编号n越来越大时

它对应的值应该是越来越接近0的

而且可以充分接近0

再比如说

我们这个数列{1+( (-1) )^n/n}

那么在下标n越来越大时

它对应的数应该是越来越接近1的

而且也可以无限接近1

就是但是也有这样的数列

比如说我有一个数列是这样子

说是{n}

也就是说它的第n项对应的值正好是n

那么在n越来越大时

这个数量它对应的项

当然不可能越来越接近一个固定的值

所有我们数列的极限

我们主要就是说

如果一个数列当它的下标

也就是它的项数越来越大时

它对应的数如果能越来越接近一个固定的值

那么我们就把这样的数列

称为是所谓收敛列

而它接近的这个固定值

就是所谓的数列的极限

现在我们的问题

什么叫越来越接近

什么叫可以充分接近

实际上也就是说

你怎么样用数学的语言

把我们表述性的这些特性

给他刻画清楚

在这个地方

我们可以先通过一个例子来简单说一下

就把我们那个比较著名的例子

所谓的割圆术

简单介绍一下

割圆术是刘徽做的

做圆周率时用到的一种方法

他说我把一个圆

给他做一个内接n边形

当然刘徽是从六边形开始做起的

那对这个内接n边形来说

我们来看一看这个内接n边形

它的边长也或者说它的周长

那我们先做这一个

做一个边的长度

一个边的长度

这个角度应该是2π/n

那么它的半角应该就是π/n

这个半径是R

那么这一个应该就是半径乘上R

所以说我们先做一个R乘上sin(π/n)

这是这个边长的一半

我们再乘上2

就是这个边长

最后再乘上n

就是这个内接正多边形n边形的周长

然后我们做出来之后

当然从图上可以看出来

如果你这个边数再增加一倍的时候

那么这个新的内接正多边形的周长

应该是比原来这个内接正多边形形的周长来的大

但是呢

它仍然还是要小于这个圆周的周长

实际上

刘徽就说

如果在这里面

你让这个n越来越大时

那么你得到的这个值的大小

应该就越来越接近这个圆的周长

而且他说了

只要你大到一定程度

这个圆的内接正n边形的周长

就与这个圆的周长几乎没有什么差别了

这就是他说的 割之弥细

所失弥少，割之又割

以至于不可割

则与圆周合体而无所失矣

实际上用我们现在的语言来说

就是这个数列

当n越来越大时

它一定是越来越接近圆的周长

而且可以充分接近圆的周长

应该是这样子

那现在

我们把这个东西

用数学的语言给它表述下来

就会得到我们数列极限的定义

好接下来我们就给出数列极限的定义

定义是这样说的

我们假设

an是一个数列

A是一个常数或者是一个定值

若任给ε大于0

我总存在一个N>0

就是当n>N时

我就有|an-A|<ε

就是如果是这样

这时候则称A是这个数列{an}的极限

然后记做lim(n趋向于无穷时)

an它的极限等于A

当数列极限存在时

我们也称这个数列是收敛的

如果一个数列它没有极限

我们就说它是发散的

这是关于数列极限的定义

接下来关于这个定义

我给大家做个简单的解释

实际上

这个任给ε大于0

通过这个不等式我们可以看出来

它主要强调了是

这个an与这个A

它的接近程度

因为ε是任给的

它就是说它是可以充分接近的

当然这个说我存在一个N在这后面的n它都满足

它就是说

一开始你可以有有限项不满足这个不等式

但是就是从某一项之后

所有的都要满足

也就是说我们这个N

它应该是依赖于这个ε的

就给任意的ε

我去找一个满足这个关系的N

当你ε值变化之后

N一般也是变化的

当然N大家知道

一旦有自然也会有无穷多个

因为你在N后面

随便再取一个N

它仍然还满足这个东西

就是这个极限定义

实际上就是用很初等的数学关系式

不等式来表述了一个无限的

或者是无穷的运算过程

所以说尽管这个定义现在我们写出来短短几行

但是真正能够形成这么一个严格的数学概念

前前后后大概经历了2000多年的时间

这是关于数列极限的定义

如果从几何上来看

这个数列极限

是否可以这样说

给了一个常数a之后

也就是在xy的平面上

我们就得到了一条水平线

然后给一个任意ε大于0

我们相当于在水平面上得到了另外两条线

一个是y=A-ε

还有一条是y=A+ε

因为我们数列表示的是平面上自左至右的一系列点

那么它说从某一个大N开始

后面所有的项都满足这个不等式

它的几何表示就是说

从某一个N开始

这个数列后面所有的点

都应该是跑到我们平面上的一个带状区域里面来

这个带状区域是由y=A-ε和y=A+ε两条线构成的

就是说

你这个把带状区域如果取得更窄一点之后

这样的N还是有的

就在这之后

所有的点还应该能跑进来

所以这样大家也可以直观的相信一下

所谓它的极限是A什么

就是说当这个数列代表的点

从左到右跑时

它慢慢的都吸附到y=A这条直线上

就是所谓吸附到这条直线上

不见得正好落在这条直线上

但它会离这条直线越来越近

这样我们就从几何上

给出了这个极限定义的一个直观表述

接下来就是说我们介绍一下

说如果说一个数列的极限不是A

你怎么去表述它

这个定义是说了一个数列的极限是A

那一个数列的极限不是A

我们怎么去表述呢

也就是说我们来看一看

lim(n趋向于无穷时)an它极限不等于A

那从逻辑上讲

也就是说并不是对所有的ε

我们都能找到N满足后面这个不等式

不是对所有的ε

那就至少应该是

存在一个ε

这个我用ε0来表示

对于这个ε0

它实际是找不到这个N的

找不到的含义是什么呢

也就是说对于所有的N都不行

所以对于的N

什么不行呢

也就是多所有的N

它就是说

不是后面所有的什么..项都满足这个不等式

也就是说我至少能够找到

一个n0它是大于N的

但是这个|an0-A|它应该是不满足小于ε0的

我想这一套

这应该就是在数学上

我们来刻画一个数列极限不是A

它的什么呢

就是严格的表述

那就是这个在后面我们处理极限问题时呢

有时候会用到

什么叫它的极限不等于A

当然就是说

从几何上来看的时候呢

也就是刚才说的

说你存在某一个带状区域

无论你这个N怎么样往后取

在这个N后边

至少总有一个点是跑到这个带状区域外面的

实际上因为你这个N是随便取的

大家知道

可以说

实际上是有无穷多个点

应该是在这个带状区域外面

所以说呢

就是关于这个极限不等于A

这个表述呢

希望大家也能够理解它

甚至就是说在某些问题里面呢

也能够正确的运用它

关于数列极限的概念我们先介绍到这儿