变限积分所定义的函数在线视频

好我们再讲变限积分所定义的函数

简单一点我们就写从a到xf(t)dt

我们把这个变限积分所定义的函数

一般记做F（x）

我们把它叫做变限积分所定义的函数

那么变限积分所定义的函数

我们原来对函数的研究我们知道

要研究这个函数的

一系列的微积分的性质

单调性凸性极值极大极小值

泰勒展开

以及等价无穷小的阶

洛必达法则

那么你可以发现

所有的这些性质

它的最大的一个公共的特点

就是都是用F的导数

以及F的高阶导数

来确定这些性质

比如说F(x)导数

如果大于等于0就是单调增的

要不然小于等于0是单调降的

凸性那么两阶导数确定的

极值

我们也可以用导数

给我们足够好的光滑性条件的话

我们也可以用导数来确定

那么包括泰勒展开

包括洛必达法则

而这些性质我们再回过头

去看F(x)这个函数

F(x)这个函数可能会比较复杂

但F(x)这个函数它的最大的特点

就是F的导数就是等于f(x)

这是比较简单容易的函数

既然F的导数是一个很简单就能求出来的

所以关于F这么一个由变上限积分

所函数定义的函数的这些性质

我们也可以通过它的导数来给它研究清楚

比如我们来看几个例子

我们来讨论从0到xe的-t平方dt

我把这么一个变上限积分

把它记成F

那么我们可以知道

F(x)的导数就等于e的-x平方

这个一定是大于等于0的

所以我们可以知道

第一件事情

F(x)是一个严格单调增函数

当x在整个一个实轴上

都是严格单调增的函数

那么我们再来看看它的两阶导数

F(x)的两阶导数就等于

e的-x平方这个函数一阶导数

就等于-2倍的xe的(-x平方)

那么对这个函数的正负号

我们就有下面的性质

如果x是大于0的话

那么F两阶导x是小于0的

在x小于0的那部分

F的两阶导x是大于0的

我们知道

两阶导数的正负号

完全可以确定这个函数凸性

那么两阶导数小于0

这个函数就应该是个上凸的函数

两阶导数大于0

这个函数是一个下凸的函数

所以我们可以确定

这么一个由变限积分所定义的

这么一个函数它的单调性凸性

除了单调性和凸性之外

我们还可以通过求F三阶导数在0点的值

F四阶导数在0点的值

一系列的东西

可以求它的泰勒展开

泰勒级数

比如说

我们知道F的一阶导数x

就等于e的-x的平方

我们做泰勒展开

我们知道等于1-x的平方除以1的阶乘

加上x的四次方除以2的阶乘

再加点点点

再加上n的阶乘分之一

-1的n次方

x的2n次方

加上o的x的2n次方

当x趋于0的时候

这是F的导数它的泰勒展开

从F的导数的泰勒展开

我们可以的得到F的导数在0点的函数值

导数值二阶导数值

等等等等一系列的性质

那么F的导数的函数值

是不就是F的一阶导数值

F一阶导数的一阶导数两阶导数三阶导数

等等等一系列的性质

从而我们可以得到

F这个函数的它的泰勒展开

就等于x减去[3乘上1的阶乘]分之x的

三次方再加上[5乘上2的jie's阶乘]分之x的

五次方加点点点再加到(-1)的n次方除以

[(2n+1)乘上n的阶乘]分之x的(2n+1)次方

再加上o(x的(2n+1)次方)

我们可以得到F这种形式的泰勒展开

那么如果说你还想进一步求F的性质

那么我们就求F（x)

当x趋于0的时候

F(x)当然是等于0的

因为是一个连续函数

那么从0到0的积分

F一定是等于0的

那么我们来看一看

当x趋于0的时候

F作为一个无穷小量

它的无穷小到底是几阶无穷小

我们求一个limx趋于0的时候

F（x）除以x的n次方

n是正整数待定的

我还不知道它是多少

那么我们

0分之0的洛必达法则就等于limx趋于0

F的导数

e的负的x平方

除以n乘上x的n-1次方

所以我们可以知道

当n等于1的时候

它的极限正好是等于1

所以当x趋于0的时候

我们可以知道

F（x）作为无穷小

它跟x等价无穷下

那么这个过程我们还可以再做下去

所以我们可以发现

F（x）这么一个由e的负t平方

从0到x的定积分构成的这么一个变上限积分

我们可以

也可以证明

当然这完全超出我们的书的范围

这个函数

e的负t平方这个函数

它的不定积分不再是初等函数

所以从另外一层意思来讲

实际上来讲

我们认为它是积不出来

所以我们在初等函数里面

我们肯定找不到这么一个函数

但是这个在初等函数里面找不到的函数

按照这些性质

我们都可以通过导数把它给求出来

你会发现这么一件事情

我们现在已经知道的

就是初等函数

凡是一超过初等函数之后

我们就说我们

积不出来

我们算不出来

我们不知道了

那么通过初等函数的变限积分

实际上给了我们一条路径

就是我们开拓我们的函数库

我们把现在已经知道

因为你想一个函数f（x)

当f（x）的什么样的性质知道之后

你就认为这个函数我完全清楚

你回过头去你再想想

说sinx也好

e的x次方也好

这些函数你认为你都清楚了

什么样的问题

一说得到的结论是sinx

我们就不再往下做下去

原因很简单

你所有这些性质我都知道

那么这部分函数

你认为很清楚的函数

实际上你到底知道了什么事情

我们来看

这几类事情你都知道

第一这个函数的一系列的性质

对称性

奇偶性

周期性

包括我们的单调性

极值

凸性

泰勒展开

等价无穷小的阶

这些性质知道之后

还加上一个什么东西

加上一些这个函数在某些特殊值的取值

比如说sinx在nπ是不就很重要

它的特殊在零点

那么一旦一个函数

的这些性质都已经知道之后

甚至你可以画出图像之后

那么这个函数你认为是已知的

那么我们回过头去再来看看

这么一个函数

实际上这个函数它的

所有的刚才我们数过的这些性质

实际上都可以给它算出来

都可以研究清楚

那这样的话是不是也可以这样说

这个函数你也可以应该把它

收进自己的函数库里面

把它当成一个已知函数

所以变限积分实际上

是一种手段

是一种工具

那么使得我们通过变限积分所定义的函数

来开拓我们的函数库

使得我们已知的函数越来越多

越来越多

是远远超过我们现在所认为已知的函数

也就是初等函数的范围

我们再来看一道题

你要求这么一个极限

x趋于0

从0到x

括弧从sinu到0tdt括弧du

除以x3次方

要求这么一个我们知道当x趋于0的时候

分子趋于0

分母趋于0

所以这是一个0分之0的不定型

那0分之0的不定式当然我们很好办

洛必达法则

上下求导数就行了

就等于limx趋于0

下面是3倍的x的平方

上面这个函数求导数

就等于从sinx到0tdt

当x趋于0的时候

sinx趋于0

所以分子还是趋于0

分母也趋于0

所以仍然是是个0分之0的一个不定式

接着洛必达法则

limx趋于0

上面是我们把sinx代进去

因为它是个变下限积分

所以负的sinx

乘上sinx的导数

cosx除以一个6倍的x

cosx趋于1的

sinx除以x也是趋于1的

所以这个极限正好等于负的六分之一

所以变限积分它的最大特点就是

导数简单

我们用洛必达法则

实际上是最最方便的一个时期

好我们再来看一道题

我们看这么一个F（x）等于x

根号1-t的三次方

dta到sinx

那么这时候我们就看见了

这不是一个单纯的变限积分

因为我们知道这个

被积函数里面还含有一个x

那么当然好办了

我把x拿出来就行了

就是x乘上a到sinx

根号1-t的三次方dt

我们要求F的导数

那么F的导数x

就变成了

这是两个关于x 的函数的乘积

所以根据乘积函数求导的公式

等于从a到sinx

根号1-t的三次方dt

加上x乘上

后面才是真正的一个

变限积分求导数的问题

根号1减去sin三次方的x

再乘上sinx对x的导数

乘上cosx

这是这么一道题

就做完了

再算结论又很简单

这个函数已经不再是一个

初等函数所能表示出来的了