函数的可积性在线视频

刚才我们给出了一个

有界函数f(x)在[a,b]区间上

有定积分它的定义

那么我们知道通过分割取点求和求极限

以及判断极限的

它的极限值与分割的任意性

和取点的任意性无关

我们可以得到

这么一个定积分的值

那么我们有一个

非常非常大的问题摆在那

就是什么样的函数

它的定积分是存在的

什么样的函数定积分是不存在的

那么我们现在开始新的一节

就是函数的可积性

给[a,b]区间以及定义在

[a,b]区间上的一个函数f(x)

如果说f(x)在[a,b]区间内

根据我们刚才写的五个过程

它是可积的是存在的

则称f这个函数在[a,b]

这个区间上是可积函数

我们给一个很简单的一个符号

我们就说f属于R[a,b]

因为我们现在的积分的定义

是在Riemann定义上的积分

所以我们就用R[a,b]

也就是Riemann可积的

问题就来了就是什么样的f是属于R[a,b]

也就是什么样的函数f

是在[a,b]区间上是可积的

为此我们特意先给一个反例

告诉你不可积的函数

确实是有的

我们知道一个很有名的函数

叫做Dirichlet函数

Dirichlet函数等于

1 当x属于有理数的时候

等于0当x属于无理数的时候

我们来看看[0,1]这个区间上

a=0b=1这个区间上[0,1]这个区间上

Dirichlet函数可积不可积

我们同样来看看[0,1]这个区间上

我们作分割作极限

Σi从1到nD(ξi)乘上Δxi

这时候我们做因为你说

对任意的分割任意的取点

这个极限值都要相同的

我们来看看

我们分割是随便作分割

但是取点我们可以取

下面两种情况取点

在每一个小区间上的ξi

这个ξi都是有理数

这是一种取点方法

另外一种取点的话

ξi属于xi-1到xi

都取无理数

如果说[xi-1,xi]是一个非空的一个区间

那么我们从实数理论告诉我们

这个区间任意一个非空的区间上

既有有理数又有无理数

所以我可以做到

每一个小区间上

我全部取有理数

我也可以做到

在每一个小区间上

我全部取无理数

这时候你会发现

它的在这种情况下的Riemann和

我们知道D(ξi)是不是都是等于1

所以这时候你算出来的Riemann和

Σi从1到nD(ξi)乘上Δxi

D(ξi)取1把它拿出来之后

就是区间长度的和

既然是区间长度的和

那就恒等于1的

所以取了极限之后

λ趋于0+的极限之后

那么这个Riemann和的极限

都是等于1的

所以极限也等于1

反过来来讲第二种选取方法

如果说我每一个ξi取的都是无理数

那么这时候我取到的D(ξi)都等于0

那么Σi从1到nD(ξi)

全部都是乘上Δxi

全部都是0

所以它的极限λ趋于0+

它也是0所以对Dirichlet函数来讲

问题就来了

Riemann和的极限

实际上是跟你这个取点的方法是有关的

张三去取全部取有理数

那么Riemann和的极限就是1

李四去取全部每个点都取无理数

Riemann和的极限就是0

所以你会发现Riemann和的

极限的这种两种不同的值

就表示Riemann和的极限

实际上跟你那个取点的方法是有关的

既然是有关的因为我们刚才讲

12345第五步告诉你

你要去验证我这个Riemann和的极限值

和你那个分割的任意性无关

和取点的任意性也无关

而我们现在突然发现

跟取点的任意性是有关的

所以我们说Dirichlet函数这个函数

不是在[a,b]区间上

[0,1]区间上它不是Riemann可积的

从这个意义上来讲

我们也确确实实知道

肯定是在有那些函数

这个函数它不是可积函数

我们回过头去再去看看Dirichlet函数

如果说大家在学函数的连续性的时候

我们知道Dirichlet

函数在[0,1]这个区间上

实际上是点点不连续的

也就是说这个函数的性质太糟糕了

糟糕到点点不连续了

那么以至于

最后从定积分的角度来讲

它是不可积的了

为了说明什么样的函数才可积

那么我们刚才讲的是可积的它的定义

分割取点Riemann和求极限

这些都是可以做到的

但是最后一步是很难做到的

你去验证你这个极限值与分割的任意性

和取点的任意性无关

那么你想象一下

怎么去验证一个极限值

和分割的任意性

取点的任意性无关

这个事情好像似乎是做不到的一件事情

原因很简单

你对一个函数做定积分

你做一辈子的分割

去做一辈子的积分

你哪怕这一辈子做出来的事情

最后你发现积分值

这个极限值和分割的任意性

和取点的任意性都无关

你即使做了一辈子

你也做不到

去证明它的分割的任意性

和取点的任意性

确实不影响最后的极限值

因为万一有人再做出来

其它的分割有关了

所以在定积分的定义里面

实际上第五条是一个

非常非常难验证的事情

那为了讲清楚什么样的函数才是可积函数

那么我们要给这个定积分的定义

找一套等价的定义

或者说找一个充分必要条件

这就是我们下面要讲的这么一个定理

这个定理告诉我们

如果f这个函数属于R[a,b]

也就是说在[a,b]这个区间上

有界闭区间上

是Riemann可积的

它的充分必要条件

就是limλ趋于0+ Σi从1到

n Δωi(f)乘上Δxi要等于0

其中我们给一些定义

Δωi(f)我们把它写成

x属于xi-1到xi区间上的f(x)

减去 x属于xi-1到xi这个小区间上的f(x)

那么我们已经讲过

在第一章的时候我们就已经讲过

sup表示f(x)这个函数

在xi-1和xi这个区间上的

它的值域的上确界

inf表示f(x)这个函数

在这个xi-1到xi这个小区间上的下确界

也就是上确界减下确界

如果我们再给一个条件

f这个函数是一个连续函数

那么我们可以证明

上确界就是f这个函数

在xi-1到xi这个小区间上的最大值

而下确界恰好是f(x)这个函数

在xi-1到xi这个有界闭区间上的最小值

也就是最大值减最小值

如果f不一定是连续函数

那么最大值和最小值

那就不一定存在了

所以我们刚才讲的

就不一定成立了

我们把这个Δωi

或者说如果连续函数

是最大值减去最小值

我们把它称之为

f这个函数在这个小区间xi-1到xi

这个小区间上的振幅

最大值减去最小值

不就是它的一个振幅

那么上确界减去下确界

从某种意义上来讲

也是反映了这个函数

在xi-1到xi这个区间上的

它的变化值的变化的范围

最上确界下确界

一减的话就是变化的那种幅度

那么我们把它叫做振幅

那么这个定理告诉我们

如果f是一个可积函数

那么充分必要条件

就是f在每一个小区间上的振幅

乘上Δxi它的和在λ趋于0的情况下

一定是等于0

也就是说它的振幅要

相对来讲不能太大

那么这个定理本身是数学上的一个

非常非常好的一个定理

也是很有趣的一个定理

那么这个定理实际上就在反映

我们原来f是一个可积函数

我们讲1234都可实现

然后第五个条件实际上是不具有可操作性的

因为所有的人几辈子都证不出来第五个条件

你要证明它的无关性

实际上是不可操作的

那么它把不可操作的这么一个证明过程

等价于这个条件了

就具有可操作性

所以这个充分必要条件

实际上给我们来判断

一个函数到底可积不可积

它在[a,b]区间上的定积分到底有没有

我们这是一个非常非常

好的一个充分必要条件

或者说等价的条件

但是由于篇幅关系

时间关系我们在我们这门课里

我们就不会详细地证明这个定理

如果有兴趣的同学

就可以看一下相应的数学分析的书

一般来讲一本数学分析书的话

一般有这种详细的证明

我们在这儿

我们就默认了

就不去证了

那么从这个定理里面

我们可以推出一系列的推论

第一个推论

就是如果f是一个[a,b]区间上的连续函数

那么f就是[a,b]区间上的Riemann可积函数

我们把它简称为

连续函数必可积

如果说你把R[a,b]和C[a,b]都是集合

R[a,b]表示一个集合

这个集合里边的元素是函数

这个函数满足都是可积的

C[a,b]也表示一个集合

这个集合里边元素也是函数

而表示这个函数的条件

都要是连续函数

所以说从集合的角度上来讲

我们可以知道

C[a,b]包含在R[a,b]这个集合里面

也就说连续函数作为一个集合

是可积函数集合的一个子集

这是第一个推论

那么我们证明

我们详细就不证了

我们只给出一些现成的结论

有人就要问了

不连续的函数到底可积不可积

结论也是非常非常漂亮的

有些不连续的函数

仍然是可积的

什么样的不连续函数

如果f在[a,b]这个区间内

只有有限个不连续点

或者说间断点

那这样一个函数

仍然是在[a,b]区间内

仍然是一个可积函数

也就是说在[a,b]区间内不连续不可怕

有一个两个不连续点都没问题

十个八个也没问题

有限个不连续点

都没有问题

那么在这里面

我们讲所谓不连续点

第一类不连续点也叫不连续点

第二类不连续点也叫不连续点

所以这个间断点

既包括了第一类间断点

也包括了第二类间断点

那么在这个问题上

大家回过头去再去想一想

我们原来讲过的不定积分

原函数的问题

我们现在是讲定积分

有限个间断点

都可以允许定积分存在

但是我们在原函数的时候我们讲过

只要有一个第一类间断点

那么这个函数原函数就一定不存在了

大家仔细再想一下

这两个之间到底有什么关系没有

实际上来讲f在[a,b]区间内

有有限个间断点

f仍然是可积的

f在[a,b]区间内有时候有无穷多个间断点

它也是可积的

只要这个无穷多不是太多

那么我们就要有很大的问题

什么叫无穷多不太多

那么我们就有一个概念

就是所谓可列

也就一些东西你可以贴上商标

比如说第一个第二个第三个第四个

我贴上商标的这些东西

我们就叫可列个

所以你可以发现

数列是一个可列的点

实际上这个结论还可以再放松到

f在[a,b]这个有界闭区间里面

如果说它的间断点是可列个

可列无穷多个

那么f仍然是可积的

那么你就要问了

Dirichlet函数为什么出问题

Dirichlet函数当时我们讲过

它在[0,1]区间上是

点点不连续

每一点都是间断点

那你想点点不连续的点的

那些函数是不是太过分了

它每一点都是间断点

那么它已经属于不可列的间断点

所以这时候这个函数它是不可积的

刚才我们已经验算了这个函数是不可积的

如果f在[a,b]这个区间内

是一个单调函数

单调增的单调降的

我们也可以推出

f这个函数一定是可积函数

单调函数也是可积函数

所以从这个意义上来讲

大家仔细想一下

这个可积函数

实际上是范围比较广的一个东西

也就是说连续函数是可积函数

这不会例外的

因为连续函数性质比较好

有限个间断点

它也是一个可积函数

甚至可列无穷多个间断点

它依然是一个可积函数

所以可积函数的范围

是比较广的一个范围

从这个角度上来讲

连续函数是可积函数的一个真子集

它是它的一个真子集

单调函数在[a,b]区间内的一个单调函数

它仍然是一个可积函数

而我们来看看

刚才我们讲过

Dirichlet函数是不可积的

那么我们来验算一下

Dirichlet函数

满足不满足这条性质

我们随便给一个小区间

xi-1到xi这个小区间

这两个点当然是非空的小区间

也就是xi-1不等于xi

那么我们来看看

在x属于xi-1到xi这个小区间

Dirichlet函数的上确界

不就是等于1

那么下确界x属于xi-1到xi

Dirichlet函数的下确界就等于0

那么我们就可以发现

这每一个小区间xi-1到xi这个小区间上

Dirichlet函数的这个函数的振幅

就是1-0就是等于1

那么它从Σi从1到

nΔωi Dirichlet函数的振幅

乘上Δxi那么我们讲

这个东西是恒等于1的

所以它就等于Σi从1到nΔxi

那么也就是说

所有小区间的长度的和

它不就是等于1

显然跟这个极限等于0就矛盾了

所以从这意义上来讲

我们也可以来判断

Dirichlet函数它确实不是

在[0,1]区间上

它确确实实是不可积的