曲线的弧长在线视频

好我们来看定积分的第二个内容

就是可以算曲线的弧长

假如有这么一条曲线

在直角坐标系下

平面曲线y=f（x）

x是属于[a,b]

当然我们对于函数有要求

yf是一个C类函数

那么我们来看看

在直角坐标系下

这么构成的这么一个曲线它的弧长

这点对应x=a

这一点对应x=b

这条线就叫y=f（x）

我们还是做分割

对x做分割

一段若干段每一小段往上去

我们用这个它的弦来代替弧

我们给它放大一下

就相当于这是一条弧

我们拿这个弦长来代替弧长

也就是说我们拿了一些的折线来代替我们原来的弧线

那么这就是我们所谓近似代替

假如说我们看这一段叫做Δx的话

这段叫做Δx

这段叫做Δx的话

那这段就是应该很小的弧段Δy

Δy等于什么

等于我们根据中值定理

f的导数x乘上Δx

所以根据勾股定理

我们这一小段的弧

很小的一小段的弧长

Δl近似的就等于弦长

就等于Δx的括弧的平方

加上f导数x乘上Δx的括号的平方

也就等于

根号1加上f导数x的平方乘上绝对值Δx

因为我们这个Δx是平方开根号出来的

所以说要加一个绝对值

如果说我们这个分割

从左边往右边做分割

那么这个时候Δx大于0的

那么在从左边往右边做分割的情况下

它就等于

根号1加上f导数x的括弧的平方乘上Δx

这是一个小弧段的弧长的近似值

整体的值

l近似的就可以等于西格玛一共是i从1到n

根号1加上f导数x的平方Δxi

那可以想象一下

我们如果说

对分割让它越来越密

越来越密

那么极限情况

正好是这么我们讲的黎曼和的求极限

那么在f是一个C1类的函数的情况下

在直角坐标系弧长就是从a到b

根号1加上f导数x这个函数的平方dx

还是要注意一下

在直角坐标系下

在我们这个公式里面

a是那个小的

b是那个大的x

只是说对于x来讲

a是小的b是大的

好我们给个例子

有条曲线很简单的

y等于x的平方

x是在0到1/2这一段

好我们要求这条抛物线在x取值范围从0到1/2

这一段的弧段的它的弧长

那我们知道

根据公式

弧长l就等于从0到1/2

根号1加上x导数

是等于2倍的x平方导数等于2倍x

4倍的x平方dx

所以剩下的事情

我们就要解

求这个一个定积分的问题

那么这个定积分问题我们原来是讲过的

做变量代换

令x就等于二分之一的tant

x等于二分之一的tant

那么我来看看下限

x取0的时候

实际上意味着t是取0

x取1/2的时候

实际上意味着t是取π/4

所以这是积分下限和上限所对应的t的值

所以我们这个弧长

根据这是从t从0到π/4

那么我们把这个代进去

x等于1/4所以

代进去之后等于sec

本来说sec平方开根号

正好sect

dx就等于1/2的sec平方t的dt

或者说就等于1/2的0到π/4dt

cos的三次方的t

那么这当然就是一个三角有理函数了

我们可以把原函数求出来

把不定积分算出来

然后牛顿莱布尼兹公式算出来就行了

因为我们刚开始算积分

所以我们再把这个积分稍微再多算一点点

我们来看看dtcos三次方t

可以写成上面乘以costdt

底下是cos四次方t

也就等于dsint

除以cos四次方

cos平方的平方

是等用1减去sin平方t括弧的平方

就等于不定积分

du1减u平方括弧的平方

做变量代换

u就等于sint

u等于sint

所以我们原来那个l这么一个定积分

就可以写成是

等于u等于sint

1/2写到那

t取0的时候

usint也取0

t取π/4的时候

u等于sint

正好是二分之一根号二

du除以1减u括弧的平方

乘上1加u括弧的平方

我们把原来这个三角有理函数的积分

经过这么一个u等于sint的变量代换

要注意我们没有用万能公式

因为万能公式不是唯一的

能够把三角有理函数变成分式有理函数的变换

在某些特殊的情况下

比如说我们这种情况下

用u等于sint实际上比用万能公式

应该是更简单一点

这是一个分式有理函数

我们再回顾一下分式有理函数的计算

我们知道

1减u平方

乘上1加u的括弧平方

可以写成A1减u

加上B1减u的平方

加上C1加u

加上D1加u的括弧平方

也就是说

我们知道了分母的因式分解之后

我们可以发现

把一个稍微复杂一点的分式有理函数

可以写成A

1234这四个模块的和

那么通一下分之后我们可以知道

1就等于A乘上1减u乘上1加u的括弧的平方

加上B乘上1加u的括弧的平方

加上C乘上1加u乘上1减u的平方

加上D乘上1减u括弧的平方

我们通过比较这两个多项式的系数

我们可以把A,B,C,D通通算出来

有一点点简单的地方

我们来看看

投机取巧或者偷懒的地方

或者说有一些技巧放在那里

我们在这个式子里面

令u等于1

令u等于1的话

左边那个当然是等于1

右边这是等于0

这是等于u等于1

所以这是等于四倍的B

0加四倍的B再加0再加0

所以我们实际上可以得到

B就等于1/4

同样我们令u等于-1

我们还可以算出

u等于-1左边是1

等于000

D可以推出

D也等于1/4

一共有ABCD四个常数

两个已经定了之后

我们后面两个相对来说好定一点

那么实际上来讲

最后的结论

A等于B等于C等于D都等于1/4

那既然这样的话

那么原来我们在弧长

就可以写成

1/4拿出来之后

八分之一

从0到二分之根号二

哪几个函数

1除以1减u

加上1除以1减u的平方

再加上1除以1加u

加上1除以1加u的括弧的平方变成du

变成这么一个定积分的计算

那后面我就不算了

因为实际上来讲

你口算也可以算出来了

这个原函数

负的ln（1-u）

这个是1减u分之一

那么这个是ln（1-u）

这个是负的1加u分之一

我们把所有原函数都求出来

牛顿莱布尼兹公式

上限下限往里面一代

可以得到

我们想要的结论

我这就不再去重复写了

好我们再来看看

参数方程形式下曲线的弧长的计算

有一条曲线L的参数方程是

x等于acos三次方t

y就等于asin三次方t

t是属于0到2π之间的

那我们已经讲过

我们把这条曲线叫做星形线

如果我们画一下简图的话

实际就这么一个曲线

那么我们要求我们知道

1234四段肯定都是相等的弧长

所以我们只求一小段就够了

那么在参数方程的形式下

我们仍然做这么一件事情

第一件事情做分割

这时候我们对t做分割

那么我们可以发现

某一小段

比如说这一小段

我们对t做分割之后

那么x的变化范围

应该是x导数t乘上Δt

y的分割范围应该是y的导数t乘上Δt

所以这个时候

我们做近似的时候取点

第三近似

我们做近似的时候是

Δl这个小弧段的弧长

就近似的等于根号x的Δx的平方

加上Δy的平方

所以x导数t的括弧的平方

加上y导数t的括弧的平方

乘上Δt的平方开根号

实际上绝对值Δt

但是如果我们给假定

如果说t的分割

是从t小到大的一种分割

那么这时候Δt是大于0的

所以在这种情况下

我们可以得到

弧长L可以等于

从小的那个t是α

大的那个t是β

根号x导数t的平方

加上y导数t的括弧的平方dt

好那么我们把上面的一大堆东西

都代到我们现在的定积分的公式

那么对星形线来讲

这个弧长L就等于4倍的1234上下左右

t是从小的到大的

小的t等于0

大的t正好是等于π/2

然后根号x导数t

x导数是t负的3倍的acos的平方t

sint的平方加上3倍的asint

sin平方tcost的括弧的平方的dt

好我们稍微化简一下的话

等于4倍的从0到π/2

3/2asin2tdt

最后的结论是就等于

最后是等于6倍的a

好这是在参数方程形式下

这么一个星形线的弧长

这弧长

这是弧长的公式

那么用一下弧长公式

我们可以把星形线的弧长算出来

如果说我们再来看一下

假如说是在极坐标形式下的

比如说我们给一个极坐标形式

r等于a括弧1加上cosθ

θ是属于0到2π

那极坐标形式

我们可以把它转化成为参数方程形式

我们知道x是等于r（θ）cosθ

y等于r（θ）sinθ

其中这个θ就是参数

那么我们可以知道弧长

θ从如果从α到β

根号x（θ）的导数的平方

加上y（θ）的导数的平方dθ

我们给它x等于r（θ）cosθ

y等于r（θ）sinθ

我们把x和y通通代进去

经过化简之后是这样子

就是从α到β的积分

根号r的平方θ

再加上r的导数平方的θ的dθ

那么这就是在极坐标形式下

给出曲线的弧长的定积分的表达式

好如果说恰好是这条曲线

这条曲线我们已经讲过

这条曲线就是所谓的一条心形线

那么这条心形线的弧长

L就等于

从小的0是小的

到大的2π

根号r的平方是等于

a平方1加上cosθ括弧的平方

加上r的导数的平方

就等于a的平方sin平方θdθ

我们把a平方拿出来之后

就等于a从0到2π里面是根号

1加上两倍的cosθ加上cos平方θ

cos平方加sin平方等于1

2加上2倍的cosθdθ

那么我们可以知道

用一下三角公式

我们就可以知道

它就等于2倍的a从0到2π

根号cos平方二分之θ的dθ

或者说2倍的a从0到2π

绝对值cos二分之θ的dθ

最后的结论就等于8倍的a

这就是在极坐标形式下

给出了这个方程的它的弧长的计算公式

我们这一套公式算弧长的

我们现在给的几个例题

都是在算平面曲线的弧长

那实际上我们也可以用于算那些空间曲线的弧长

比如说在三维空间中

我们给了一条曲线L

x等于acost

y等于asint

z等于c乘上t

t是属于0到2π

这是一条什么曲线

我们来看x平方加y平方等于a

所以这条曲线就在以半径为a

平行于z轴的这么一个圆柱面上

我画一下

xyz给一个圆柱面

这是曲线所在的这个面上

那么θ取0的时候x取a

那么这个是这条曲线

就是这么一条曲线

走到后面看不见了

用虚线表示

就是这么一条螺旋上升的这么一条曲线

那么在我们原来讲的那些公式

在三维空间中依然是正确的

这条曲线的弧长

从小的到大的0到2π

根号x导数t的平方

加上y导数t的括弧的平方

加上z导数t的括弧的平方dt

我们把x导数平方加

y导数平方加起来等于a平方

z导数正好是等于c

所以就等于从0到2π

根号a平方加上c平方的dt

或者说就等于2π乘上根号a平方加上c平方

这就是空间一条曲线

在参数方程形式下的

它曲线的弧长