无穷大量在线视频

前面我们介绍了数列极限的概念

以及它的一些定性和定量的运算性质

接下来我们来介绍一个极限不存在的情况

就是所谓的“无穷大量”

因为极限存在我们知道

它是说当下标越来越大时

数列中的项是越来越趋近一个固定的值

在极限不存在的时候

实际上它情况比较复杂

但是有一种情况就是说

如果我们能判断

当下标越来越大时

这个数列中它的项的值的变化趋势

是越来越大的

或者说绝对值是越来越大的

这个时候我们就用一个

所谓的“无穷大量”来刻画它

所以我们先给出“无穷大量”的定义

定义是这样说的

说假设{an}是个数列

如果对任意的正数M

都能找到N大于0

当n大于N时

{an}的绝对值大于M

也就是说

你随便给一个正数M

从某一项之后

所有项的绝对值都比M大

当M变大时

这样的N还是能找到的

在N之后

所有项的绝对值还是比它大

如果一个数列满足这个性质

我们就说

这个数列{an}是一个无穷大量

或者说简称为它就是个无穷大

记号——我们借用极限的记号

记作limn趋向于无穷时

an是无穷大

这是无穷大量的刻画

它实际上就是刻画了

这个数列尽管它没有极限

但是随着下标越来越大

它的绝对值整个变化趋势

还是可以不断变大的

在无穷大量里面，我们有时候

说一个数列是“正无穷大”

指的是当下标越来越大时

这个数列中的每一项本身是可以越来越大的

也就是说如果写定义的时候

如果我们把这个定义中的绝对值符号去掉

得出来的应该就是正无穷大量的定义

类似地有时候我们还说

一个数列是负无穷大量

这指的是这个数列中每一项的值

当下标越来越大时

它是可以越来越小的

也就是整个趋势是可以越来越小的

这是关于“无穷大”的概念

大家注意关于无穷大量也好

还是正无穷大、负无穷大量也好

尽管我们是以极限符号来表示的

但是“无穷大量”恰恰是说明了

一种极限不存在的情况

因为在学习的过程中

有的同学容易把这个等号说成是

极限存在是无穷大

这种说法是不对的

实际上一见到这个记号

你首先明确的是

这个数列的极限不存在

但是它的变化趋势是确定的

变化趋势是可以了解的

我想这是关于无穷大的定义

与无穷大对应

我们有时候还说“无穷小”

或者是“无穷小量”

无穷小量的定义很清楚

也就是说如果一个数列

它的极限存在而且等于0

这时候则称这个数列{an}是无穷小量

所以说无穷小指的是

极限存在的一个特殊情况

就是它的极限存在

而且极限值是0的时候

我们就说这个数列是无穷小量

关于无穷大无穷小

这个概念有了之后

我们下面做两个简单的例题

譬如说第一个例题

我们可以证明这个结论

就是非零无穷小它的倒数是无穷大

就是这个问题

因为就是说通项为零的数列

我们也可以认为它是一个无穷小量

所以我们在这个地方强调非零无穷小

它的倒数是无穷大量

那我们来做一下这个证明

这个证明是这样子的

证明它的倒数是无穷大是什么

也就是说任给一个M大于0

你能够证明从某一个N开始

所有的项它的倒数的绝对值

应该是大于M的

也就是说你要知道

什么叫证明了它是无穷大

当然了我们的条件是什么

我们的条件它是个无穷小

所以我们这样写任给M大于0

因为这个极限是等于0的

所以对于什么呢

对于你给的这个M大于0呢

我一定能找到一个N大于0

当n大于N时

我知道这个an的绝对值

应该是小于这个M分之一的

也就是说你随便给一个M

M分之一就是个大于0的数

因为它极限是等于0

所以根据极限是0的定义呢

从某一项之后这个不等式一定是成立的

这个不等式成立也就是

这个倒数应该就是大于M

那回过头来我们再看一下这个证明

就是说任给M大于0

存在N大于0

当n大于N时这个倒数的绝对值是大于M的

而这种描述恰好是

我们这个无穷大量的定义

也就是n趋向于无穷时

an分之一是一个无穷大量

我想这个定义里面

这个证明里面

既用到了极限是0指的是什么

当然更要大家清楚

什么叫它是一个无穷大量

也就是怎么样才叫证明了它是一个无穷大量

我想就是说这个例题

第二个例题是这样子的

一个数列如果是个无穷大量

它一定是个无界列即无界的数列

但是无界的数列不见得一定是无穷大量

你譬如说我们写这样一个东西

就是说一个数列

1,0,2,0,4,0,6等等这样写下去

也就是说它的奇数项

就是我们能够做出来

就是应该是1,2,4,6这样下去

它的偶数项全是0

这个数列肯定是个无界列

但这个数列你不能说它是个无穷大量

原因是就是说无论N怎么取

在N之后总有等于0的项

所以说呢无界数列不见得是无穷大量

但我们第二个例题说什么呢

就是若{an}无界

则存在一个子列{ank}是无穷大量

也就是说无界数列本身并不见得是无穷大量

但它至少存在一个子列是无穷大量

那我们怎么来给出这个证明呢

那我们就利用无界和无穷大的概念来说

是这样说的

譬如说对m等于1

因为这个东西是无界的

所以呢我们一定可以找到一个

某一项我用n1来表示

这个呢使得an1的绝对值是大于1的

这个我们能做得到

因为它是无界列

所以中间至少有一项的绝对值大于1

接下来我们就再看

对于m等于2

m等于2呢因为谁无界呢

因为an1+1开始这一项an1+2

也就是说我把原来数列中

前n1项给它去掉

剩下的那个数列应该还是个无界列

它是无界的所以说

在这里面呢我们自然能够找出一个n2来

这个n2显然是大于n1的

然后使得什么呢

使得an2绝对值是大于2

那按照这个思路我们就说

如果n2找出来了

我把原来数列的前n2项扔掉

剩下的后边的项呢

构成的应该还是个无界数列

在那个无界数列里面

我们至少能够找到一项

我用an3来表示

那一项的绝对值应该是大于3的

换句话说实际上我就能找到这个东西

找到一个{ank}它满足什么性质呢

当然n(k+1)是大于nk的

当然ank是大于k的

这就是说明它是个子列

同时呢这里面每一项的绝对值呢

应该都是大于k的

大于k的大家看一下

就是当k越来越大时

当然这个k是个正无穷大

这就说明了这个子列也是个正无穷大量

就是关于这个东西呢

就是说我们主要常用的一个结果

就是说无界数列

它一定有无穷大量的一个子列

另外这个证明过程呢

也正好是我们前面曾经用过的

一个所谓的构造性证明过程

就是说关于前面我们在证明

定义域关于原点对称的函数

能够表示成奇函数和偶函数之和的时候呢

就曾经用过所谓的构造性证明

我想这是关于无穷大量和无穷小量的

我给出了它们的概念

然后通过两个具体的题目呢

体会一下这个无穷大量

到底指的是什么

而且介绍了无穷大量与无界函数

它的关系就说它不是相同的

或者说不是同样的问题

但是呢它又是有一定关系的