平面曲线的曲率在线视频

上一讲我们讲了曲线的弧长

那么这讲我们正式开始介绍曲线的曲率

所谓曲率是这么一个数

来刻画一条曲线的它的弯曲的程度

我们来看看曲率是如何引进的

在直角坐标系下如果有一条曲线L

在曲线上有一个点

这个点就是P0点

在P0点这个曲线就有一条切线

这是一条切线

假如说我这个P0点

沿着这条曲线移动一点点很小的位置

在图上我画的稍微大一点

这是P点

在P点这条曲线也有一个切线

那么由于这两条切线之间应该有一个夹角

切线之间的夹角

切线之间有夹角我们把它叫做△α

那么P和P0这两个点在这条L这条曲线上

就有一个小的很小的弧段弧长△l

我们把△α除以△l

当在极限意义下当P趋于P0

但是这个P当然是在这条曲线上趋于P0

我们把这个极限如果说存在

把这个极限的绝对值记成k

称为这条曲线L在P0这一点的曲率

那么我们来看看曲率第一个是一个数正数

那么曲率它的大小刻画了什么东西

在很小的一个弧段上

如果曲率比较大

那表示△α相对来说比较大

也就是说这条曲线在这点附近

它的弯曲程度就比较大

那么曲率比较小

表示这条曲线在这一点附近比较平缓

那么大家想过没有

如果L就是一条直线

L就是一条直线

这个时候我们画一下

L是一条直线的话我们知道L作为这么一条直线

它就是一个不弯曲的一条线

那么我们再来找一点

这一点如果叫做P0点

这一点叫做P点

无论P0也好P点也好

这条直线在P0点和P点的切线

它的斜率都是这个直线的它的夹角

所以如果说在极端的情况下一条直线的话

我们可以知道这两点它的切线的

它的夹角的差就是应该是0

也就是说k就是等于0

所以我们可以知道所谓k这么一个非负的一个实数

它是反映了曲线在这一点它的弯曲的程度

如果不弯曲的话那么k就等于0

同样我们也可以知道k这个数值越是大的话

那么弯曲越是剧烈

好这是我们讲的曲率

如果说我们L这条线有这么一个参数方程

x等于x（t）

y等于y（t）

这是L这条线的参数方程

并且我们说我们要讨论切线

既然讨论切线的话

对这个参数要有一定光滑性的要求

都是可导的

x（t）y（t）都是可导的

那么在这种情况下我们知道切线它的斜率

如果说我们记成是tanα

α就是这条切线它的夹角

这个我们把它称作α

我们可以知道它就等于dy除以dx

那么在参数形式表示下的切线的斜率

也可以在参数形式下的

dydt除以dxdt

那么我们当然就可以知道

α就等于arctan

y的导数是t的函数

x导数是t的函数

这是这条曲线在P0这一点

它的切线和x轴正方向的夹角α

那么我们也可以知道

k这个曲率就等于lim△α除以△l

当P趋于P0沿着L这条线上的绝对值

也就等于lim△t趋于0

△α除以△t除以△l除以△t

也就等于dαdt除以dldt

在△t趋向于0的情况下

△α除以△t就dαdt

△l除以△t就dldt

那么我们就可以发现

α等于arctany的导数除以x的导数

那么dαdt就可以写成

arctan这是一个复合函数

1加上y的导数除以

x导数括弧的平方分之上面应该是

y的两阶导数x的一阶导数

减去y的一阶导数x的两阶导数

除以x一阶导数括弧的平方

那么我们上堂课讲过l弧长

dldt就等于

dldt就等于根号x导数的平方加上y导数的平方

所以我们把dαdt和dldt统统代到曲率这个公式里面

我们可以知道它就等于绝对值

y的两阶导数是t的函数

乘上x的一阶导数是t的函数

减去y的一阶导数是t的函数

乘上x的两阶导数是t的函数

除以x一阶导数是t的函数的平方

加上y的一阶导数是t的函数的平方

这个函数的二分之三次方的绝对值

所以我们先完成了我们现在想做的一件事情

我们原来给出曲率的一种它的几何意义

也就是说由于这个点沿着L这条曲线变化了一点点

从P0变到P

那么它的切线和x轴的夹角它也有相应的变化

我们把那个夹角的变化叫做△α

把P0到P的这个点的变化

我们把它的弧长叫做△l

我们把△α除以△l如果这个极限存在的话

我们把它叫做曲率

那么在我们如果说曲线的方程是用参数方程来表示

x等于x（t）

y等于y（t）

那么在这参数方程

并且x（t）和y（t）都是可导函数的情况下

我们可以算出来这个函数在某一P这一点它的曲率

实际上就等于绝对值y的两阶导数

x一阶导数减去y一阶导数x两阶导数

除以x一阶导数的平方加y一阶导数的平方

整体的二分之三次方

所以这就是曲率在参数形式下

它的参数方程形式下曲率的这么一个公式

更特别的如果说L这条线

恰好是y等于f（x）这个形式表示的

f仍然是可导函数

那么我们把这种形式代进去之后

我们可以知道在显函数形式表示的曲线下

它的曲率k就应该是等于

绝对值f的两阶导数x

除以1加上f一阶导数x括弧的平方的

二分之三次方的绝对值

实际上来讲平面曲线的显函数表达形式

实际上它就是一个参数函数表达形式的一个特例

x等于x

x当然就等于x

y等于f（x）

那么我们把x等于x

y等于f（x）

把这x给写成t改写一下一样的

所以曲线的显函数表达形式

我们稍微变化一下

可以变成参数函数形式曲线表达形式

我们把它代到参数函数形式上面的公式里面

我们马上就可以看出来

在显函数形式表示下

它的曲率的表达公式

我们给一个很简单的一个例题

y等于x平方求抛物线的曲率

那么我们把y等于x平方代到这个公式里面

我们可以知道这个曲率k就等于绝对值

2除以1加上2x括弧平方的二分之三次方的绝对值

那么这就是抛物线在x这一点的它的曲率的数值

刚才我们介绍的是曲率

那么所谓曲率的环境来刻画一条曲线

某一点的曲率实际上刻画了

这条曲线在这一点的一个弯曲的程度

曲率越大说明这条曲线弯曲程度越弯曲

那么直线我们知道它是不弯曲的

所以在直线上每一点它的曲率都是等0的

那么从曲率我们可以引申出另外一个概念

叫做曲率半径

那么曲率半径在某一点的曲率半径就等于曲率分之一

这是我们的定义

所以曲率半径的计算跟曲率完全是一样的

只是倒数关系而已

那么曲率半径的几何意义是什么东西

曲率半径给一条曲线

在某一点我们知道了曲率

它的倒数就是曲率半径

这条曲线在这一点有一条切线

跟切线在这一点垂直的话我们把它叫做法线

所以这条曲线法线有两端

一端是凸上去的一端

上面那端是凹进去的一端

那么在这法线上沿着凸上去那一端

在这法线上取一点

这点叫做a

使得a到这一点的距离就是曲率半径

以a点为中心

以这个曲率半径为半径

画一个圆

可以证明第一这么一个圆

和原来L这条曲线在P0这一点是相切的

第二件事情这个圆在这一点

圆的曲率就是R分之一

那么L这条曲率也是等于k也就等于R分之一

所以圆的曲率和L这条曲率

在这点曲率是一样的

我们把满足这种性质的圆

我们把它叫做曲线L在P0这一点的密切圆

所以我们讲所谓曲率半径R

实际上就是在P0这一点

L这条线的密切圆的半径

那么我们再来看一下直线

如果L是条直线

我们知道这个时候它的曲率是等于0的

那么我们讲曲率半径应该是等于0分之一

但这不能这么写

所以曲率半径是等于无穷的

所以从这个意义上来讲

直线它也是圆的一种

只是圆但半径趋于无穷的时候一个极端的情况

就变成了一条直线