函数的极值在线视频

好接下来我们介绍一下函数极值的问题

函数极值

我想就是在前面我们介绍费马定理之前

我们曾经给出了什么叫函数的极值

什么叫函数的极值点

有了费马定理之后

我们还得到了一个结论

就是说导数如果存在的时候

取到极值的地方导数必须为0

我们也曾经举出过例子

比如说y等于x的绝对值

那么它在x等0的地方

尽管导数不存在它也是极值点

在这个地方

我想第一个要给大家交代清楚的就是说

对一个连续函数来说

它的极值点只可能在什么地方取到

一个就是说导数不存在

再一个就是导数等于0

这也就是说对连续函数

我们就把它的极值点可能的取值范围限定了

那我们在这个地方讨论函数极值的求法

主要就是讨论

在这些点里面我们如何判断其中的一个点

是还是不是极值点

所以我们就说极值点的判断法

我写成判别法

实际上我们就根据函数的条件来做判别

第一个我们写成一个定理

也就是若f(x)可导

也就是说在我们讨论的范围上导数总是存在的

且f'(x)在x0两侧异号

就是它的正负号相反

则f(x0)是f(x)的极值

相应的自然x0是它的极值点

如果大家要进一步问

这个极值是极大还是极小

我们经常这样说

如果一阶导数的符号是这样子的

在左边取正右边取负

这个自然就是极大值

如果一阶导数的正负号是

在x0的左侧为负右侧为正

它自然是极小值

实际上大家利用导数正负号与函数单调性的关系

自然就会得到它为什么是极大为什么是极小

我想这个结论实际上只用到了

就是极值的定义

和导数正负号与函数单调性的关系

这个证明是前面导数正负号

与函数单调性之间关系的一个直接推论

所以说这个是我们在导数存在的前提下

常用的一个判别极值点的方法

当然大家说如果我不加这个条件

我只是说在我考虑的范围上都可导

说我的条件只是说

函数f(x)在x0的左右两侧附近是可导的

这个时候只要函数在x0这点是连续的

那么我们这个结论照样还是对的

因为在这里面我们只关心一阶导数的符号

在x0的两侧是不是异号

实际上我们并不要求

它在x0这点的导数是一定有的

譬如说y等于x绝对值

那你就知道它在0这点的右侧导数是等于1大于0

左侧导数等于－1小于0

所以我们说x等0是它的极小值点

另外如果我们的函数

不仅具有一阶导数还具有二阶导数时

我们有没有更简单的判别方法

也就是说若f(x)在x0处具有二阶导数

且f'(x0)等于0

则当f''(x0)大于0时

f(x0)是函数f(x)的极小值

当f''(x0)小于0时

f(x0)是函数f(x)的极大值

这个判别法我们说它相对简单

在什么意义下说简单

因为它只牵扯到了在x0这一点的

一阶导数和二阶导数

因为在一点的一阶导数和二阶导数

就是具体的数值

所以说你如果一求一阶导数等0

这时候就去求它的二阶导数

实际上如果二阶导数不等0

它就是极值

那再利用二阶导数的正负号

说它什么时候是极小值

什么时候是极大值

当然这里有一个问题是很明显的

说一求我二阶导数等0怎么办

等0自然就说你光用一阶导和二阶导

已经无法判断这个点是不是极值点了

那在整个微积分里面我们有没有办法

判断一阶导和二阶导都等0的点

是不是极值点

在后面我们介绍了泰勒公式之后

大家知道我们还是有办法的

具体的内容我们放到泰勒公式部分

作一个定理来介绍

我想咱们先说这个定理

为什么一阶导数等于0二阶导数大于0

它就是极小

我们就只证这个结论

大家看一下所谓二阶导数

它的定义就是x趋向于x0时

f'(x)减掉f'(x0)

再除上x减x0的极限

就是这个东西

它如果是大于0的时候

在我们给定的条件下

利用极限的保号性质是不就是说

找到一个δ大于0

使得这个比值 这个比值是谁

就是f'(x)比上x减x0

因为f'(x0)是等0的

它应该是大于0的

只要我的x是属于(x0－δ到x0)

再并上(x0到x0+δ)

这应该是对的

这就是极限的保号性质

好啦有了这个性质之后

大家马上就看出来

就是说如果这个分母大于0

因为整个比值要大于0

是不是分子要大于0

这说明在x0的右侧附近导数是大于0的

如果分母要小于0

因为整个比值要大于0

说明分子也要小于0

所以在x0左侧附近

导数是小于0的

根据我们导数正负号与函数单调性的关系

我们自然知道x0这个点

应该是它的极小值点

类似的可以证明

二阶导数小于0时它是极大值点

我想这是这个证明

这是我们关于判断一个点是不是极值点的

常用的两个判别方法

我想在这里再强调一下

如果在函数一阶导数存在时

一个点是不是极值点

我只关心在这个点的左右两侧

它的一阶导数是不是异号

如果是异号它就是

同号自然是不是的

就是注意到这点

接下来我们说两个例题

我们第一个例题说

如果一个函数它的导数

是等于x方乘上x减1再乘x减2

我们来求这个函数的极值点

并说清楚它是极大还是极小值点

就这么一个问题

在这个问题里面说你不知道函数的表达式

你能不能求它的极值点

注意到我刚才强调的那句话

在可导函数中我要讨论极值点

我只关心在极值点它的左右两侧

一阶导数是不是变号就行了 是吧

在这个题目里面给的是导函数

大家看我应该有一个x1等于0

x2等1

x3等2

这是这个一阶导数等0的三个点

所以说它可能的极值点

只能是这三个点中的某些点

那我关心的是说经过x1等0这个点

一阶导数变不变号

大家看在x等0附近x平方肯定不变号

在x等0附近x减1和x减2肯定不变号

因为它们都是负的

这意味着经过这个导数等于0的点

一阶导数并不变号

所以尽管导数等于0但它并不是极值点

接下来我们来看第二个

第二个就是说经过x等1这个点

这个时候平方肯定是不变号的

x减2肯定是小于0的

因为在x等1附近

但是x减1这个因子

在x等1的左侧和右侧它是变号的

所以这个应该是个极值点

如果进一步问它是极小还是极大

大家注意x小于1时

这是两个小于0的因子乘起来是大于0的

x大于1时

这是一个大于0的因子

这是一个小于0的因子

乘起来小于0的

所以它那个函数图像应该是先增后减

这是个极大值

然后类似的在x等2这点大家可以分析出来

它是极值点

而且在x小于2时

这个因子因为是在x等2附近

这都是大于0的

这个是小于0的

所以乘起来是小于0的

而x大于2时

这些因子都是正的

它的导数应该是先负后正

所以说函数图像应该是先减后增

所以x等2应该是个极小值点

那大家可以看一下

这个导函数的图形

从这个图形上我们可以看出

就是说如果导函数的图像穿过x轴一次

它相应的就对应着是函数的一个极值点

如果导函数的图像仅仅与x轴相切

它并不对应着极值点

这是我们举的第一个例题

第二个例题我们看一下

如果f(x)就是在［a，b］区间具有二阶导数

f(a)等f(b)等0

而且这个关系是对的

f''(x)加上1减x方f'(x)

减掉f(x)是等于0的

我们证明这个函数

在这个范围上

它任何一点的值与两个端点的值是相等的

都是等0的

那这个问题大家看一下

这个给出了有函数f(x)

有它的一阶导还有它的二阶导

实际上在微积分课程大家都学完之后

这应该是一个所谓的简单微分方程

但是在这个地方我们要证明它恒等于0

是不是会牵扯到一个解方程的问题

在这个具体题目里面为了证明这个结论

我们并牵扯不到解方程的问题

为什么

大家看一下

因为它是二阶导数存在

自然是连续函数

自然连续函数的时候两个端点值等0

我知道闭区间上的连续函数一定有最大最小值

我只要证明它的最大值也等0

最小值也等0就可以了

我怎么来证这个问题

我用反证的想法

反证的想法是这样想的

也就是说我假设存在某一个点ξ属于(a，b)

使得f(ξ)是等于它在这上面的最大值

而且是大于0的

我看看如果是这样子的时候会出现什么结果

好 因为ξ是开区间上的最大值

自然是极大值

导数存在所以大家知道

在ξ这一点导数应该是等0的

导数等0

这个方程在ξ这点自然是对的

所以说我由这个方程我就会得到f''(ξ)

这个f'(ξ)等0这个因子就没了

就减掉f(ξ)它应该等0

等0的时候这个时候也就是f''(ξ)

应该等于f(ξ)

然后我们假设它的最大值是大于0

这就会出现这么一个结果

什么结果

在ξ这点一阶导数等于0

二阶导数大于0

这应该是一个极小值点

但刚才我们的假设

是假设它在(a，b)区间上存在大于0的最大值

最大值点当然是极大值点

在开区间内

所以它不可能有大于0的最大值

类似的大家也可以证明它在(a，b)区间上

也不会有小于0的最小值

这样子的时候你就知道了

它的最大值和最小值应该都会是等于0的

所以说这个函数应该是一个恒为0的函数

我想这是关于我们讨论简单函数极值点

常用的方法

就是说一阶导 二阶导我怎么去应用它

来判断一个点是不是极值点