Cauchy中值定理在线视频

接下来我们介绍一下最后一个微分中值定理

就是柯西中值定理

在前面我们介绍罗尔定理和拉格朗日中值定理时

实际上我们知道

从几何上讲

罗尔定理和拉格朗日中值定理应该说的是同一个现象

也就是罗尔定理说

如果一条连续曲线

在任何一点切线都存在的前提下

当两个端点在一条水平线上时

那么它至少应该有一条水平切线

而拉格朗日中值定理说

对一条连续曲线

如果在任何一点切线都存在时

那么至少有一条切线应该与两个端点的连线是平行的

就是前面我们给出罗尔定理或者是拉格朗日中值定理

我们都是在直线是以直角坐标方程表示的情况下给出的

但是我们知道

在平面上的一条曲线

除了直角坐标方程之外

我们也可以给他写成参数方程

如果写成参数方程的时候

那这条曲线我们可以表示成x=g(t),y=f(t)

那相应的这个点它应该对应着参数的一个取值

比如说

这个取值我们就表示成参数等a时对应的点

也就是(g(a),f(a))

然后这个点参数的取值是b

也就是这个点坐标应该是(g(b),f(b))

那这个时候大家知道

这两个端点连线的斜率就变成了f(b)-f(a)除上g(b)-g(a)

而这个时候

这条曲线在这点切线的斜率

应该是dy/dx在某一点的值

根据我们前面介绍过的参数方程确定的函数的求导公式

dy/dx在某一点的值也就等于

这个f关于t的导数

除上g关于t的导数

在某一点它的取值

这某一点比如说我们就写成参数ξ对应的点

也就是说从几何上这两条线的平行

如果我们的曲线方程是以参数方程给出的时候

我们会得到这个结论

实际上这就是我们柯西中值定理给出的结果

那么我们把这个定理完整的表述出来

应该是这样子

定理 我就假设f（x）,g(x)满足两个条件

第一个条件

在闭区间[a,b]是连续的

在开区间(a,b)是可导的

在这两个条件下

则我就存在(a,b)中的某一个点ξ使得这个关系是对的

也就是从几何上讲

无论是罗尔定理 拉格朗日中值定理

还是我们现在介绍的柯西中值定理

它反映的是曲线的同一个现象

接下来我们对于这个定理给出个证明

证明的思路跟拉格朗日中值定理证明的思路是一样的

我们还是构造一个辅助函数

这个辅助函数构造的原则就是说

要使得它在两个端点的值是相等的

实际上这个时候

我们就构造这一个辅助函数就可以了

就是令F(x)=f(x)-f(b)-f(a)除上b-a

这面是g(x)-g(a)

相当于我们是构造的过（g(a),0）那一点

斜率是这个比值的一条直线

这样构造完之后

大家看一下

则我这个F(x)肯定是闭区间是连续的

所以属于c[a,b]闭区间

在开区间内是可导的

而且请大家求一下F(a)等于什么

你把x=a代进来

我们看一下这个地方是一个g(b)-g(a)

这是两个端点连线的斜率

就是说我们把x=a代进来大家看一下这个等于什么

这个就是说

这个括号跟这个括号消掉

这个F(a)就是说跟这儿做一下

会得到一个值

这个值大家再把x=b代进来

应该是相等的

这个就是一个简单的验算

就是验证一下这样的时候我们这个F就满足罗尔定理

根据罗尔定理的结论

就是所以我们一定能找到一个ξ属于(a,b)开区间

使得F一撇(ξ)是等于0的

那F一撇(ξ)=0 大家一求导

就是f的导数减掉这个比值乘上g(x)这个函数的导数

它要等于0

所以这个时候我们就会

即f(b)-f(a)除上g(b)-g(a)

应该等于f一撇(ξ)比上g一撇(ξ)

那我们这里要做除法

当然要求分母不等于0

所以大家会注意到

就是我们在这个条件里面

一般来说

它为了强调这个运算里面分母不等于0

它会在这个地方说

这两个函数在这个地方可导

而且做分母的不等于0

这个是我们做运算时显然的一个要求

所以这个条件即使你不写

我想在证明过程中

证到这个地步你也知道它等于0

这个结论是没有的

所以说在柯西中值定理的条件里面

有时候我们还会在这个地方补上

可导且g一撇(x)不等于0

加上这个东西

我想这是关于柯西中值定理的这个结论

从这个结论我们可以看出它处理的是在同一个问题里面

牵扯到了两个函数

如果说我们在处理有关问题时

出现了多个函数的情况

而且又碰到了存在某一个点

使得这一点的导数满足一个等式

这个时候大家应该就想到

我们有一个结论叫柯西中值定理

接下来就是说我提一个问题

这个问题是这样子的

这个问题就是说

有人说柯西中值定理证明非常简单

你这样写是不是过于麻烦了

他说怎么简单呢

他说你看你的条件里面

f(x)和g(x)是不是都满足拉格朗日中值定理的条件

满足拉格朗日中值定理的条件

就利用拉格朗日中值定理你就找到了一个ξ属于(a,b)

使得f（b）减f（a）等于f一撇(ξ)乘上(b-a)

因为你的g（x）也满足拉格朗日中值条件

所以说对这个来说你又找到了一个ξ属于(a,b)

使得g（b）-g（a）等于g一撇(ξ)比上(b-a)

所以有了这两个等式你做一个除法

不就是你的柯西中值定理么

那你为什么不写这个证明

那当然对这个证明是否正确

或者是是否与我的柯西中值定理是同一个结论

我就打一个问号

请大家给我一个解释

我为什么不写这个证明

这是关于这个柯西中值定理的内容

接下来我们讨论两个用柯西中值定理

和前面我们介绍的拉格朗日中值定理处理的题目

第一个题目就是说

我们假设f(x)在[x1，x2]这个区间上是可导的

这是闭区间可导

闭区间可导它当然就满足拉格朗日中值定理

或者柯西中值定理的条件

现在我们证明的结论是

说一定存在一个点ξ属于[x1，x2]之间

使得e的x1次方减掉e的x2次方分之一

这面是e的x1次方减掉

不是减掉

第一个元素是e的x1次方

第二个元素是e的x2次方

f（x1）第一个元素

f (x2) 第二个元素

这面应该是等于f（ξ）-f一撇(ξ)

也就是说在x1和x2之间

存在一个点ξ满足这个等式

这个只是一个两行两列的二阶行列式

那么我们证这个东西的时候大家注意

在这个问题里面

除了我们说的f（x）这个函数之外

实际上应该还有一个函数也出现了

也出现了

那就是说这两个函数出现之后

我们又找一个点

这个点里面带着这个点的导数满足一个等式

那就是刚才说的

碰到这样的问题

你想到它有可能会用到柯西中值定理

但是写成这个形式

我们还看不出来

是对哪两个函数在x1 x2这个范围上用柯西中值定理

所以说你要对这个等式进行变形

通过变形找出我们要用柯西中值定理的

那两个函数

那我们看一下就是这个证明

也就是原式就是我们这个左边

应该等于我们给它展开

也就是e的x1次方减掉e的x2次方分之

这是e的x1次方乘上f（x2）减掉一个

e的x2次方乘上f（x1）

这样写开之后

当然这个乘积既有x1也有x2

这自然还不是我们用中值定理的形式

那我们上下同除一个e的x1次方乘上e的x2次方

那么这个就变成了就是e的x2次方分之一减掉

e的x1次方分之一

那这个就变成了f（x2）除上e的x2次方

再减掉f（x1）除上e的x1次方

写成这样的时候大家知道了

上面就是同一个函数在两点值的差

而下面是另外一个函数在两点值的差

而这两个函数可以分别是记成

F(x)等于f（x）除以e的x次方

然后下面这两个函数我们记成是

G（x）等于e的x次方分之一

好 这两个函数它在给定的条件下

自然是满足柯西中值定理的条件

剩下的请大家写出来

说对这个函数

我们用柯西中值定理用完之后

你看一看是不是就意味着我们这个东西

应该等于F的导数在某一点的值

除上G的导数在同一点的值

然后通过求导运算变形之后

是不是就是这个东西

当然它应该是的

所以这个我们就写到这

接下来我们来看第二个例题

第二个例题是这样子的

说如果f（x）属于

在闭区间[a,b]是可导的

a是大于0的

我们证明证明什么呢

这个时候至少存在一个点ξ

还存在另外一个点η

都是[a,b]中的点

然后使得这个东西是对的

也就是说

f（ξ）应该等于b加a这面除上2η

这面是f一撇(η)

也就是说我存在这里面的两个点

使得这两个点满足这个等式

当然大家知道

这里面我们既不会是只牵扯到一个函数

因为这里面除了f一撇(η)之外

这里还有一个2η

这2η就意味着我们肯定还有

另外一个函数参与进来

同时我们这个地方还牵扯到了两个点

这两个点意味着我们肯定不是只用一次中值定理

就能得到这个关系式的

这个问题我们考虑的时候

我们应该主要先从这个地方入手

这应该是两个函数在同一点的导数之比

大家自然知道谁的导数等于2x

自然是x的平方

这样说起来之后

你就这样你就令g（x）就等于x平方

那么根据柯西中值定理

我就知道f（b）减掉f（a）除上

g（b）减掉g（a）应该就等于

f一撇(η)除上g一撇(η)

然后我们把它们g（x）的导数

和它在a，b点的值代进去

这个也就是f一撇(η)除上2η等于

f（b）减掉f（a）再除上b方减a方

然后b方减a方我们给它做一个分解

可以写成是就是（b-a）分之

f（b）减掉f（a）

再乘上（b+a）分之一

而这个f函数是满足中值定理的条件的

所以我们再用一次拉格朗日中值定理

它自然应该等于f一撇（ξ）

再乘上b加a分之一

那大家看一下

我们最后一个等式

是不是就是我们要证的这个等式

我想这两个题目

就告诉我们

有了中值定理之后

我们碰到一个问题

怎么样从问题本身出发

判断它是不是中值定理的问题

剩下的问题

你只要想清楚我是对什么函数用中值定理

对这个函数在什么范围上用中值定理就行了