当前课程知识点：微积分——极限理论与一元函数 > 第八章 级数 > 第三节 任意项级数 > 交错项级数
好 前面我们讨论了
正项级数的判敛法
接下来我们看另外一种级数
也就是我们的交错项级数
什么叫交错项级数
我们先给出交错项级数的定义
如果an大于0 那么负1的n-1次方
乘上an作为通项构成的级数
就称为交错级数
实际上从交错项级数的定义
我们知道
交错两个字指的是在这个级数里面
它每一项的正负号是交替出现的
实际上它每一项的正负号交替出现
也恰恰是交错项级数最大的特点
接下来关于交错项级数它的敛散性
我们有一个判敛法 这个判敛法
就是所谓的莱布尼兹判敛法
所以说关于莱布尼兹判敛法
我们写成一个定理
这个定理是这样说的
如果交错级数
就是通项是-1的n-1次方乘上an
这样的级数 其中an大于0
它满足下面两个条件
第一个条件 就是数列an是单减的
也就是它第n+1项的值
小于等于第n项的值
第二个条件是数列an是个无穷小量
也就是它的极限等于0
在这两个条件下我们得到的结论是
首先这个交错级数是收敛的
而且这个交错级数的和
是介于a1-a2和a1之间
第二个结论是
如果用这个交错级数的前N项的值
来近似它的和的值的时候
这两者的差
是介于aN+1项减掉aN+2项的值
和aN+1项的值之间
关于交错项级数的这个判敛法
我们就称为莱布尼兹判敛法
这儿 它的通项应该满足两个条件
第一个条件实际就是说
交错项级数通项的绝对值
是单调递减的
第二个是说
交错项级数它通项应该是无穷小量
作为判敛法来说 实际第二个条件
应该是收敛的必要条件
所以说这个并不是
这个判敛法特有的条件
实际上对这个判敛法来说
我们额外的条件或者它特有的条件
就是说通项的绝对值应该是单调递减
那么在这两个条件下
我们就得到了一方面
这个交错级数它是收敛的
不仅我知道它的收敛性
而且我还给出了它和所在的范围
实际上这个范围 根据我们的需要
我们还可以进一步地缩小
也就是说它不仅给出了收敛性结论
也给出了和所在的范围
第二个结论大家看一下
这个是从1到无穷求和
表示的是这个交错级数的和
而这一项 是从1到N求和
这表示的是这个交错级数的前N项
那这两个值一减
说介于这个范围什么意思
这就是说 如果对这个交错级数
我们用它的前N项的值
来近似它的和的时候
它的误差 应该是在这个范围里面
实际上它就给出了
利用前N项的值近似这个和的时候
它的误差估计
当然对其它的一般的数列
即使我们能够判断它收敛
我们也不可能对它的和式给一个估计
更不可能给出一个利用有限项的和
来近似所有项的和时它的误差估计
所以说这两个不等式
可以说这是我们莱布尼兹判敛法
给出的一个特有的结果
一般地 如果一个交错项级数
同时满足通项的绝对值单减
而且通项是无穷小量
我们就说这个交错级数满足所谓的
莱布尼兹条件
那我们简单地说 莱布尼兹判敛法
就给出了莱布尼兹条件下
交错级数的收敛性结论
接下来 我们看这个定理怎么证明
实际上
这个证明我们就利用交错两个字
实际上大家可以想象一下
如果我把Sn
表示成这个交错级数的前n项和
实际上因为它通项的正负号
是交替出现的
所以说它的前n项的和这个数列
应该是这样 波动前进的
实际上 我们莱布尼兹条件
第二个是说了
这个波动的幅度会越来越小
波动的幅度越来越小
如果我们再加上单减这个条件的时候
实际上它不仅仅波动的幅度越来越小
而且它能够保证这个和
应该慢慢地就在一条水平线附近波动
这个时候这条水平线上的纵坐标
应该就是这个交错级数的和
这是直观的大概是这个意思
但到底是不是这个意思
我们能不能说清楚
我们看一下怎么写它的证明
在这个证明里面
我们本来是要证明 Sn它是收敛的
现在 我们利用交错级数的特点
我们发现 我们可以先考虑S2n
S2n也就是a1减掉a2加上a4减掉a4
一直加 这样就是加上a2n-1减掉a2n
我们之所以考虑前2n项的和
主要是我们保证这里面
取正号和取负号的项是一样多的
这个时候 大家看一下
如果我利用加法的结合律
那么一正一负加括号
在给定的第一个条件下
因为它这个绝对值是单减的
这样我就保证每个括号是非负的
换句话说
我就知道在第一个条件下
这个S2n这个数列是个单调递增的
接下来 我们看一下
又S2n我可以这样写
a1减a2加a4减a4
然后一直到加上a2n-1 减掉a2n
我可以把这两项给它结合一下
负号提出去 后面a4和a5
我给它结合一下
这样一直到倒数第二项
也跟前面结合一下
大家看一下 这个时候
因为它是单减的
所以每个括号的值还都是非负的
但是括号前面都是负号
包括这个a2n前面也是负号
那这些我给它扔掉之后
它自然就会变大
这样的时候 大家看 对S2n来说
我不仅证明了它是单调递增的数列
同时我也证明了它是有上界的
那根据数列极限的单调有界收敛定理
我们马上就推出了这个极限是存在的
我不妨就把这个极限记成A
同时 大家注意一下
我们的S2n+1应该等于什么
实际上在交错项级数里面
它就等于S2n再减掉
应该是加上a2n+1
应该是这样子 现在我们看一下
我们定理中的第二个条件
第二个条件说an是个无穷小量
在这个等式里面
也就是这一项的极限是0
而前面这一项的极限是A
根据极限的加法运算
我们就知道S2n+1在n趋向于无穷时
它的极限应该是A+0 当然等于A
实际上 我们本来
是要考虑Sn的极限是否存在
现在我们考虑了
它的偶数项构成的子列
极限是存在等于A的
而它的所有的级数项构成的子列
实际上 极限也是存在 也等于A的
那根据数列极限的性质
在这两个子列极限存在
而且相等的前提下 我们自然就得到了
我们要考虑的这个数列
极限是存在的 而且也是等于A的
我想这是在莱布尼兹条件下
我们证明交错级数收敛的证明过程
实际上
我们为了用上这个正负号交替出现
所以我们首先考虑的是
取正向的项 和取负号的项一样多
也考虑的是S2n
那接下来我们看着两个估计
这两个估计
实际使用了极限的保号性就可以了
你比如说
在这个形式下 我们自然知道
S2n它应该是大于等于a1减掉a2的
因为后面这些都是非负的
当然 在这种形式下
我们已经得到了
它是小于等于a1的
那么在这个不等式两端
我们一取极限 这当然是常数
这是常数
当然中间这个就是A
所以说根据极限的保号性质
我们就知道 这个极限值
应该介于这两个数之间
这个不等式就是我们说
这个收敛级数的和
介于这两个数之间
第二个不等式大家想一下
如果我在所有项的和里面
把前n项的和减掉 剩下的什么
剩下的应该是这个东西
也就是n从N+1开始到无穷
-1的n-1次方an
这应该还是一个交错级数
而这个交错级数
自然仍然满足定理中的两个条件
所以说这个交错级数当然是收敛的
而它的和自然应该就满足
大于等于它的第一项的绝对值
减掉第二项的绝对值
小于等于它第一项的绝对值
而在这个级数的第一项 第二项
正好是aN+1和aN+2
所以说写出来之后
直接以利用上面这个结果
得到的就是我们这个估计
这是关于这个
所谓的莱布尼兹判敛法的证明
我们接下来看一下
刚才说这个定理里面
这个通项是无穷小量
这是收敛它的必要条件
而对这个定理来说
我们单独加上的条件
只是这个通项的绝对值单减
那我们看一下
如果仅仅有通项是无穷小量
而没有这个
通项的绝对值单减这个条件
能不能得到这个交错级数是收敛的
请大家看一个例子
我们就来看一下这个级数
n从1到无穷 n的2加上-1的n次方
这是n的指数 上面是-1的n-1次方
这当然是一个交错级数
而且它通项是无穷小量
是很显然的
但是 大家注意一下
这个交错级数 它通项的绝对值
并不是单调递减的
那我们写一写它的前几项
n等于1时 它应该就是1的1次方
这面是-1的0次方
所以第一项应该就是这个样子
接下来它的第二项 就是n等于2时
n等于2时 它这个地方
应该是-1的1次方是负号
底下这就是2的3次方
n等于3时 它应该 -1的平方是正号
底下应该是3 这个地方是2-1次方
所以是3分之1
类似的 n等于4时
出来的应该是4的3次方分之1
前面的是减号
这就是这个交错级数的前几项
它当然这个通项的绝对值
是没有单调性的
你比如说 这个绝对值
当然就小于后面这一项的绝对值
实际上这个交错级数它是发散的
我们怎么说它发散
因为这个交错级数
如果收敛的时候
也就是说 如果它是收敛的
根据收敛级数的性质
它是有所谓的充足性质的
也就是说可以加括号的
这个时候一加括号
那么我就两两加括号
就说明 加完括号之后得到的级数
也是收敛的
那我们把加完括号以后的级数
一般形式写出来
是不是应该是这样
n从1到无穷 这边就是2n-1分之1
这个地方应该就是
2倍n括起来的3次方分之1
应该是加完括号是这样
如果它是收敛的
那么大家看一下
我们马上就推出了
2n-1分之1 它应该等于
2n-1分之1减掉一个2n倍的3次方分之1
再加上一个2n三次方分之1
如果它是收敛的
这个级数大家知道它是收敛的
因为它与咱们p级数里面的
p等于3敛散性是一致的
两个收敛级数它的通项求和
得到的新级数当然是收敛的
这样就推出了
这个通项作为构成的级数是收敛的
但是我们知道
如果通项是2n-1分之1的时候
这个级数是发散的
那为什么能得到
它是收敛的这个错误结果
就是因为我们假设了
这个交错级数是收敛的
加完括号是可以收敛的
所以这个假设是不对的
这个假设不对 自然我们就知道
尽管我们这个莱布尼兹判敛法
给的是充分条件
但是当这个充分条件不满足时
我们确确实实不能保证
这个交错级数它是收敛的
-序言
--序言
-第一节 实数集的界与确界
--实数集的界
--实数集的确界
-第一节思考与练习
--思考题
--练习题
-第二节 函数的概念
--分段函数与隐函数
-第二节思考与练习
--思考题
--练习题
-第三节 函数的运算
--函数的反函数
-第三节思考与练习
--思考题
--练习题
-第四节 函数的初等性质
--函数的凸性
-第四节思考与练习
--思考题
--练习题
-第五节 初等函数
--初等函数
-第五节思考与练习
--思考题
--练习题
-第六节 极坐标方程与参数方程表示的几种曲线
-第一节 数列极限的概念与性质
--无穷大量
-第一节思考与练习
--思考题
--第二章 极限论--第一节思考与练习
-第二节 数列极限存在的充分条件
--单调有界收敛定理
-第二节思考与练习
--思考题
--第二章 极限论--第二节思考与练习
-第三节 Bolzano定理与Cauchy收敛准则
-第三节思考与练习
--思考题
--第二章 极限论--第三节思考与练习
-第四节 函数极限的概念与性质
--函数极限的概念
--函数极限的性质
-第四节思考与练习
--思考题
--第二章 极限论--第四节思考与练习
-第五节 函数极限的运算
-第五节思考与练习
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-第六节 无穷小量及其（阶的）比较
--无穷小量的比较
-第六节思考与练习
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--第二章 极限论--第六节思考与练习
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--间断点的分类
--连续函数的性质
-第一节 思考与练习
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-第三节 函数的一致连续性
--一致连续的概念
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--第三章 连续函数--第三节 思考与练习
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--导数的概念
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--微分概念
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--高阶导数
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--第五章 导数应用--第一节 思考与练习
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--函数的单调性
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--定积分的性质
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--第七章 定积分--第五节思考与练习
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--物理应用简介
-第七节 反常积分
--反常积分
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--第七章 定积分--第七节思考与练习
-第一节 数项级数的概念与性质
--第八章 级数--第一节 思考与练习
-第二节 正项级数的收敛判别法
--第八章 级数--第二节 思考与练习
-第三节 任意项级数
--交错项级数
--绝对值判敛法
--第八章 级数--第三节 思考与练习
-第四节 函数级数
--第八章 级数--第四节 思考与练习
-第五节 幂级数
--Abel判别法
--收敛半径与收敛域
--幂级数的分析性质
--幂级数求和
--第八章 级数--第五节思考与练习
-第六节 傅里叶级数
--三角函数的正交性
--第八章 级数--第六节思考与练习
