当前课程知识点：微积分——极限理论与一元函数 > 第六章 原函数与不定积分 > 第二节 换元积分法 > 第二换元法
刚才我们介绍的是第一换元法
那么我们来看看
现在我们介绍第二换元法
那么假如说我们假设f是个连续函数
φ是个连续可导函数
那么我们可以知道f（x）dx
我们做变量代换
令x就等于φ（t）
我们令x等于φ（t）之后
它就等于f（φ（t））φ的一阶导数tdt
x等于φ（t）
dx就等于φ一阶导数tdt
所以就等于这个式子
你可以自己回过头去看我们上一讲
我们把这个式子两边颠倒一下的话
实际上就是第一换元法
如果f（φ（t））φ一阶导数tdt
等号右面那个函数的
不定积分是已知的
我们把它写成G（t）加上常数C
那结论就是原来的
f（x）dx就可以写成G
x等于φ（t）
我们再加条件是可逆的函数
它有反函数存在
那么t就等于φ的反函数x
φ的反函数x加上常数C
你看这么一个式子
这个式子是联系了两个不定积分
第一换元法指的是
假如说这个不定积分已经知道
我们来算等号右面的不定积分
而第二换元法
我们现在的第二换元法那么它讲的是
假如说等号右边这个函数的
不定积分是已知的
或者说呢它的原函数
等于G（t）是已知的
我们要算左边那个函数的不定积分
所以这个等号联系了两个不定积分
如果一个知道之后
另外一个就可以算出来
从左边往右边叫做第二换元法
从右边往左边
就我们原来讲过的第一换元法
那么这是我们介绍的
第二换元法的基本内容
那么φ这个条件
我们一定要加上一个可逆
因为这用到逆函数
或者说反函数的记号
那我们来找几个例子来看一下
怎么样来用这么一个第二换元法
我们求根号a平方减x平方
这么一个函数的不定积分
我们要找变量代换 x等于φ（t）
这个φ（t）找什么呢
x等于asint
其中在这道题里面我们不妨假设
a是大于0的一个数
令x等于asint
我们知道x的范围是在正负a之间的
所以言外之意
这个t的范围是从负的二分之π
到正的二分之π之间
这是t的取值范围
那么我们把x等于asint
代进去之后我们可以知道
dx呢就等于acostdt
而根号a方减x方是实际上就等于
我们把a平方提出来之后
就等于根号a方
提出来之后等于1减sin平方t
就等于a方 1减sin平方t
我们把dx和这个根号统统代进去
我们心里想着1减sin平方t
就等于cos平方t
而t是在正负二分之π之间的
cos一定是一个大于等于0的一个范围
所以呢原来那个积分
就可以写成a乘上cost
本来需要加绝对值的
现在绝对值都不需要加了
再乘上acostdt
那么我们把a平方拿出来
等于a平方cos平方tdt
而cos平方我们算一下
根据三角公式等于二分之一
加上cos2倍的tdt
等于二分之a平方拿出来之后
里边呢是1的不定积分加上
cos2t的不定积分
那么1的不定积分就等于t
加上cos2t的不定积分cos2tdt
也就等于二分之a平方
前面是t加上cos2t二分之一sin2t
加上任意常数C
那么我们可以把t
其中t就等于arcsin x除以a
我们把这个t一定要给它带进去
所以原来那个积分
根号a方减x方这个函数的不定积分
就等于二分之a的平方乘上
t是arcsina分之x
加上二分之一sin两倍的arcsina分之x
加上一个任意常数C
所以二分之a方arcsina分之x
加上二分之一sin括弧
两倍的arcsina分之x
再加上任意常数C
当然我们这道题的话
我们可以做一些三角公式的换元
但是这些东西已经完全是
我们初等数学中学数学所能做的事情
那么跟我们不定积分的话
没有什么太大关系了
这么写的话自然也是正确的
我们来看看证第二道例题
我们来求dx根号x方减a方
跟我们刚才第一道题不太一样
第一道题是根号a方减x方
第二道题我们用到的是根号x方减a方
我们再回过头去想一想
我们有什么三角公式可以用
我们有这么几个三角公式
第一个呢sin平方t加上cos平方t等于1
这第一个公式
这个公式我们已经在第一个例题里面
实际上我们已经用过了
那么还有一个公式
我们中学里面用的不太多
sec平方t就等于1加上tan平方t
这个呢我们中学里用的不是太多
那么我们现在呢
要用下这个公式来看一下
我们这么一个不定积分的计算
我们用三角公式来化简
我们做变量代换
x就等于asect我们不妨假设
x是大于a大于0的
因为这时候x的取值范围分两个
x可以大于ax可以小于－a
那么当x大于0的时候 我们不妨假设
我们在x大于a的情况下
我们来讨论这个函数的不定积分
至于x小于－a呢
结论做法是完全一样的
我们做这么一个变量代换之后
我们可以知道dx等于asect乘上tantdt
而根号x方减a方2就等于a提出来之后
变成了根号sec平方t减1
因为x大于a大于0
所以t是在第一象限
开根号出来之后等于a根号tan平方t
那么如果开根号出来
tan平方t开根号的话是绝对值tant
但是t是在第一象限
所以直接写tant就行了等于atant
我们把dx和这两个式子的表达形式
放到我们原来要算的那个不定积分里面
它就等于上面呢
是asect乘上tantdt除以atant
就变成了a消掉tant消掉
就等于sectdt
那么sectdt呢就等于dtcost
等于这么一个函数的不定积分
也就cost分之一的
这么一个函数的不定积分
我们再做稍微一点点化简
上下同乘以cost
就等于d（sint）除以cost的平方
也就1减去sin平方t
这时候我们就用到了
我们原来讲过的变量代换
令sint等于u
令sint等于u的话实际上就等于du1减u方
1减u方分之一
因为1减u方可以因式分解
分解成1减u1加u
那么1减u方分之一
就等于1减u分之1加上1加u分之1
前面乘上一个二分之一du
也就等于二分之一ln绝对值1加u
u就等于sint
1加上sint除以1减sint加上任意常数C
t是什么东西呢
x等于asect
所以如果说用反函数来做的话
t就等于arcseca分之x
我们把t就等于arcseca分之x代进去
经过化简之后可以得到最终的答案
lnx加上根号x方减a方加上任意常数C
好我们来看最后一道例题
x平方乘上根号x平方加1分之一
要算这么一个函数的不定积分
刚才我们用了几个公式
比如说用了sin平方t
加上cos平方t等于1
我们还用了一个公式
是sec平方t就等于tan平方t加上1
我们这次呢接着用这个公式
我们还是假设做变量代换
令x就等于tant
我们令x等于tant
那么dx就等于sec平方tdt
根号x方加1呢就等于根号tan平方t加上1
tan平方t加1等于sec平方
开根号之后呢就等于sect
其中t的范围还是在负的二分之π
到正的二分之π之间
这时候sect等于
cost分之一在一四象限
这个sect是大于0的数
所以本来是要加绝对值的
那么现在既然是是大于0的一个数
所以绝对值就不需要了
那么我们原来的积分
就等于sec平方tdt
除以分母呢是x等于tan平方t
tan平方t再乘上sect
我们经过三角函数的一些变换之后
我们就可以化简我们就可以得到
它就等于cost除以sin平方tdt
我们把cost放进去之后就等于
1sin平方tdsint
做变量代换sint等于u
就等于du除以u的平方
这是我们刚才介绍过的变量代换
它的原函数呢
等于负的u分之一加上常数C
我们把u等于sint代进去之后
就等于负的u就等于sint
t等于什么东西呢
t等于arctanx
arctanx 加上常数C
那么我们还是用三角公式来做变换
那么我们知道tant呢就等于x
那么我们来看看t就等于arctanx
我们要求的不就是sint吗
我们做三角函数的变换我们可以知道
sint就等于x除以根号x平方加1
因为tant等于x
sint就等于x除以x平方加1
那么我们最终的答案就等于
负的根号x平方加1除以x加上任意常数C
-序言
--序言
-第一节 实数集的界与确界
--实数集的界
--实数集的确界
-第一节思考与练习
--思考题
--练习题
-第二节 函数的概念
--分段函数与隐函数
-第二节思考与练习
--思考题
--练习题
-第三节 函数的运算
--函数的反函数
-第三节思考与练习
--思考题
--练习题
-第四节 函数的初等性质
--函数的凸性
-第四节思考与练习
--思考题
--练习题
-第五节 初等函数
--初等函数
-第五节思考与练习
--思考题
--练习题
-第六节 极坐标方程与参数方程表示的几种曲线
-第一节 数列极限的概念与性质
--无穷大量
-第一节思考与练习
--思考题
--第二章 极限论--第一节思考与练习
-第二节 数列极限存在的充分条件
--单调有界收敛定理
-第二节思考与练习
--思考题
--第二章 极限论--第二节思考与练习
-第三节 Bolzano定理与Cauchy收敛准则
-第三节思考与练习
--思考题
--第二章 极限论--第三节思考与练习
-第四节 函数极限的概念与性质
--函数极限的概念
--函数极限的性质
-第四节思考与练习
--思考题
--第二章 极限论--第四节思考与练习
-第五节 函数极限的运算
-第五节思考与练习
--思考题
--第二章 极限论--第五节思考与练习
-第六节 无穷小量及其（阶的）比较
--无穷小量的比较
-第六节思考与练习
--思考题
--第二章 极限论--第六节思考与练习
-第一节 连续函数的概念与性质
--间断点的分类
--连续函数的性质
-第一节 思考与练习
--思考题
--第三章 连续函数--第一节 思考与练习
-第二节 闭区间上连续函数的性质
-第二节 思考与练习
--思考题
--第三章 连续函数--第二节 思考与练习
-第三节 函数的一致连续性
--一致连续的概念
-第三节 思考与练习
--思考题
--第三章 连续函数--第三节 思考与练习
-第一节 导数与微分的概念
--导数的概念
--导数的几何意义
--微分概念
-第一节 思考与练习
--思考题
--第四章 导数与微分--第一节 思考与练习
-第二节 导数与微分的运算
--导数的四则运算
--反函数求导法
-第二节 思考与练习
--思考题
--第四章 导数与微分--第二节 思考与练习
-第三节 几种特殊函数的求导法、高阶导数
--高阶导数
-第三节 思考与练习
--思考题
--第四章 导数与微分--第三节 思考与练习
-第一节 微分中值定理
--Fermat定理
--Rolle定理
-第一节 思考与练习
--思考题
--第五章 导数应用--第一节 思考与练习
-第二节 L'Hospital 法则
--0/0型不定式
--∞/∞型不定式
--其他形式的不定式
-第二节 思考与练习
--思考题
--第五章 导数应用--第二节 思考与练习
-第三节 函数的单调性与极值
--函数的单调性
--函数的极值
--函数最值的求法
-第三节 思考与练习
--思考题
--第五章 导数应用--第三节 思考与练习
-第四节 函数的凸性与拐点
--函数凸性的判别法
--拐点
--曲线的渐近性
-第四节 思考与练习
--思考题
--第五章 导数应用--第四节 思考与练习
-第五节 Taylor 公式
-第五节 思考与练习
--思考题
--第五章 导数应用--第五节 思考与练习
-第一节 概念与性质
--原函数的概念
--6-1视频纠正
-第一节思考与练习
--思考题
--第六章 原函数与不定积分--第一节思考与练习
-第二节 换元积分法
--第一换元法
--第二换元法
-第二节思考与练习
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--第六章 原函数与不定积分--第二节思考与练习
-第三节 分部积分法
--分步积分法
-第四节 有理函数的积分
--html
--第六章 原函数与不定积分--第四节思考与练习
-第五节 简单无理式的积分
--无理函数的有理化
--第六章 原函数与不定积分--第五节思考与练习
-第一节 积分概念与积分存在条件
--定积分的概念
-- 函数的可积性
--第七章 定积分--第一节思考与练习
-第二节 定积分的性质
--定积分的性质
--定积分性质的应用
-第三节 变上限积分与Newton—Leibniz公式
--变上限积分
--复合变限积分
--定积分的计算
--第七章 定积分--第三节思考与练习
-第四节 定积分的换元积分法与分部积分法
--第七章 定积分--第四节思考与练习
-第五节 定积分的几何应用
--平面区域的面积
--曲线的弧长
--平面曲线的曲率
--第七章 定积分--第五节思考与练习
-第六节 定积分的物理应用
--物理应用简介
-第七节 反常积分
--反常积分
--其他无穷积分
--第七章 定积分--第七节思考与练习
-第一节 数项级数的概念与性质
--第八章 级数--第一节 思考与练习
-第二节 正项级数的收敛判别法
--第八章 级数--第二节 思考与练习
-第三节 任意项级数
--交错项级数
--绝对值判敛法
--第八章 级数--第三节 思考与练习
-第四节 函数级数
--第八章 级数--第四节 思考与练习
-第五节 幂级数
--Abel判别法
--收敛半径与收敛域
--幂级数的分析性质
--幂级数求和
--第八章 级数--第五节思考与练习
-第六节 傅里叶级数
--三角函数的正交性
--第八章 级数--第六节思考与练习
