8-3 级数收敛的性质在线视频

前面我们给出了级数收敛的概念

接下来 我们在这一节里面介绍一下

收敛级数的有关性质

我们说的第一个性质

我们第一个性质

我们就叫收敛级数的必要条件

也就是说如果级数是收敛的

那么他通项的极限一定等0

这个性质说明

就是说如果级数是收敛的

那么他的通项这个数列

一定是无穷小量

这实际上就是级数收敛的必要条件

也就是说我们见到一个级数

如果它的通项这个数列

极限不等于0

那么他一定是发散的

这个性质的证明

只用到了级数收敛的定义

也就是说

我们记Sn是等于

k从1到n对ak求和

那么我们

就会知道它的通项an

就等于Sn-Sn-1

因为级数是收敛的

也就是因为

我们这个数列前n项和的极限

是存在的 存在的

所以我们这个通项数列他的极限

根据极限的加法运算

他就等于Sn的极限

减掉Sn-1的极限

但是对一个数列来说我们知道

Sn的极限跟Sn-1的极限

当然是相等的

所以这个就等0

这是我们介绍的

收敛级数的第一个性质

也就是收敛级数的必要条件

接下来我们来看第二个性质

第二个性质是这样说的

我们叫收敛级数的数乘运算

或者是也叫乘法与加法的的分配律

说的是如果级数收敛

那么对于任意常数c来说

c乘上这个级数的通项

得到的新的级数也是收敛的

而且新级数的和

就等于原来级数的和乘上c

级数的第二个性质

我们叫做级数的数乘运算

他也就是说

如果an做通项的级数收敛

那么我an乘上一个实数c之后

作为通项

构成的新的级数

也是收敛的

而且这个新级数的和

应该就是原来级数和的c倍

如果从运算的角度

大家看一下

这个就相当于是

我们有限个数加法

和乘法的分配律

也就是说

我如果先加起来

乘上一个数

跟把这个数

乘到每一个数之上之后

在加起来

他应该是相等的

也就是对收敛级数来说

我们可以把有限个数的

加法和乘法的分配律

这个运算律

直接推广到

无穷多个数加法和乘法上去

那这个性质的证明

当然只用到了收敛的定义

和数列极限的性质

也就是说

我如果把这个Sn

记成是一个k从1到n

cak求和的时候

那我就知道

这一个 这是有限个和

当然c可以提出来

也就是k从1到n ak

那我们的条件是说

原来这个级数收敛

也就是这个数列的极限存在

这个数列的极限存在

乘上一个常数c之后

极限自然是存在的

那就是说

这个Sn的极限存在

Sn的极限存在

就是说c乘上an作为通项

构成的级数是收敛的

而且从极限运算来说

这个Sn的极限就是

这个括号里面数列的极限乘上c

而这个结论成立

就是我们这两个数列的和

有这一个关系

所以 第二个性质

收敛级数的数乘运算

应该直接用级数的收敛性定义

和数列极限的有关性质

就会得到

第三个性质

我们称是收敛级数的加法运算

也就是说如果

以an和bn为通项的级数

都是收敛的

那么我以an+bn做通项的级数

也是收敛的

而且新级数的和

就等于原来两个级数和的和

收敛级数加法性质

也就是说

如果我原来两个级数都是收敛的

我利用它们通项求 通项求和

得到一个新的级数

那么新的级数也是收敛的

而且新级数的和

就是原来两个级数和求和

这个性质的证明也是只用了

级数的收敛性的定义

和数列极限的性质

因为如果我记

Sn就等于k从1到n ak+bk

也就是这个新级数的前n项和的时候

因为这是有限个数求和

他当然有交换律结合律

我们利用交换律结合律

这个自然就可以写成

k从1到n 对ak求和

再加上一个

k从1到n 对bk求和

我们的条件是说

这两个数列极限存在

那么根据数列极限的加法运算

我们知道

他俩相加得到的数列

得到的数列极限自然是存在的

这就说明Sn的极限存在

也就说明了

这个新的级数是收敛的

而且根据数列极限的加法运算

这个Sn的极限值

就应该等于

这一个的极限值

加上这个极限值

而他的极限值

就是新级数的和

这两个数列的极限值

就分别是我an和bn

做通项的这两个级数的和

所以说这个性质

他的证明也是简单的

但是请大家注意

这个性质

他的反面是不对的

所谓反面是说

如果两个级数

我把他的通项加起来

得到一个新的级数

这个新级数收敛时

我推不出原来两个级数的敛散性

比如说这个例子

也就是n从1到无穷

我们做一下

这是-1的n次方

这个地方再加上一个

-1的n-1次方

这是 这两个项加起来

大家知道

这两项加起来

永远是等0的

因为他一正一负

所以说这个作为通项

构成的级数

他当然是收敛的

因为他的前n项和也等0

他的极限自然等0

但是 如果大家说

我原来这两个级数

应该是通项分别为

(-1)^(n)和通项为(-1)^(n-1)

的这两个级数

这两个级数当然是发散的

因为他的通项不是无穷小量

他不符合我们刚得到的

收敛级数应该满足的必要条件

所以说这个在做运算时

请大家要注意一下

我们看一下

收敛级数的第四个性质

我们是说

改变一个级数

任意有限项的值

不改变这个级数的收敛性

也就是一个级数的敛散性

与他任意有限项的值是无关的

级数的第四个性质

我们也称为是说

级数的敛散性

与他任意有限项的值是无关的

那就是这一个

主要是因为

我们谈级数的收敛性

是指的他

前n项和的极限的情况

而前n项和的极限的情况

就是说

如果你只改变了有限项

尽管他前n项和的值的大小

是发生了变化

但这个变化是只差一个常数的

我们为了说明这个性质

我们可以这样来证明这个结论

也就是说

我假设我有两个级数

一个是通项是an

还有一个级数通项是bn

这两个级数

只有有限项的值不一样

那我来证明

这两个级数的敛散性是一致的

所谓敛散性一致

也就是说

要么他俩同时收敛

要么他俩同时发散

那我们 看一下

因为这两个级数

只有有限项的值不一样

所以我不妨假设

我有一个正整数N

只要n>N那么

我的an就等于bn

这样的时候

我就知道

如果我的n是>N的时候

那么我的Sn我定义成

是k从1到n对ak求和

我的Sn一杠

定义成是k从1到n

对bk求和

那么这两个数一减

Sn减掉Sn一杠

就应该等于

k从1到N

然后ak-bk

因为从N+1开始

an和bn就相等了

所以那个时候他就减掉了

这应该就是一个与n无关的常数c

好了 两个数列只差一个常数的时候

我们自然的知道

这个数列收敛时

这个数列也一定收敛

反过来是一样的

如果这个数列他是发散时

这个数列自然是发散的

这样就证明了对级数来说

我们随便改变他有限项的值

并不改变他的敛散性结论

改变的只是他的和的大小

在收敛的前提下

这是这个性质

接下来我们来看

第五个性质

我们收敛级数的第五个性质

也称为是收敛级数的重组

或者是加法运算的的结合律

说的是如果级数他是收敛的

则在级数中任意添加括号后

得到的新级数仍收敛

而且他的和是不变的

级数的第五个性质

我们也叫收敛级数的重组性质

实际上也就是说

如果一个级数收敛的时候

我们可以对他

所有的项随便的加括号

那就是所谓的重组

加括号之后

相当于我们对这个加法运算

就有一个先后次序

当然是先算括号里面的和

算完了之后

再把不同的括号加起来

尽管我们级数是一个无穷和

但只要这个级数是收敛的时候

这个结论还是对的

那我们也对这个性质

给出一个简短的证明

这个证明是这个样子的

我们假设我们的级数就是

a1+a2+一直加 加到an

通项是an

现在我们的前提是

这个级数是收敛的

我们不妨设

我们对他加完括号之后

形成的级数是这样子的

也就是说

a1+一直加到an1

前n1项我先给他做求和

做完之后

我就做an1+1

一直加 一直加到an2

就是说

我从这一项到这一项

我先给他求和

这样我一直加下去

比如说我加到这个地方

就是anm+1一直加到

一个anm+1 在下标上

这样一加下去

这当然就是说

我随便加括号

实际上 加括号

就是先算括号里边的东西

所以说对加完括号里面的这个级数来说

实际我们就得到了一个新的运算

这新的运算

我就记我的bm

就等于 实际上

就是anm+1

一直加到anm+1

也就是说

我第一个括号作为b1

第二个括号作为b2

当然第m个括号

就是bm

这样出来之后

我们主要就是看

这个级数就是

m从1到无穷

bm这个级数

他是不是还是收敛的

如果他收敛的时候

他的和

与原来这个收敛级数的和

是不是相等

那当然

根据级数收敛的概念

我们就求他的前m项之和

前m项之和

大家就 给他加起来

这就是k从1到m bk

实际上就是前面m个括号加起来

前面m个括号加起来

大家会发现

是从a1一直加到anm+1

所以这一个

应该就等于

前面我们这个

k从1到nm+1 对ak求和

这个相当于是我们原来这个级数

他的前nm+1项

这个求和

这样一写的时候

那么这个新级数的部分和

与原来这个收敛级数部分和的关系是什么

实际上就是说

这个新级数的部分和

是原来我这个收敛级数部分和的一个子列

我们介绍数列极限时曾经介绍过

那么数列收敛的时候

他的任何一个子列

也都是收敛的

而且子列的极限

与数列的极限是相等的

现在我们根据数列极限的这个结论

我们就知道了

对他加完括号之后

这个级数也是收敛的

而且他的和

与原来这个收敛级数的和是相等的

所以说我们就证明了

对收敛级数的项

可以随便的加括号

实际上这个从运算的角度来说

加括号就是结合律

也就是说对收敛级数来说

我们把有限个数做加法的结合律

这个运算律

直接推广到了

无穷多个数求和的运算上

最后我们看一个例子

这个例子就是看一下

我们前面讨论过的

比如说我们曾经证明过

调和级数是发散的

现在我们用级数的第五个性质

再来证明一下这个结论

说什么叫用第五个性质

来证明这个结论

因为第五个性质说

原来的级数收敛的时候

你可以随便加括号

得到的级数还是收敛的

现在我反过来把这个结论

如果我加完括号之后的级数

是收敛的时候

我当然不能说明

原来的级数是收敛还是发散

但是如果我加完括号之后

这个级数是发散的

这肯定就说明

原来的的级数一定是不会收敛的

现在我们看一下

对调和级数来说

我们怎么来做这个问题

写到这 调和级数

也就是1+1/2+1/3+1/4

这样一直加下去

现在我们给一个加括号的方式

这个加括号

也就是说1+1/2

我不管他

1/3和1/4 我组合在一起

这是一个加括号

后面我的1/5

一直加 加到1/8

组合在一起

我一般的 应该是这样

也就是

我的2^m+1分之一

一直加 加到2^m

再加上2^m

也就是2^m+1次方分之一

这个是做括号

这样这就是一个组合

这个组合完了之后

请大家看一下

这个括号1/3当然是大于1/4的

两项要加起来

这个括号是大于1/2的

1/5 1/6 1/7都是大于1/8的

那么我都给他缩小到1/8

四个1/8加起来自然等于1/2

这样就说明

这个括号是大于1/2

类似的 一般情况下

我把每一项的分母都变到最大

就把这个数变小了

这里面一共有2的m次方项

他的分母是2的m+1次方

所以说这样

每一个括号我就证明了

他都大于1/2

都大于1/2的时候

所以说这个新级数

他的这些项的和

他就大于1+1/2

后面应该是有m个括号

所以说有m个1/2加起来

这样这个值就等于1+(m+1)/2

那大家知道

你的括号越来越大时

这个和他是正无穷大量

当然就说明加完括号之后

他就不收敛了

因为加完括号之后不收敛

当然加括号之前的级数

自然也就是发散的

实际上这是关于调和级数

一个比较早的结果

这个证明大概迄今已经有

700多年的历史了

这是在级数这一部分

一个很著名的处理的方法